Mapas de Progreso del Aprendizaje
Mapas de Progreso del Aprendizaje
Mapas de Progreso del Aprendizaje
- No tags were found...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong><strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Sector Matemática Mapa <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>Números y Operaciones
Material elaborado por la Unidad <strong>de</strong> Curriculum, UCE,Ministerio <strong>de</strong> Educación.Se agra<strong>de</strong>ce a los siguientes establecimientos que colaboraron enel proceso <strong>de</strong> recolección <strong>de</strong> trabajos <strong>de</strong> alumnos y alumnas:Alianza Francesa - VitacuraColegio Carlos Oviedo Cavada - MaipúColegio Notre Dame - Provi<strong>de</strong>nciaColegio San Adrián - QuilicuraColegio Saint George - VitacuraColegio Santo Cura <strong>de</strong> Ars - San MiguelColegio Victor Domingo Silva - La ReinaConfe<strong>de</strong>ración Suiza - SantiagoEscuela Antártica Chilena - VitacuraEscuela Car<strong>de</strong>nal Raúl Silva Henríquez - Puente AltoEscuela Irene Frei <strong>de</strong> Cid - SantiagoEscuela República <strong>de</strong> Ecuador - Viña <strong>de</strong>l MarEscuela San Joaquín - RencaEscuela Victoria Prieto - SantiagoInstituto Nacional - SantiagoLiceo Christie Mc Auliffe - La CisternaLiceo Darío Salas - SantiagoLiceo Domingo Espiñeira Riesco - Ancud - Chiloé
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>El material que se presenta a continuación, es parte <strong>de</strong>l conjunto<strong>de</strong> <strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong> que <strong>de</strong>scribenla secuencia típica en que progresa el aprendizaje, en <strong>de</strong>terminadasáreas o dominios que se consi<strong>de</strong>ran fundamentalesen la formación <strong>de</strong> los estudiantes, en los distintos sectorescurriculares. Esta <strong>de</strong>scripción está hecha <strong>de</strong> un modo concisoy <strong>de</strong> la forma más clara posible para que todos puedancompartir esta visión sobre cómo progresa el aprendizaje através <strong>de</strong> los 12 años <strong>de</strong> escolaridad. Se busca aclarar a losprofesores, a los padres <strong>de</strong> familia y a los estudiantes,qué significa mejorar en un <strong>de</strong>terminado dominio <strong>de</strong>laprendizaje.Los <strong>Mapas</strong> complementan las actuales herramientas curriculares(Marco Curricular <strong>de</strong> OF/CMO y Programas <strong>de</strong> Estudio) yen ningún caso las sustituyen. Establecen una relación entrecurrículum y evaluación, orientando lo que es importanteevaluar y entregando criterios comunes para observar y <strong>de</strong>scribircualitativamente el aprendizaje logrado. No constituyen unnuevo currículo, ya que no promueven otros aprendizajes;por el contrario, preten<strong>de</strong>n profundizar la implementación<strong>de</strong>l currículo <strong>de</strong> la Reforma, promoviendo la observación <strong>de</strong>las competencias claves que se <strong>de</strong>ben formar.Los <strong>Mapas</strong> <strong>de</strong>scriben el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan<strong>de</strong>s<strong>de</strong> primero básico a cuarto medio, con la excepción <strong>de</strong>Inglés, que tiene menos niveles por comenzar su enseñanzaen 5° básico.En estos 7 niveles se <strong>de</strong>scribe una secuencia que los estudiantesrecorren a diferentes ritmos y, por lo mismo, losniveles no correspon<strong>de</strong>n exactamente a lo que todos logranen un <strong>de</strong>terminado grado escolar. Sin embargo, cada nivelestá asociado a una expectativa para dos años <strong>de</strong> escolaridad.Por ejemplo, el nivel 1 correspon<strong>de</strong> aproximadamente allogro que se espera para la mayoría <strong>de</strong> los niños y niñas altérmino <strong>de</strong>l 2° Básico; el Nivel 2 correspon<strong>de</strong> al término <strong>de</strong>4° Básico y así sucesivamente. El último nivel (7), <strong>de</strong>scribeel aprendizaje <strong>de</strong> un alumno o alumna que al egresar es“sobresaliente”, es <strong>de</strong>cir va más allá <strong>de</strong> la expectativa que seespera para la mayoría que es el nivel 6.Los <strong>Mapas</strong> se irán dando a conocer a la comunidad escolargradualmente. En esta primera etapa se dan a conocer cinco<strong>de</strong> ellos, que dan cuenta <strong>de</strong> algunos dominios clave <strong>de</strong> lossectores <strong>de</strong> Lenguaje y Comunicación, Matemática, Historiay Ciencias Sociales, Ciencias Naturales e Inglés.MatemáticaEl currículum <strong>de</strong> Matemática tiene como propósito que los alumnosy alumnas adquieran los conocimientos básicos <strong>de</strong> la disciplina,a la vez que <strong>de</strong>sarrollen el pensamiento lógico, la capacidad <strong>de</strong><strong>de</strong>ducción, la precisión, las capacida<strong>de</strong>s para formular y resolverproblemas y las habilida<strong>de</strong>s necesarias para mo<strong>de</strong>lar situacioneso fenómenos. La construcción <strong>de</strong> la Matemática surge <strong>de</strong> lanecesidad <strong>de</strong> respon<strong>de</strong>r y resolver <strong>de</strong>safíos provenientes <strong>de</strong> losmás variados ámbitos <strong>de</strong>l quehacer humano y <strong>de</strong> la Matemáticamisma; su construcción y <strong>de</strong>sarrollo es una creación ligada a lahistoria