TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

2 EDUARDO MARTÍNEZ
• Si s =0,
� ∞
F (0) = 1e 0 � ∞
dt = 1 dt = ∞.
• Si s>0,
� ∞
F (s) = 1e −st dt = − 1
s e−st
�
�
• Si sγ, entonces e −st ≤ e −γt , para todo t ≥ 0, de donde
� ∞
|f(t)e −st � ∞
| dt ≤ |f(t)e −γt | dt.
0
Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también. �
Nótese que hay funciones para las que el campo de convergencia de la integral
es vacio. Por ejemplo, si f(t) = et2 entonces la integral � ∞
0 et2 −st es divergente
cualquiera que sea el valor de s ∈ R.
Una clase de funciones interesantes para nuestros propósitos es la de las funciones
de orden exponencial.
Definición 1.5: Una función f ∈ Ω es de orden exponencial si existen unas
constantes K, γ y T tales que
|f(t)| ≤ K e γt
0
para todo t ≥ T .
Ejemplos de funciones de orden exponencial son las funciones acotadas (en las
que se puede tomar γ =0), las funciones polinómicas (en las que se puede tomar
cualquier valor negativo para γ) o el producto de un polinomio por una exponencial.
En particular, las soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n
con coeficientes constantes o las soluciones de sistemas lineales con coeficientes
constantes son funciones de orden exponencial.
Proposición 1.6: Si f es de orden exponencial con constante γ, entonces su transformada
de Laplace F está definida (al menos) en el intervalo (γ, +∞).
Dem. Probaremos que la integral que define la transformada de f es absolutamente
convergente en dicho intervalo. En efecto, para s>γ,
� ∞
|f(t)e −st � ∞
| dt ≤ K e (γ−s)t dt = K 1
s − γ ,
0
0
y por tanto converge. �