TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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6 EDUARDO MARTÍNEZ<br />
Ejercicio 2.4: Demostrar por inducción que <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce de <strong>la</strong><br />
derivada n-ésima de f es<br />
L(f (n) (t)) = s n F (s) − [s n−1 f(0 − )+s n−2 f ′ (0 − )+· · · + sf (n−2) (0 − )+f (n−1) (0 − )].<br />
Transformada de una integral. De <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> anterior se deduce que <strong>la</strong> transformada de<br />
Lap<strong>la</strong>ce de <strong>la</strong> integral � t<br />
f(τ) dτ (<strong>la</strong> primitiva de f que se anu<strong>la</strong> <strong>en</strong> t =0es F (s)/s.<br />
0<br />
En efecto, d<strong>en</strong>otando por g(t) a <strong>la</strong> integral anterior, se ti<strong>en</strong>e que g ′ (t) =f(t) y<br />
g(0) = 0, de donde<br />
F (s) =L(f(t)) = L(g ′ (t)) = sL(g(t)) − g(0) = sL(g(t)).<br />
Despejando se obti<strong>en</strong>e el resultado.<br />
Multiplicación por t. La transformada de Lap<strong>la</strong>ce de tf(t) es −F ′ (s). En efecto,<br />
derivando F (s) obt<strong>en</strong>emos<br />
F ′ � ∞<br />
(s) =<br />
0<br />
f(t) d<br />
ds e−st dt = −<br />
� ∞<br />
tf(t)e −st dt.<br />
Ejercicio 2.5: Demostrar por inducción que <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce de t n f(t)<br />
es<br />
L(t n f(t)) = (−1) n F (n) (s).<br />
Utilizando esta reg<strong>la</strong> demostrar que <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce de t n /n! es 1/s n+1 .<br />
División por t. La transformada de Lap<strong>la</strong>ce de f(t)/t es G(s) = � ∞<br />
F (σ) dσ. En<br />
s<br />
efecto, <strong>la</strong> derivada de G es −F (s), de donde, d<strong>en</strong>otando por g(t) a <strong>la</strong> función cuya<br />
transformada es G(s),<br />
L(f(t)) = F (s) =−G ′ (s) =L(tg(t)),<br />
de donde f(t) =tg(t).<br />
Transformada de una función periódica. Consideremos una función f periódica de<br />
periodo T , es decir, se satisface f(t + T )=f(t) para todo t ≥ 0. Dividi<strong>en</strong>do <strong>la</strong><br />
integral <strong>en</strong> intervalos de longitud T , y haci<strong>en</strong>do el cambio de variable ¯t = t − nT<br />
an cada una de el<strong>la</strong>s, se ti<strong>en</strong>e<br />
� ∞<br />
L(f(t)) = f(t)e −st<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
0<br />
∞�<br />
n=0<br />
� (n+1)T<br />
nT<br />
∞�<br />
� T<br />
n=0<br />
∞�<br />
n=0<br />
� ∞�<br />
n=0<br />
0<br />
−nsT )<br />
e<br />
1<br />
1 − e −sT<br />
0<br />
f(t)e −st dt<br />
f(¯t + nT )e −s(¯t+nT ) dt<br />
� T<br />
f(¯t)e −s¯t<br />
dt<br />
0<br />
(e −sT ) ) n<br />
� � T<br />
f(¯t)e −s¯t<br />
dt<br />
0<br />
� T<br />
f(¯t)e −s¯t<br />
dt,<br />
siempre que s>0 (para que <strong>la</strong> razón de <strong>la</strong> serie geométrica sea e−sT < 1).<br />
Producto de convolución. Recordamos que el producto de convolución de dos<br />
funciones f y g es <strong>la</strong> función f ∗ g definida por <strong>la</strong> integral<br />
� t<br />
(f ∗ g)(t) = f(t − τ)g(τ) dτ.<br />
0<br />
0