y la cultura. Su aprendizaje enriquece la comprensión<strong>de</strong> la realidad, facilita la selección <strong>de</strong> estrategias para resolverproblemas y contribuye al <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> un pensamiento propioy autónomo. El mo<strong>de</strong>lamiento matemático <strong>de</strong> la realidad,mediante el uso apropiado <strong>de</strong> conceptos, relaciones entre ellos yprocedimientos matemáticos, ayuda al estudiante a compren<strong>de</strong>rsituaciones y fenómenos, y le permite formular explicacionesy hacer predicciones <strong>de</strong> ellos, aumentando su capacidad paraintervenir en esa realidad.Mapa <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong> Números yOperacionesLos aprendizajes <strong>de</strong> Matemática se han organizado en cuatro<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong>:• Números y Operaciones, <strong>de</strong>scribe el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l concepto<strong>de</strong> cantidad y <strong>de</strong> número y la competencia en el uso <strong>de</strong> técnicasmentales y escritas para calcular y resolver problemasque involucran distintos tipos <strong>de</strong> números.• Álgebra, <strong>de</strong>scribe cómo los alumnos y alumnas <strong>de</strong>sarrollan,en primer lugar, las abstracciones que prefiguran el álgebra,para luego expresar operaciones y relaciones usando símbolos,así como realizar operaciones mediante el uso <strong>de</strong>l lenguajealgebraico.• Geometría, <strong>de</strong>scribe el progreso <strong>de</strong> las competencias relacionadascon la comprensión, medición y el mo<strong>de</strong>lamiento <strong>de</strong>las formas, las transformaciones, la posición y el espacio.• Datos y Azar, <strong>de</strong>scribe el crecimiento <strong>de</strong> la capacidad <strong>de</strong>recolectar, organizar y representar información disponible,para <strong>de</strong>scribir y analizar situaciones, y hacer interpretaciones<strong>de</strong> sucesos en los que interviene el azar y la incertidumbre.Marzo 2007, primera versión pública
Sector MatemáticaEl Razonamiento Matemático constituye una dimensión que esabordada transversalmente en estos cuatro <strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong>.Los aprendizajes <strong>de</strong>scritos en el Mapa Números y Operacionesprogresan consi<strong>de</strong>rando tres dimensiones que se <strong>de</strong>sarrollan <strong>de</strong>manera interrelacionada:a. Comprensión y uso <strong>de</strong> los números. Se refiere a la comprensión<strong>de</strong>l significado <strong>de</strong> los números, la forma <strong>de</strong> expresarlosy los contextos numéricos a los que pertenecen, así como lasaplicaciones y los problemas que los originaron y/o permitenresolver.b. Comprensión y uso <strong>de</strong> las operaciones. Se refiere a lacomprensión <strong>de</strong>l significado <strong>de</strong> las operaciones, los contextosnuméricos en los que se realizan, las relaciones entre ellas, asícomo sus propieda<strong>de</strong>s y usos para obtener nueva informacióna partir <strong>de</strong> la información dada.c. Razonamiento Matemático. Involucra habilida<strong>de</strong>s relacionadascon la selección, aplicación y evaluación <strong>de</strong> estrategiaspara la resolución <strong>de</strong> problemas; la argumentación y la comunicación<strong>de</strong> estrategias y resultados.Elementos claves <strong>de</strong>l Mapa <strong>de</strong> Números yOperacionesUn supuesto importante que orienta este Mapa se refiere a laíntima relación entre los números, las operaciones que permitenrealizar y los problemas que resuelven; y cómo las operacionesgeneran preguntas y problemas que motivan nuevas <strong>de</strong>finiciones<strong>de</strong> números y extensiones <strong>de</strong> los ámbitos numéricos. El progreso<strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> número está dado, primero, por la extensión <strong>de</strong>los números naturales en relación con los requerimientos <strong>de</strong>lproceso <strong>de</strong>l conteo; luego, la operación <strong>de</strong> sustracción muestrala necesidad <strong>de</strong> los números negativos, motivando la noción<strong>de</strong> número entero; la división entre números enteros motiva laaparición <strong>de</strong> los racionales y, la operación extracción <strong>de</strong> raíz,muestra la necesidad <strong>de</strong> utilizar nuevos números, dando inicioal estudio <strong>de</strong> los irracionales y, posteriormente, <strong>de</strong> los númerosimaginarios en el caso <strong>de</strong> las raíces <strong>de</strong> números negativos.Las operaciones se consi<strong>de</strong>ran en este eje, principalmente, <strong>de</strong>s<strong>de</strong>el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> su comprensión, su uso a<strong>de</strong>cuado y cómo através <strong>de</strong> ellas los alumnos muestran dominio <strong>de</strong> los números.Operaciones también incluye la habilidad para estimar y calcularmentalmente.Finalmente, el Razonamiento Matemático, en este Mapa, se refierea la resolución <strong>de</strong> problemas con números y sobre números. Laresolución <strong>de</strong> problemas implica la capacidad <strong>de</strong> una personapara reunir, organizar, combinar y utilizar en forma apropiada,conocimientos matemáticos que permiten respon<strong>de</strong>r