TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

TRANSFORMADA DE LAPLACE 5
f(t) F (s)
1
t n
n!
e at
sin ωt
cos ωt
sinh ωt
cosh ωt
1
s
1
s n+1
1
s − a
ω
s 2 + ω 2
s
s 2 + ω 2
ω
s 2 − ω 2
s
s 2 − ω 2
δ(t − a) e −as
Desplazamiento. Si desplazamos una función en una cantidad a>0, obtenemos la
función f(t − a)H(t − a). La transformada de esta función es e−as F (s). En efecto,
teniendo en cuenta que H(t − a) = 0 para t < a y haciendo el cambio de variable
¯t = t − a tenemos
� ∞
L(f(t − a)H(t − a)) = f(t − a)H(t − a)e
0
−st
� ∞
= f(t − a)e
a
−st dt
� ∞
= f(¯t)e
0
−s(a+¯t)
d¯t
=e −as
� ∞
f(¯t)e −s¯t
d¯t
0
=e −as F (s).
Transformada de una derivada. Si f triene transformada de Laplace F , entonces
su derivada f ′ tiene transformada de Laplace y vale sF (s) − f(0− ). En efecto,
integrando por partes u =e−st , dv = f ′ (t) dt, se obtiene
L(f ′ � ∞
(t)) =
0
f ′ (t)e −st dt =e −st f(t)
0
�
�
� ∞
� ∞
+ s
−
0
f(t)e −st dt = −f(0 − )+sF (s),
donde se ha tenido en cuenta que limt→∞ e −st f(t) = 0 ya que f tiene transformada
de Laplace, y donde se ha utilizado la regla 0 ≡ 0 − , para el caso en que f tenga
una discontinuidad en t =0.