Plan docente

El curso tiene los siguientes objetivos:Contenido de la AsignaturaFundamentar las Matemáticas: Desde el punto de vista de la Teoría de Conjuntos todoslos objetos matemáticos son conjuntos.(–) En Álgebra se estudia la estructura de grupo. Un grupo es un conjunto con unaoperación entre sus elementos que satisface ciertas propiedades. En Álgebra es irrelevantela naturaleza conjuntista de los elementos de un grupo: dos grupos isomorfosson idénticos. Sin embargo, desde la fundamentación que proporciona la Teoría deConjuntos, los elementos de un grupo también son conjuntos.A lo largo del curso se describirán los objetos más importantes en Matemáticas:(–) Conjuntos básicos en Matemáticas: Números naturales, enteros, racionales y reales.(–) Conjuntos esenciales en Matemáticas: Aplicaciones y relaciones.Para obtener esta descripción se introduce la Teoría de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel.En Teoría de Conjuntos este objetivo es secundario. Por ejemplo, se define el conjuntode los números reales, R, y las operaciones aritméticas habituales (suma y producto) yel orden. Sin embargo, se considera que, a partir de estas definiciones, con una formaciónbásica en Matemáticas se puede probar sin grandes dificultades que: R es un cuerpoconmutativo, el orden es total y denso, y es un espacio métrico separable y completo.Conjuntos y clases: La idea intuitiva de que toda colección de objetos es un conjunto esinconsistente. Existen colecciones de objetos que no son conjuntos y las denominaremosclases propias. Es importante determinar que ciertas clases son propias. La clase de todoslos conjuntos y la clase de los números ordinales son los ejemplos más importantes declases propias.Inducción y recursión: Las pruebas por inducción y las definiciones por recursión son herramientasbásicas en Matemáticas. Sin embargo, no es posible justificar determinadasconstrucciones usando esta metodología (inducción y recursión) sobre los números naturales,conjunto que se denota por ω. Para ello introduciremos la clase de los númerosOrdinales (ω es un ordinal) y demostramos que esta clase satisface los teoremas de induccióny recursión. La colección de los ordinales es un ejemplo básico de clase propia.El curso contiene muchas aplicaciones del uso de inducción y recursión sobre la clase delos números ordinales y sobre ordinales mayores que ω; por ejemplo, en el estudio sobresubconjuntos de R: conjuntos de Borel, analíticos, de Baire y medibles. Históricamente, elprimer resultado cuya prueba requiere una definición por recursión sobre un ordinal mayorque ω, trata sobre la existencia y estructura del mayor subconjunto sin puntos aislados deun conjunto (cerrado) de números reales. Más importante, que el ejemplo anterior, para laconsolidación de la Teoría de Conjuntos es la prueba del Teorema del Buen Orden: Todoconjunto puede ser bien ordenado. En este caso es necesaria una definición por recursiónsobre la clase de los ordinales.3

Teoría de Conjuntos(Asignatura de libre configuración)Alumno NotaCarmen Casal Mesa 5Rocio Jurado Peléz 5Revisión o aclaraciones: Jueves y Viernes de 10:00 a 13:00.Alejandro Fernández Margarit.Sevilla 21 de Junio de 2010.6