a situacioneso problemas parcial o completamente nuevos; o bien, a lacapacidad para respon<strong>de</strong>r a un problema conocido <strong>de</strong> una formanueva, original o parcialmente diferente a las respuestas dadas conanterioridad. En este sentido, resolución <strong>de</strong> problemas se oponea comportamiento rutinario o repetitivo.La resolución <strong>de</strong> problemas también incluye el uso <strong>de</strong> los númerospara hacer e investigar conjeturas sobre ellos. Esto involucrará eluso <strong>de</strong> un rango creciente <strong>de</strong> estrategias para resolver problemasy argumentaciones crecientemente más abstractas y <strong>de</strong> naturalezacada vez más sofisticada.Esta capacidad requiere el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> habilida<strong>de</strong>s tales como:la i<strong>de</strong>ntificación <strong>de</strong> la incógnita o <strong>de</strong> las variables cuyos valorespermitirían resolver el problema; la búsqueda y construcción <strong>de</strong>caminos <strong>de</strong> solución; el análisis <strong>de</strong> los datos y <strong>de</strong> las soluciones; laanticipación y estimación <strong>de</strong> el o los resultados posibles; el análisis<strong>de</strong> la pertinencia <strong>de</strong> esos resultados; la sistematización <strong>de</strong>l ensayoy error, así como la aplicación y ajuste <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los.En las páginas siguientes se encuentra el Mapa <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong><strong>de</strong> Números y Operaciones. Comienza con una presentaciónsintética <strong>de</strong> todos los niveles. Luego se presenta en <strong>de</strong>tallecada nivel, partiendo por su <strong>de</strong>scripción, algunos ejemplos <strong>de</strong><strong>de</strong>sempeño que ilustran cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel<strong>de</strong> aprendizaje, y uno o dos ejemplos <strong>de</strong> trabajo realizadospor alumnos <strong>de</strong> establecimientos subvencionados, con loscomentarios <strong>de</strong>l profesor que justifican por qué juzga que elalumno se encuentra “en” el nivel. En un anexo, se incluyela versión completa <strong>de</strong> las tareas a partir <strong>de</strong> las cuales serecolectaron los trabajos <strong>de</strong> los estudiantes.Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesMapa <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong> Números y OperacionesNivel 7SobresalienteCompren<strong>de</strong> los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen 1 .Compren<strong>de</strong> que en cada conjunto numérico se pue<strong>de</strong> operar sobre la base <strong>de</strong> reglas o propieda<strong>de</strong>s que pue<strong>de</strong>nser usadas para justificar o <strong>de</strong>mostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio<strong>de</strong> problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturasacerca <strong>de</strong> objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>situaciones matemáticas.Nivel 6Utiliza potencias <strong>de</strong> base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números complejoscomo una extensión <strong>de</strong>l campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en losreales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio<strong>de</strong> estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizacioneso predicciones y argumenta la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> los procedimientos o conjeturas.Nivel 5Reconoce a los números irracionales como números <strong>de</strong>cimales no periódicos que no pue<strong>de</strong>n ser escritos como fracciónentre dos números enteros y a los números reales, como la unión <strong>de</strong> los números racionales e irracionales. Realiza lascuatro operaciones con números reales en forma algebraica, utilizando propieda<strong>de</strong>s, e i<strong>de</strong>ntifica el conjunto numéricoal que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias <strong>de</strong> base racional y exponente racional, y sus propieda<strong>de</strong>s, parasimplificar cálculos, y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias queimplican <strong>de</strong>scomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategiaso procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la vali<strong>de</strong>z o falsedad <strong>de</strong> conjeturas.Nivel 4Compren<strong>de</strong> que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza al estimar, establecerrazones, proporciones y calcular porcentajes. Compren<strong>de</strong> la conexión entre las cuatro operaciones en los númerosracionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las potencias <strong>de</strong> base racional y exponente entero,y sus propieda<strong>de</strong>s, para simplificar cálculos. