TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

TRANSFORMADA DE LAPLACE 9
de discontinuidad) y tiene sentido hablar de la antitransformada de Laplace o
transformada inversa.
Cálculo de antitransformadas. Para el calculo de la transformad inversa de Laplace
de una función se aplican las reglas obtenidas anteriormente, pero en sentido contrario.
En la aplicación a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, las funciones
que aparecen en casi todos los problemas son funciones racionales, para las que
podemos usar la descomposición en fracciones simples. Para una función racional
propia P/Q, con grado(P ) < grado(Q), se tiene
F (s) =
P (s)
Q(s) =
r� mi �
cij
(s − λi)
i=1 j=1
j
donde λ1, . . . , λr son las raíces complejas distintas de Q, ymi es la multiplicidad
de la raíz λi. Cada uno de estos términos tiene antitransformada muy sencilla:
L −1
1 1
=
(s − λ) k+1
k! tk e λt .
Ejemplo 3.2: Hallaremos la antitransformada de
1
F (s) =
(s + 1) 2 (s + 2) .
La descomposición en fracciones simples es
que es la transformada de
F (s) =− 1
(s + 1) +
1
+
(s + 1) 2
f(t) =−e −t + te −t + e −2t .
1
(s + 2) .
En ocasiones, cuando hay raíces complejas de multiplicidad baja, podemos proceder
de la siguiente manera alternativa.
Ejemplo 3.3: Consideremos la función
s +2
F (s) =
s2 +2s +5 .
Para hallar su antitransformada completamos cuadrados para poner la fracción en
forma simple y efectuamos manipulaciones sencillas
F (s) =
s +2
(s + 1) 2 =
+22 s +1
(s + 1) 2 +2
1
+ 2 2
2
(s + 1) 2 +2 2
Así para cada término obtenemos la antitransformada fácilmente
L −1
�
s +1
(s + 1) 2 +22 �
= L −1
�
s
s2 +22 � �
�
� =e
s→s+1
−t L −1
�
1
s2 +22 �
y de manera análoga
�
�
L −1
2
(s + 1) 2 +2 2
= L −1
�
2
s 2 +2 2
� �
�
�
s→s+1
Por tanto F es la transformada de
e −t
�
cos(2t)+ 1
2 sin(2t)
�
⊳
=e −t cos(2t),
=e −t L −1
�
2
s2 +22 �
=e −t sin(2t).
⊳