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2 EDUARDO MARTÍNEZ • Si s =0, � ∞ F (0) = 1e 0 � ∞ dt = 1 dt = ∞. • Si s>0, � ∞ F (s) = 1e −st dt = − 1 s e−st � � • Si sγ, entonces e −st ≤ e −γt , para todo t ≥ 0, de donde � ∞ |f(t)e −st � ∞ | dt ≤ |f(t)e −γt | dt. 0 Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también. � Nótese que hay funciones para las que el campo de convergencia de la integral es vacio. Por ejemplo, si f(t) = et2 entonces la integral � ∞ 0 et2 −st es divergente cualquiera que sea el valor de s ∈ R. Una clase de funciones interesantes para nuestros propósitos es la de las funciones de orden exponencial. Definición 1.5: Una función f ∈ Ω es de orden exponencial si existen unas constantes K, γ y T tales que |f(t)| ≤ K e γt 0 para todo t ≥ T . Ejemplos de funciones de orden exponencial son las funciones acotadas (en las que se puede tomar γ =0), las funciones polinómicas (en las que se puede tomar cualquier valor negativo para γ) o el producto de un polinomio por una exponencial. En particular, las soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n con coeficientes constantes o las soluciones de sistemas lineales con coeficientes constantes son funciones de orden exponencial. Proposición 1.6: Si f es de orden exponencial con constante γ, entonces su transformada de Laplace F está definida (al menos) en el intervalo (γ, +∞). Dem. Probaremos que la integral que define la transformada de f es absolutamente convergente en dicho intervalo. En efecto, para s>γ, � ∞ |f(t)e −st � ∞ | dt ≤ K e (γ−s)t dt = K 1 s − γ , 0 0 y por tanto converge. �
TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 Transformada de una delta de Dirac. La transformada de Laplace se puede definir también para expresiones que contienen deltas de Dirac. Para que las reglas dadas anteriormente sean válidas, hay que tomar algunas precauciones. La definición de la transformada de f se debe cambiar a � ∞ F (s) = f(t)e −st dt = lim α→0− � ∞ f(t)e −st dt. 0 − Esto se hace para evitar problemas con las deltas de Dirac posicionadas en t =0, de forma que se puedan resolver problemas de valor inicial de forma correcta y automática. Con esta definición, podemos hallar fácilmente la transformada de Laplace de δ(t − a), con a ∈ R. Para a>0, se obtiene � ∞ L(δ(t − a)) = 0 − 0 − α δ(t − a)e −st dt = lim α→0 − e−as =e −as . Para a =0, es decir, la transformada de Laplace de δ(t) es � ∞ δ(t)e −st dt = lim α→0− � ∞ δ(t)e −st dt = lim 1 = 1. α→0− Para a
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