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversoscontextos en los que se <strong>de</strong>ben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturasformuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.Nivel 3Nivel 2Nivel 1Reconoce que los números naturales se pue<strong>de</strong>n expresar como producto <strong>de</strong> factores y los expresa en forma <strong>de</strong>potencias. Utiliza números <strong>de</strong>cimales positivos y fracciones positivas para or<strong>de</strong>nar, comparar, estimar, medir ycalcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitu<strong>de</strong>s, or<strong>de</strong>nar y comparar. Compren<strong>de</strong> el significado <strong>de</strong>porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números <strong>de</strong>cimales, para calcular porcentajessimples 2 . Compren<strong>de</strong> y realiza las cuatro operaciones con números <strong>de</strong>cimales y con fracciones. Resuelveproblemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la informacióndisponible. Argumenta sobre la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.Utiliza los números naturales hasta 1.000.000 para contar, or<strong>de</strong>nar, comparar, medir, estimar y calcular. Compren<strong>de</strong>que las fracciones simples 3 y los números <strong>de</strong>cimales permiten cuantificar las partes <strong>de</strong> un objeto, una colección <strong>de</strong>objetos o una unidad <strong>de</strong> medida, y realiza comparaciones entre números <strong>de</strong>cimales o entre fracciones. Multiplica ydivi<strong>de</strong> (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado <strong>de</strong> estas operaciones y la relación entreellas. Realiza estimaciones y cálculos mentales <strong>de</strong> multiplicaciones y divisiones exactas que requieren <strong>de</strong> estrategiassimples. Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no están necesariamenteexplícitos y requieren reorganizar la información <strong>de</strong>l enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicandosu razonamiento o verificando conjeturas a través <strong>de</strong> ejemplos.Utiliza los números naturales hasta 1.000 para contar, or<strong>de</strong>nar, comparar, medir, estimar y calcular cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>objetos y magnitu<strong>de</strong>s. Compren<strong>de</strong> que en estos números, la posición <strong>de</strong> cada dígito <strong>de</strong>termina su valor. Realiza adicionesy sustracciones comprendiendo el significado <strong>de</strong> estas operaciones y la relación entre ellas. Reconoce que losnúmeros naturales se pue<strong>de</strong>n expresar como adiciones o sustracciones <strong>de</strong> dos números naturales y <strong>de</strong>scomponer encentenas, <strong>de</strong>cenas y unida<strong>de</strong>s. Realiza estimaciones y cálculos mentales <strong>de</strong> adiciones y sustracciones que requieren<strong>de</strong> estrategias simples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares, en quelos datos están explícitos y cuya estrategia <strong>de</strong> solución está claramente sugerida en el enunciado. Describe y explicala estrategia utilizada.1 Los enteros motivados por la sustracción, los racionales por los cuocientes imposibles entre enteros, los irracionales como consecuencia <strong>de</strong> la raíz cuadrada y los imaginarios como consecuencia <strong>de</strong>las raíces <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n par <strong>de</strong> números negativos.2 10%, 15%, 20%, 25%, 50%, 75%.3 Fracciones simples: medios, tercios, cuartos, quintos, octavos, décimos y centésimos.Marzo 2007, primera versión pública
Sector MatemáticaNivel 1Utiliza los números naturales hasta 1.000 para contar, or<strong>de</strong>nar, comparar, medir, estimary calcular cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> objetos y magnitu<strong>de</strong>s. Compren<strong>de</strong> que en estos números,la posición <strong>de</strong> cada dígito <strong>de</strong>termina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendoel significado <strong>de</strong> estas operaciones y la relación entre ellas. Reconoce quelos números naturales se pue<strong>de</strong>n expresar como adiciones o sustracciones <strong>de</strong> dosnúmeros naturales y <strong>de</strong>scomponer en centenas, <strong>de</strong>cenas y unida<strong>de</strong>s. Realiza estimacionesy cálculos mentales <strong>de</strong> adiciones y sustracciones que requieren <strong>de</strong> estrategiassimples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextosfamiliares, en que los datos están explícitos y cuya estrategia <strong>de</strong> solución está claramentesugerida en el enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Compara números <strong>de</strong> dos y tres cifras. Por ejemplo: la longitud <strong>de</strong> ríos chilenos para saber cuál es más largo;el precio <strong>de</strong> dos o más productos para saber cuál es el más conveniente.Estima cantida<strong>de</strong>s a partir <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> objetos. Por ejemplo: cantidad <strong>de</strong> porotos o piedras en unacaja cuando se sabe la cantidad total que ésta es capaz <strong>de</strong> contener.Estima el resultado <strong>de</strong> adiciones y sustracciones a partir <strong>de</strong>l redon<strong>de</strong>o <strong>de</strong> los términos involucrados. Porejemplo: estima el precio total <strong>de</strong> varios productos, para <strong>de</strong>terminar si el dinero disponible alcanza para lacompra.Calcula mentalmente el resultado <strong>de</strong> problemas que involucran adición o sustracción <strong>de</strong> números pequeños.Por ejemplo: calcula mentalmente la cantidad <strong>de</strong> alumnos en una biblioteca si hay nueve estudiantes y lleganocho estudiantes más.Resuelve adiciones y sustracciones, utilizando composición y <strong>de</strong>scomposición aditiva.Respon<strong>de</strong> preguntas relacionadas con los números y las operaciones. Por ejemplo: respon<strong>de</strong> a la pregunta:¿Qué suce<strong>de</strong> cuando cambias la posición <strong>de</strong> los dígitos en el número 79?Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaA los alumnos y alumnas se les presentó una situación en la que dos hermanos queríancomprar chocolates que costaban 120 pesos cada uno. Se señaló para cuántos chocolatesle alcanzaba a Juan y se entregó la cantidad <strong>de</strong> monedas que tenía Teresa a través <strong>de</strong> unailustración. Se les pidió a los estudiantes <strong>de</strong>terminar la cantidad <strong>de</strong> dinero que tenía cadaniño y quién <strong>de</strong> ellos tenía más dinero para la compra <strong>de</strong> chocolates.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »a. Si Juan tiene dinero para comprar dos chocolates, entonces ¿cuánto dinero tiene Juan?Muestra tu <strong>de</strong>sarrollo.Realiza la adición necesariapara respon<strong>de</strong>rcuánto dinero tieneJuan.Compone aditivamentepara <strong>de</strong>terminar elmonto <strong>de</strong> dinero quetiene Teresa. Comparaambos resultados obtenidosy señala cuál<strong>de</strong> los dos niños tienemás dinero.b. De los dos hermanos ¿Quién tendría más dinero? Muestra tu <strong>de</strong>sarrollo.Marzo 2007, primera versión pública
Sector MatemáticaNivel 2Utiliza los números naturales hasta 1.000.000 para contar, or<strong>de</strong>nar, comparar, medir,estimar y calcular. Compren<strong>de</strong> que las fracciones simples 4 y los números <strong>de</strong>cimalespermiten cuantificar las partes <strong>de</strong> un objeto, una colección <strong>de</strong> objetos o una unidad <strong>de</strong>medida, y realiza comparaciones entre números <strong>de</strong>cimales o entre fracciones. Multiplicay divi<strong>de</strong> (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado <strong>de</strong>estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones y cálculos mentales <strong>de</strong>multiplicaciones y divisiones exactas que requieren <strong>de</strong> estrategias simples. Resuelveproblemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos noestán necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información <strong>de</strong>l enunciado.Justifica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas através <strong>de</strong> ejemplos.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Compara números naturales hasta el millón en contextos <strong>de</strong> la vida cotidiana. Por ejemplo: el número <strong>de</strong>personas que asisten a dos eventos masivos diferentes.Estima el resultado <strong>de</strong> una multiplicación, a partir <strong>de</strong>l redon<strong>de</strong>o <strong>de</strong> los términos involucrados. Por ejemplo:aproxima el resultado <strong>de</strong>l producto <strong>de</strong> 13 · 29, redon<strong>de</strong>ando los factores a la <strong>de</strong>cena más cercana.Fracciona en partes iguales objetos o magnitu<strong>de</strong>s representadas gráficamente y escribe la fracción que correspon<strong>de</strong>a una o más <strong>de</strong> esas partes.Compara números <strong>de</strong>cimales con o sin apoyo <strong>de</strong> la recta numérica. Por ejemplo: compara la estatura <strong>de</strong> dosestudiantes expresada en metros.Efectúa cálculos mentales <strong>de</strong> productos y cuocientes <strong>de</strong> números por 10, por 100 y por 1.000.Resuelve problemas que involucran multiplicación, división por un dígito o combinación <strong>de</strong> estas, realizando laoperación a<strong>de</strong>cuada <strong>de</strong> acuerdo al contexto. Por ejemplo: calcula el dinero reunido en una rifa realizada en uncurso <strong>de</strong> 35 alumnos, si cada alumno vendió 20 números a $200 cada uno. Otro ejemplo: un padre entregadiariamente $960 para el pasaje <strong>de</strong> sus cuatro hijos. ¿Cuánto dinero gasta en pasaje cada niño durante unasemana (5 días)?4 Fracciones simples: medios, tercios, cuartos, quintos, octavos, décimos y centésimos.Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaA los alumnos y alumnas se les presentó un problema con datos explícitos e implícitos enel enunciado. En la situación planteada, los estudiantes <strong>de</strong>bían <strong>de</strong>terminar el número <strong>de</strong>bolitas que tendrían tres amigos.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »Para resolver la primerapregunta, i<strong>de</strong>ntifica laoperación que le permite<strong>de</strong>scubrir datosno explícitos en el problema,traduciendo “7veces” como una multiplicaciónpor 7. Luego,en la segunda pregunta,elabora una estrategiaque involucra separarel problema en partes,que le permite resolverlopaso por paso.Utiliza las operacionesa<strong>de</strong>cuadas y da cuentaque compren<strong>de</strong> el significado<strong>de</strong> la divisiónal traducir la “terceraparte” <strong>de</strong> una cantidad,como una división entres partes iguales.a. ¿Cuántas bolitas tiene Ernesto?b. Ernesto y Jaime le regalan bolitas a Pedro. Ernesto le regala 10 y Jaime le regala la terceraparte <strong>de</strong> las suyas. ¿Con cuántas bolitas se quedan Jaime, Pedro y Ernesto?Marzo 2007, primera versión pública
