TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

TRANSFORMADA DE LAPLACE 7
Si f y g son continuas a trozos en el intervalo [0, ∞) y tienen transformada de
Laplace F y G, respectivamente, entonces la transformada de Laplace del producto
de convolución de f por g es el producto (ordinario) de las sus transformadas, es
decir,
L(f ∗ g)(s) =F (s)G(s).
Por cálculo directo, utilizando el teorema de intercambio de orden de integración,
tenemos
� ∞
L(f ∗ g)(s) = e
0
−st (f ∗ g)(t) dt
� ∞
= e
0
−st
�� ∞
�
H(t − τ)f(t − τ)g(τ) dτ dt
� ∞ � ∞
0
= e
0 0
−st H(t − τ)f(t − τ)g(τ) dt dτ
� ∞ �� ∞
= g(τ) e
0
0
−st �
H(t − τ)f(t − τ) dt dτ
� ∞
= g(τ)e
0
−sτ F (s) dτ
� ∞
= F (s) g(τ)e −sτ dτ
0
= F (s)G(s).
donde se ha usado que la transformada de Laplace de H(t−τ)f(t−τ) es e −sτ F (s).
3. Transformada inversa
Nos preguntamos en esta sección por la posibilidad de que dos funciones distintas
tengan la misma transformada de Laplace. Teniendo en cuenta la propiedad de
linealidad de la transformada de Laplace, podemos plantear el problema de forma
equivalente ¿Existen funciones no nulas cuya transformada de Laplace sea la función
cero?. A este respecto, recordemos que estamos considerando que dos funciones
continuas a trozos son iguales si difieren a lo sumo en sus valores en los puntos de
discontinuidad en [0, ∞).
Teorema 3.1 (Lerch): La única función continua a trozos cuya transformada de
Laplace es nula (en un intervalo semiinfinito) es la función cero:
L(f) = 0 si y sólo si f =0.
Dem. Supongamos que S = [s0, ∞) es un intervalo donde F = L(f) es nula.
Integrando por partes ( � u dv = uv − � v du) en la transformada de f con
obtenemos
donde hemos definido
u = e −(s−s0)t
dv = e −s0t f(t) dt,
� ∞
F (s) = (s − s0) e −(s−s0)t
g(t) dt,
0
� t
g(t) = e −s0τ
f(τ) dτ,
0
que es una función continua, y hemos tenido en cuenta que g(0) = 0 y que
limt→∞ e−(s−s0)tg(t) = 0 · F (s0) = 0 para s ∈ S.
Como F se anula en H, se tiene que F (s0 + n) = 0 para todo n ∈ N, es decir,
� ∞
e −nt g(t) dt.
0