TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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2 EDUARDO MARTÍNEZ<br />
• Si s =0,<br />
� ∞<br />
F (0) = 1e 0 � ∞<br />
dt = 1 dt = ∞.<br />
• Si s>0,<br />
� ∞<br />
F (s) = 1e −st dt = − 1<br />
s e−st<br />
�<br />
�<br />
• Si sγ, <strong>en</strong>tonces e −st ≤ e −γt , para todo t ≥ 0, de donde<br />
� ∞<br />
|f(t)e −st � ∞<br />
| dt ≤ |f(t)e −γt | dt.<br />
0<br />
Como <strong>la</strong> integral de <strong>la</strong> derecha converge, <strong>la</strong> integral de <strong>la</strong> izquierda también. �<br />
Nótese que hay funciones para <strong>la</strong>s que el campo de converg<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> integral<br />
es vacio. Por ejemplo, si f(t) = et2 <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong> integral � ∞<br />
0 et2 −st es diverg<strong>en</strong>te<br />
cualquiera que sea el valor de s ∈ R.<br />
Una c<strong>la</strong>se de funciones interesantes para nuestros propósitos es <strong>la</strong> de <strong>la</strong>s funciones<br />
de ord<strong>en</strong> expon<strong>en</strong>cial.<br />
Definición 1.5: Una función f ∈ Ω es de ord<strong>en</strong> expon<strong>en</strong>cial si exist<strong>en</strong> unas<br />
constantes K, γ y T tales que<br />
|f(t)| ≤ K e γt<br />
0<br />
para todo t ≥ T .<br />
Ejemplos de funciones de ord<strong>en</strong> expon<strong>en</strong>cial son <strong>la</strong>s funciones acotadas (<strong>en</strong> <strong>la</strong>s<br />
que se puede tomar γ =0), <strong>la</strong>s funciones polinómicas (<strong>en</strong> <strong>la</strong>s que se puede tomar<br />
cualquier valor negativo para γ) o el producto de un polinomio por una expon<strong>en</strong>cial.<br />
En particu<strong>la</strong>r, <strong>la</strong>s soluciones de ecuaciones difer<strong>en</strong>ciales homogéneas de ord<strong>en</strong> n<br />
con coefici<strong>en</strong>tes constantes o <strong>la</strong>s soluciones de sistemas lineales con coefici<strong>en</strong>tes<br />
constantes son funciones de ord<strong>en</strong> expon<strong>en</strong>cial.<br />
Proposición 1.6: Si f es de ord<strong>en</strong> expon<strong>en</strong>cial con constante γ, <strong>en</strong>tonces su transformada<br />
de Lap<strong>la</strong>ce F está definida (al m<strong>en</strong>os) <strong>en</strong> el intervalo (γ, +∞).<br />
Dem. Probaremos que <strong>la</strong> integral que define <strong>la</strong> transformada de f es absolutam<strong>en</strong>te<br />
converg<strong>en</strong>te <strong>en</strong> dicho intervalo. En efecto, para s>γ,<br />
� ∞<br />
|f(t)e −st � ∞<br />
| dt ≤ K e (γ−s)t dt = K 1<br />
s − γ ,<br />
0<br />
0<br />
y por tanto converge. �