Sector MatemáticaNivel 3Reconoce que los números naturales se pue<strong>de</strong>n expresar como producto <strong>de</strong> factoresy los expresa en forma <strong>de</strong> potencias. Utiliza números <strong>de</strong>cimales positivos y fraccionespositivas para or<strong>de</strong>nar, comparar, estimar, medir y calcular. Utiliza números enterospara cuantificar magnitu<strong>de</strong>s, or<strong>de</strong>nar y comparar. Compren<strong>de</strong> el significado <strong>de</strong>porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números <strong>de</strong>cimales,para calcular porcentajes simples 5 . Compren<strong>de</strong> y realiza las cuatro operaciones connúmeros <strong>de</strong>cimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formulaconjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible.Argumenta sobre la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Resuelve problemas que involucran porcentajes, transformando el porcentaje a la fracción correspondiente.Por ejemplo: calcula el precio final <strong>de</strong> un pantalón que cuesta $4.000, si tiene un 25% <strong>de</strong> <strong>de</strong>scuento.Realiza adiciones y sustracciones con fracciones y/o números <strong>de</strong>cimales, sustituyendo fracciones por otrasiguales cuando sea necesario. Por ejemplo, calcula:4 1 8 − 2 4Aproxima resultados <strong>de</strong> operaciones con números <strong>de</strong>cimales, redon<strong>de</strong>ando los números involucrados.Encuentra fracciones iguales a una fracción € dada, mediante amplificación o simplificación.Descompone multiplicativamente un número i<strong>de</strong>ntificando factores. Por ejemplo: <strong>de</strong>scompone el número360 en factores primos 2 · 3 · 3 · 2 · 5 · 2, ó en factores como 2 · 18 · 10; 6 · 6 · 10; 3 · 12 · 10,etc.Resuelve problemas que implican or<strong>de</strong>nar números enteros. Por ejemplo: or<strong>de</strong>na <strong>de</strong> menor a mayor lastemperaturas mínimas registradas en una semana <strong>de</strong>l mes <strong>de</strong> julio en cierta ciudad, si estas van <strong>de</strong> – 4º C a5º C.5 10%, 15%, 20%, 50%, 25%, 75%10Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tarea A los estudiantes se les presentó la siguiente imagen. Se les pidió <strong>de</strong>terminar cuál <strong>de</strong> losenvases traía más café gratis.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »Al escribir “<strong>de</strong> 250”y “<strong>de</strong> 400 gr.” en su<strong>de</strong>sarrollo, asocia losporcentajes con susrespectivos referentes(cantidad <strong>de</strong> café quehay en cada envase).Expresa el porcentajecomo una fracción <strong>de</strong><strong>de</strong>nominador 100 yencuentra su valor utilizandolas operacionesa<strong>de</strong>cuadas.Compara los resultadosy concluye interpretandola respuesta <strong>de</strong> acuerdoal contexto.¿Cuál <strong>de</strong> los dos paquetes trae más café gratis? Justifica tu respuestaMarzo 2007, primera versión pública11
Sector MatemáticaNivel 4Compren<strong>de</strong> que todo número racional es un cuociente entre dos números enterosy los utiliza al estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes.Compren<strong>de</strong> la conexión entre las cuatro operaciones en los números racionalespositivos y negativos. Utiliza la notación científica y las potencias <strong>de</strong> base racional yexponente entero, y sus propieda<strong>de</strong>s, para simplificar cálculos. Resuelve problemasno rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se <strong>de</strong>ben establecerrelaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturasformuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos yrelaciones matemáticas.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Escribe un número racional <strong>de</strong> diversas maneras. Por ejemplo: escribe en forma <strong>de</strong> fracción el número 1,25.Resuelve problemas que involucran cálculo <strong>de</strong> porcentajes usando proporciones. Por ejemplo: calcula elporcentaje <strong>de</strong> mujeres <strong>de</strong> una población si se conoce el total <strong>de</strong> la población y el total <strong>de</strong> hombres.€Escribe números gran<strong>de</strong>s o pequeños utilizando notación científica. Por ejemplo: el tamaño <strong>de</strong> una bacteria:0,0000002 mm como 2⋅10 −7 mm; la distancia <strong>de</strong>l Sol a la Tierra: 150.000.000 Km. como 1,5⋅10 8 Km.Utiliza las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las potencias para calcular el resultado <strong>de</strong> operaciones con potencias <strong>de</strong> baseracional y exponente entero.€Usa las 4 operaciones con números enteros para realizar cálculos. Por ejemplo: “calcula€- 10 – - 3”, “¿Quéresultado es mayor, - 8 : - 2 ó - 20 : 4?”, etc.Ubica en la recta numérica números racionales escritos como fracción o <strong>de</strong>cimal.Usa las cuatro operaciones con números racionales. Por ejemplo, 1,25 : 0,5 y1 2 3 ⋅ 2 5€12Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tarea A los estudiantes se les presentó una situación con dos alternativas, en la cual <strong>de</strong>bían<strong>de</strong>terminar el precio más conveniente por la compra <strong>de</strong> una bicicleta, consi<strong>de</strong>rando <strong>de</strong>scuentosy el IVA.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »Para resolver el problema,utiliza un valorreferencial ($30.000),no necesariamente unvalor real. Calcula porcentajesutilizando lasproporciones y realizacorrectamente las operacionespara conocerel precio final <strong>de</strong> la bicicletaen ambos casos;concluye justificandoel resultado utilizandoconceptos y relacionesmatemáticos.Marzo 2007, primera versión pública13
