TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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4 EDUARDO MARTÍNEZ<br />
Esta reg<strong>la</strong> nos permite hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> transformada de algunas funciones s<strong>en</strong>cil<strong>la</strong>s. Por<br />
ejemplo, para el cos<strong>en</strong>o hiperbólico t<strong>en</strong>emos<br />
� �<br />
ωt −ωt e +e<br />
L(cosh(ωt)) = L<br />
2<br />
= 1 � �<br />
ωt −ωt<br />
L(e )+L(e )<br />
2<br />
= 1<br />
� �<br />
1 1<br />
+<br />
2 s − ω s + ω<br />
s<br />
=<br />
s2 .<br />
− ω2 Con un razonami<strong>en</strong>to simi<strong>la</strong>r obt<strong>en</strong>emos que <strong>la</strong> transformada de <strong>la</strong> función s<strong>en</strong>o<br />
hiperbólico es<br />
ω<br />
L(sinh(ωt)) =<br />
s2 .<br />
− ω2 Para funciones con valores complejos, podemos hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s partes real e imaginaria<br />
por separado, como muestra el sigui<strong>en</strong>te resultado cuya demostración se propone<br />
como ejercicio.<br />
Proposición 2.2: Si f es una función compleja de variable real y ¯ f d<strong>en</strong>ota su<br />
compleja conjugada, <strong>en</strong>tonces<br />
Como consecu<strong>en</strong>cia<br />
L(f )=L(f)<br />
L(Re(f)) = Re(L(f)) y L(Im(f)) = Im(L(f)).<br />
Utilizando <strong>este</strong> hecho podemos hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> transformada de <strong>la</strong>s funciones s<strong>en</strong>o y<br />
cos<strong>en</strong>o. En efecto, de e iωt = cos(ωt) +i sin(ωt) t<strong>en</strong>emos que <strong>la</strong> parte real de <strong>la</strong><br />
transformada de e iωt es <strong>la</strong> transformada de sin(ωt), mi<strong>en</strong>tras que <strong>la</strong> parte imaginaria<br />
es <strong>la</strong> transformada de sin(ωt). La transformada de e iωt se hal<strong>la</strong> de <strong>la</strong> misma manera<br />
que hal<strong>la</strong>mos <strong>la</strong> transformada de e at para a real,<br />
L(e iωt )= 1<br />
s − iω<br />
Tomando <strong>la</strong>s parte real e imaginaria, obt<strong>en</strong>emos<br />
L(cos(ωt)) =<br />
s + iω<br />
=<br />
s2 .<br />
+ ω2 s<br />
s2 + ω2 ω<br />
y L(sin(ωt)) =<br />
s2 .<br />
+ ω2 Reg<strong>la</strong>s de transformación. Veamos ahora otras propiedades que nos facilitan el<br />
cálculo de transformadas y de anti-transformadas. En todas <strong>la</strong> reg<strong>la</strong>s que sigu<strong>en</strong>,<br />
f(t) es una función continua a trozos que ti<strong>en</strong>e transformada de Lap<strong>la</strong>ce F (s).<br />
Multiplicación por expon<strong>en</strong>ciales. La transformada de Lap<strong>la</strong>ce de eat f(t) es F (s −<br />
a). En efecto,<br />
L(e at � ∞<br />
f(t)) = e at f(t)e −st � ∞<br />
dt = f(t)e −(s−a)t dt = F (s − a).<br />
0<br />
Ejercicio 2.3: Utilizar <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> anterior para hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce de<br />
f(t) =e αt sin(ωt) y de f(t) =e αt cos(ωt). Obt<strong>en</strong>er también dichas transformadas<br />
de otra manera. (Ayuda: e (α+iω)t )<br />
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