TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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<strong>TRANSFORMADA</strong> <strong>DE</strong> <strong>LAPLACE</strong> 5<br />
f(t) F (s)<br />
1<br />
t n<br />
n!<br />
e at<br />
sin ωt<br />
cos ωt<br />
sinh ωt<br />
cosh ωt<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s n+1<br />
1<br />
s − a<br />
ω<br />
s 2 + ω 2<br />
s<br />
s 2 + ω 2<br />
ω<br />
s 2 − ω 2<br />
s<br />
s 2 − ω 2<br />
δ(t − a) e −as<br />
Desp<strong>la</strong>zami<strong>en</strong>to. Si desp<strong>la</strong>zamos una función <strong>en</strong> una cantidad a>0, obt<strong>en</strong>emos <strong>la</strong><br />
función f(t − a)H(t − a). La transformada de esta función es e−as F (s). En efecto,<br />
t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que H(t − a) = 0 para t < a y haci<strong>en</strong>do el cambio de variable<br />
¯t = t − a t<strong>en</strong>emos<br />
� ∞<br />
L(f(t − a)H(t − a)) = f(t − a)H(t − a)e<br />
0<br />
−st<br />
� ∞<br />
= f(t − a)e<br />
a<br />
−st dt<br />
� ∞<br />
= f(¯t)e<br />
0<br />
−s(a+¯t)<br />
d¯t<br />
=e −as<br />
� ∞<br />
f(¯t)e −s¯t<br />
d¯t<br />
0<br />
=e −as F (s).<br />
Transformada de una derivada. Si f tri<strong>en</strong>e transformada de Lap<strong>la</strong>ce F , <strong>en</strong>tonces<br />
su derivada f ′ ti<strong>en</strong>e transformada de Lap<strong>la</strong>ce y vale sF (s) − f(0− ). En efecto,<br />
integrando por partes u =e−st , dv = f ′ (t) dt, se obti<strong>en</strong>e<br />
L(f ′ � ∞<br />
(t)) =<br />
0<br />
f ′ (t)e −st dt =e −st f(t)<br />
0<br />
�<br />
�<br />
� ∞<br />
� ∞<br />
+ s<br />
−<br />
0<br />
f(t)e −st dt = −f(0 − )+sF (s),<br />
donde se ha t<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que limt→∞ e −st f(t) = 0 ya que f ti<strong>en</strong>e transformada<br />
de Lap<strong>la</strong>ce, y donde se ha utilizado <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> 0 ≡ 0 − , para el caso <strong>en</strong> que f t<strong>en</strong>ga<br />
una discontinuidad <strong>en</strong> t =0.