Sector MatemáticaNivel 5Reconoce a los números irracionales como números <strong>de</strong>cimales no periódicos queno pue<strong>de</strong>n ser escritos como fracción entre dos números enteros y a los númerosreales, como la unión <strong>de</strong> los números racionales e irracionales. Realiza las cuatrooperaciones con números reales en forma algebraica, utilizando propieda<strong>de</strong>s, ei<strong>de</strong>ntifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias<strong>de</strong> base racional y exponente racional, y sus propieda<strong>de</strong>s, para simplificar cálculos,y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategiasque implican <strong>de</strong>scomponer un problema o situaciones propuestas en parteso sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos ycontraejemplos para verificar la vali<strong>de</strong>z o falsedad <strong>de</strong> conjeturas.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Ubica en la recta numérica un número irracional. Por ejemplo:Determina aproximaciones por <strong>de</strong>fecto y por exceso <strong>de</strong> un número irracional con una precisión indicada. Porejemplo: encuentra dos <strong>de</strong>cimales <strong>de</strong> la 2.€Realiza cálculos extendiendo las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las potencias a aquellas <strong>de</strong> base racional y exponenteracional.€Resuelve problemas cuya solución es un número irracional. Por ejemplo: “Un cuadrado tiene un área <strong>de</strong>10 m 2 . Calcula la longitud <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> sus lados”.Resuelve problemas que involucran combinación <strong>de</strong> operaciones con números reales, utilizando convenciones<strong>de</strong> paréntesis, propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las operaciones y prioridad <strong>de</strong> las operaciones.Realiza pruebas para argumentar la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una conjetura. Por ejemplo: “El producto <strong>de</strong> dos númerosirracionales distintos es siempre un número irracional”.3.14Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaA los alumnos se les presenta la siguiente situación: “En la siguiente tabla se presentan seissegmentos y sus respectivas longitu<strong>de</strong>s en centímetros. Como pue<strong>de</strong>s ver, se ha utilizadointencionalmente distintas maneras para representar la longitud <strong>de</strong> cada segmento”.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »Determina aproximacionesa un número irracionalcon una precisión <strong>de</strong>dos <strong>de</strong>cimales.a. Distingue los númerosirracionales,<strong>de</strong> los númerosracionales, por laimposibilidad <strong>de</strong>escribirlos comofracción.b. Resuelve problemascuya solución es unnúmero irracional.Infiere que al restarleun númeroirracional a uno racionalse obtiene unnúmero don<strong>de</strong> noes posible visualizarun período reconociéndolocomo irracional.c. Compren<strong>de</strong> queal sumar númerosirracionales, el resultadoobtenidono siempre es irracional.Realiza conjeturas ylas verifica a través<strong>de</strong> ejemplos.Marzo 2007, primera versión pública15
Sector MatemáticaNivel 6Utiliza potencias <strong>de</strong> base real y exponente racional para resolver problemas. Reconocea los números complejos como una extensión <strong>de</strong>l campo numérico y losutiliza para resolver problemas que no admiten solución en los reales. Usa las cuatrooperaciones con números complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio<strong>de</strong> estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realizaconjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong>los procedimientos o conjeturas.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Interpreta las soluciones <strong>de</strong> una ecuación cuadrática cuyo discriminante es negativo. Por ejemplo: x 2 +1 = 0.Representa números complejos escritos en forma cartesiana sobre el plano complejo (plano <strong>de</strong> Argand).Escribe un número complejo <strong>de</strong> diferentes maneras. Por ejemplo: escribe el número real 5 como número€complejo <strong>de</strong> la forma 5 + 0i; Otro ejemplo: Trasforma el número complejo (8,-2) escrito en forma cartesianaa su forma binomial como 8 – 2i.Determina el producto <strong>de</strong> dos números complejos en su forma binomial. Por ejemplo: (-1+ 3i) (3-9i).Calcula la raíz cuadrada <strong>de</strong> números negativos para dar solución a un problema. Por ejemplo: “Un númeroelevado al cuadrado es –3, ¿cuál es el número?”.16Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaEjemplo1A los alumnos se les presenta una ecuación cuadrática que <strong>de</strong>ben resolver y <strong>de</strong>scribir lassoluciones obtenidas.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »I<strong>de</strong>ntifica el contextonumérico en el cual laecuación cuadrática sepue<strong>de</strong> resolver. I<strong>de</strong>ntificay justifica que −1 nopertenece a los númerosreales. Encuentra las€soluciones complejas<strong>de</strong> la ecuación.Marzo 2007, primera versión pública17
