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8 EDUARDO MARTÍNEZ f(t) F (s) e at f(t) F (s − a) f(t − a)H(t − a) e −as F (s) t n f(t) (−1) f(t) t n dn F (s) dsn � ∞ F (σ) dσ f ′ (t) sF (s) − f(0 − ) f ′′ (t) s 2 F (s) − sf(0 − ) − f ′ (0 − ) f (n) (t) s n F (s) − [s n−1 f(0 − )+s n−2 f ′ (0 − )+· · · � t f(τ) dτ 0 f(t) =f(t + T ) s · · · + sf (n−2) (0 − )+f (n−1) (0 − )] F (s) s 1 1 − e−sT � T f(t)e 0 −st dt (f ∗ g)(t) F (s)G(s) Hacemos el cambio r = e−t y definimos la función φ(r) correspondiente a g(t) extendida por continuidad a r =0 � g(− ln r) 0
TRANSFORMADA DE LAPLACE 9 de discontinuidad) y tiene sentido hablar de la antitransformada de Laplace o transformada inversa. Cálculo de antitransformadas. Para el calculo de la transformad inversa de Laplace de una función se aplican las reglas obtenidas anteriormente, pero en sentido contrario. En la aplicación a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, las funciones que aparecen en casi todos los problemas son funciones racionales, para las que podemos usar la descomposición en fracciones simples. Para una función racional propia P/Q, con grado(P ) < grado(Q), se tiene F (s) = P (s) Q(s) = r� mi � cij (s − λi) i=1 j=1 j donde λ1, . . . , λr son las raíces complejas distintas de Q, ymi es la multiplicidad de la raíz λi. Cada uno de estos términos tiene antitransformada muy sencilla: L −1 1 1 = (s − λ) k+1 k! tk e λt . Ejemplo 3.2: Hallaremos la antitransformada de 1 F (s) = (s + 1) 2 (s + 2) . La descomposición en fracciones simples es que es la transformada de F (s) =− 1 (s + 1) + 1 + (s + 1) 2 f(t) =−e −t + te −t + e −2t . 1 (s + 2) . En ocasiones, cuando hay raíces complejas de multiplicidad baja, podemos proceder de la siguiente manera alternativa. Ejemplo 3.3: Consideremos la función s +2 F (s) = s2 +2s +5 . Para hallar su antitransformada completamos cuadrados para poner la fracción en forma simple y efectuamos manipulaciones sencillas F (s) = s +2 (s + 1) 2 = +22 s +1 (s + 1) 2 +2 1 + 2 2 2 (s + 1) 2 +2 2 Así para cada término obtenemos la antitransformada fácilmente L −1 � s +1 (s + 1) 2 +22 � = L −1 � s s2 +22 � � � � =e s→s+1 −t L −1 � 1 s2 +22 � y de manera análoga � � L −1 2 (s + 1) 2 +2 2 = L −1 � 2 s 2 +2 2 � � � � s→s+1 Por tanto F es la transformada de e −t � cos(2t)+ 1 2 sin(2t) � ⊳ =e −t cos(2t), =e −t L −1 � 2 s2 +22 � =e −t sin(2t). ⊳
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