TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

4 EDUARDO MARTÍNEZ
Esta regla nos permite hallar la transformada de algunas funciones sencillas. Por
ejemplo, para el coseno hiperbólico tenemos
� �
ωt −ωt e +e
L(cosh(ωt)) = L
2
= 1 � �
ωt −ωt
L(e )+L(e )
2
= 1
� �
1 1
+
2 s − ω s + ω
s
=
s2 .
− ω2 Con un razonamiento similar obtenemos que la transformada de la función seno
hiperbólico es
ω
L(sinh(ωt)) =
s2 .
− ω2 Para funciones con valores complejos, podemos hallar las partes real e imaginaria
por separado, como muestra el siguiente resultado cuya demostración se propone
como ejercicio.
Proposición 2.2: Si f es una función compleja de variable real y ¯ f denota su
compleja conjugada, entonces
Como consecuencia
L(f )=L(f)
L(Re(f)) = Re(L(f)) y L(Im(f)) = Im(L(f)).
Utilizando este hecho podemos hallar la transformada de las funciones seno y
coseno. En efecto, de e iωt = cos(ωt) +i sin(ωt) tenemos que la parte real de la
transformada de e iωt es la transformada de sin(ωt), mientras que la parte imaginaria
es la transformada de sin(ωt). La transformada de e iωt se halla de la misma manera
que hallamos la transformada de e at para a real,
L(e iωt )= 1
s − iω
Tomando las parte real e imaginaria, obtenemos
L(cos(ωt)) =
s + iω
=
s2 .
+ ω2 s
s2 + ω2 ω
y L(sin(ωt)) =
s2 .
+ ω2 Reglas de transformación. Veamos ahora otras propiedades que nos facilitan el
cálculo de transformadas y de anti-transformadas. En todas la reglas que siguen,
f(t) es una función continua a trozos que tiene transformada de Laplace F (s).
Multiplicación por exponenciales. La transformada de Laplace de eat f(t) es F (s −
a). En efecto,
L(e at � ∞
f(t)) = e at f(t)e −st � ∞
dt = f(t)e −(s−a)t dt = F (s − a).
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Ejercicio 2.3: Utilizar la regla anterior para hallar la transformada de Laplace de
f(t) =e αt sin(ωt) y de f(t) =e αt cos(ωt). Obtener también dichas transformadas
de otra manera. (Ayuda: e (α+iω)t )
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