TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

vf(t) =Ri(t)+L dt + C
y derivando se obtiene la Ec. Dif. de 2 ◦ orden a resolver
L d2i(t) di(t) 1
+ R + i(t) =dvf(t)
dt2 dt C dt
TRANSFORMADA DE LAPLACE 17
4.3), se obitene una Ec.Dif. de segundo orden. Este análisis se deja como ejercicio
para el lector.
Ejemplo 5.5: Hallar las intensidades en el circuito
i(t)dt
(4.3)
De igual forma, con dos elementos del mismo tipo como el circuito RL de la (fig.
L1
vf (t) i(t) R L2
Llamemos Figura 4.3: j a la Circuito corriente irreductible de la segunda conmalla, dos elementos de forma que almacenan las ecuaciones energía del
circuito en el dominio de la frecuencia son
Notese que en cada ejemplo anterior la Ec.Dif. puede ser planteada en terminos
Vf = L1sI − L1I(0) + R(IJ) 0 = R(J − I)+LsJ + L2j(0)
de cualquier parámetro del circuito, por ejemplo si en la (ec. 4.1) se pone la tensión
Como ejercicio hallar las ecuaciones diferenciales del circuitos y hallar su transfor-
del circuito mada, comprobando en terminos que deellaresultado corriente es el por mismo. el inductor entonces
⊳
v(t) =vL(t) =L diL
dt
if(t) = 1
R LdiL
dt + iL + C d
�
L
dt
diL
�
dt
if(t) = L diL
R dt + iL + CL d2iL dt2 Notas, aclaraciones y extensiones
Transformada inversa. La transformada de Laplace puede también definirse para
valores complejos de la variable s, dando como resultado una función compleja de
variable compleja definida en un cierto dominio del plano complejo. En términos de
dicha función, se puede dar una fórmula para la transformada inversa de Laplace,
por medio de la integral de Bromwich
f(t) =
la Ec.Dif. queda en terminos de la corriente por el inductor.
1
� γ+i∞
e
2πi
tz F (z) dz.
γ−i∞
donde se elige γ ∈ R para que el contorno de integración (el contorno de un
semidisco) esté contenido en la región de convergencia. [[Dar referencias]]
Matriz de transferencia. En las aplicaciones a la Ingeniería, no todas las variables
son de interés, como ocurre en el caso de las ecuaciones de orden n donde sólo nos
interesa la variable y. Otro claro ejemplo es la teoría de circuitos: las ecuaciones del
circuito involucran los potenciales en todos los nudos del circuito, pero sólamente
unos cuantos de estos potenciales (los llamados potenciales de salida del circuito)
son los que nos interesan. En general, dichas ecuaciones toman la forma
X ′ = AX + BU (ecuaciones de estado)
Y = CX (ecuaciones de salida)
donde U es el vector de variables de entrada, Y es el vector de variables de salida,
y A, B, C son matrices de dimensiones adecuadas. Aplicando la transformada de
Laplace tomando condiciones iniciales nulas, se encuentra fácilmente que
ˆY (s) = [C(s − A) −1 B] Û(s),
que da la relación entre (las transformadas de Laplace de) la entrada y la salida
del sistema. La matriz T (s) =C(s − A) −1 B se llama matriz de transferencia, y
sus elementos son funciones racionales (i. e. cociente de polinomios) en la variable
s. Cuando hay una sola entrada y una sola salida (i. e. los vectores U e Y son de
dimensión uno), T (s) es una matriz 1 × 1, es decir es una función escalar de s. En
este caso se habla de la función de transferencia.
La matriz de transferencia no es sino la transformada de Laplace de la matriz
respuesta a un impulso unitario, que estudiamos en el capítulo anterior. En términons
de ella, la salida del sistema se expresa en función de la entrada por medio
de
ˆY (s) =T (s) Û(s).
La matriz de transferencia tiene la siguiente interpretación: si la i-ésima componente
de la entrada es un delta de Dirac y el resto de entradas son nulas,