TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

6 EDUARDO MARTÍNEZ
Ejercicio 2.4: Demostrar por inducción que la transformada de Laplace de la
derivada n-ésima de f es
L(f (n) (t)) = s n F (s) − [s n−1 f(0 − )+s n−2 f ′ (0 − )+· · · + sf (n−2) (0 − )+f (n−1) (0 − )].
Transformada de una integral. De la regla anterior se deduce que la transformada de
Laplace de la integral � t
f(τ) dτ (la primitiva de f que se anula en t =0es F (s)/s.
0
En efecto, denotando por g(t) a la integral anterior, se tiene que g ′ (t) =f(t) y
g(0) = 0, de donde
F (s) =L(f(t)) = L(g ′ (t)) = sL(g(t)) − g(0) = sL(g(t)).
Despejando se obtiene el resultado.
Multiplicación por t. La transformada de Laplace de tf(t) es −F ′ (s). En efecto,
derivando F (s) obtenemos
F ′ � ∞
(s) =
0
f(t) d
ds e−st dt = −
� ∞
tf(t)e −st dt.
Ejercicio 2.5: Demostrar por inducción que la transformada de Laplace de t n f(t)
es
L(t n f(t)) = (−1) n F (n) (s).
Utilizando esta regla demostrar que la transformada de Laplace de t n /n! es 1/s n+1 .
División por t. La transformada de Laplace de f(t)/t es G(s) = � ∞
F (σ) dσ. En
s
efecto, la derivada de G es −F (s), de donde, denotando por g(t) a la función cuya
transformada es G(s),
L(f(t)) = F (s) =−G ′ (s) =L(tg(t)),
de donde f(t) =tg(t).
Transformada de una función periódica. Consideremos una función f periódica de
periodo T , es decir, se satisface f(t + T )=f(t) para todo t ≥ 0. Dividiendo la
integral en intervalos de longitud T , y haciendo el cambio de variable ¯t = t − nT
an cada una de ellas, se tiene
� ∞
L(f(t)) = f(t)e −st
=
=
=
=
=
0
∞�
n=0
� (n+1)T
nT
∞�
� T
n=0
∞�
n=0
� ∞�
n=0
0
−nsT )
e
1
1 − e −sT
0
f(t)e −st dt
f(¯t + nT )e −s(¯t+nT ) dt
� T
f(¯t)e −s¯t
dt
0
(e −sT ) ) n
� � T
f(¯t)e −s¯t
dt
0
� T
f(¯t)e −s¯t
dt,
siempre que s>0 (para que la razón de la serie geométrica sea e−sT < 1).
Producto de convolución. Recordamos que el producto de convolución de dos
funciones f y g es la función f ∗ g definida por la integral
� t
(f ∗ g)(t) = f(t − τ)g(τ) dτ.
0
0