Sector MatemáticaEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaEjemplo 2A los estudiantes se les presenta una situación en la que <strong>de</strong>ben trabajar con un número irracionalconocido como el número áureo. Éste es presentado en su forma algebraica y unaaproximación <strong>de</strong>cimal. Con esto se les solicita realizar tres acciones con éste número.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »a. Resuelve la expresiónreemplazandoel número irracionalpresentado. Operacorrectamente para<strong>de</strong>terminar el valorresultante.b. Escribe las expresionesalgebraicas<strong>de</strong> los números Øy Ø -1 . Reconoceque Ø -1 es el inversomultiplicativo<strong>de</strong> Ø. Transformalas expresiones a<strong>de</strong>cimales <strong>de</strong> cincocifras <strong>de</strong>cimales,opera y con estoconcluye que poseenla misma parte<strong>de</strong>cimal.18 Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »c. Utiliza los valores <strong>de</strong>las distintas expresionespara concluirque el rectángulo(1)+(2) es áureo, através <strong>de</strong> valoresnuméricos.Utiliza distintasaproximaciones enlas expresiones,por lo que concluyesin la precisiónrequerida para elproblema.Marzo 2007, primera versión pública19
Sector MatemáticaNivel 7SobresalienteCompren<strong>de</strong> los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y losproblemas que les dieron origen 6 . Compren<strong>de</strong> que en cada conjunto numérico sepue<strong>de</strong> operar sobre la base <strong>de</strong> reglas o propieda<strong>de</strong>s que pue<strong>de</strong>n ser usadas parajustificar o <strong>de</strong>mostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver unamplio repertorio <strong>de</strong> problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversasestrategias y para formular conjeturas acerca <strong>de</strong> objetos matemáticos. Utilizalenguaje matemático para presentar argumentos en la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> situacionesmatemáticas.¿Cómo se pue<strong>de</strong> reconocer este nivel <strong>de</strong> aprendizaje? Ejemplos <strong>de</strong> <strong>de</strong>sempeñoCuando un alumno o alumna ha logrado este nivel, realiza activida<strong>de</strong>s como las siguientes:Explica por qué los números complejos <strong>de</strong> la formaa + 0ise comportan como los números reales.Demuestra propieda<strong>de</strong>s relativas a números. Por ejemplo: <strong>de</strong>muestra que el producto entre dos reales negativoses un número real positivo.Resuelve problemas complejos que implican la aplicación <strong>de</strong> distintos conceptos matemáticos. Por ejemplo:calcula el dinero que obtiene Juan <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> 20 años si <strong>de</strong>posita en el banco $ 500.000 al 9% <strong>de</strong> interéscompuesto.6 Los enteros motivados por la sustracción, los racionales por los cuocientes imposibles entre enteros, los irracionales como consecuencia <strong>de</strong> la raíz cuadrada y los imaginarios como consecuencia<strong>de</strong> las raíces <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n par <strong>de</strong> números negativos.20Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y OperacionesEjemplo <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> alumnos y alumnas• La tareaA los estudiantes se les presenta una situación en la que <strong>de</strong>ben trabajar con un número irracionalconocido como el número áureo. Éste es presentado en su forma algebraica y una aproximación<strong>de</strong>cimal. Con esto se les solicita realizar tres acciones con este número.• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »a. Determina el valor<strong>de</strong> una expresiónnumérica, medianteoperatoria connúmeros reales.Plantea una conjeturanumérica, apartir <strong>de</strong>l resultadoobtenido anteriormente.b. Utiliza la conjeturaanterior para <strong>de</strong>mostrarla propiedadbuscada.Marzo 2007, primera versión pública21
Sector Matemática• Ejemplo <strong>de</strong> trabajo en el nivel »c. Formaliza unad e m o s t r a c i ó nmatemática planteandoexplícitamentehipótesisy tesis. Enca<strong>de</strong>nacorrectamente losargumentos para<strong>de</strong>mostrar la proposiciónmatemática.Demuestra dominioen la operatoria conraíces.22 Marzo 2007, primera versión pública
AnexosTareas Aplicadaspor Nivel
Sector Matemática? AnexoNivel 1 / Tareas Aplicadas24 Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones? AnexoNivel 2/ Tareas AplicadasMarzo 2007, primera versión pública25
Sector Matemática? AnexoNivel 3 / Tareas Aplicadas26 Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones? AnexoNivel 4 / Tareas AplicadasMarzo 2007, primera versión pública27
Sector Matemática? AnexoNivel 5 / Tareas Aplicadas28 Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones? AnexoNivel 5 / Tareas AplicadasMarzo 2007, primera versión pública29
Sector Matemática? AnexoNivel 6 / Tareas Aplicadas30 Marzo 2007, primera versión pública
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong> <strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>Números y Operaciones? AnexoNivel 6 y 7 / Tareas AplicadasMarzo 2007, primera versión pública31
Sector MatemáticaMPASector Matemática / Números? AnexoNivel 6 y 7 / Tareas Aplicadas32 Marzo Borrador 2007, Diciembre primera 2006, versión no pública citar ni reproducir
<strong>Mapas</strong> <strong>de</strong> <strong>Progreso</strong><strong>de</strong>l <strong>Aprendizaje</strong>