TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

16 EDUARDO MARTÍNEZ
Para resolver esta ecuación hacemos el cambio de variable y =2a sin 2 (θ/2), de
forma que integrando se obtiene
x = a(θ + sin θ)+b y = a(1 + cos θ).
La constante de integración b se puede tomar cero ya que la curva ha de pasar por
el origen. La curva que hemos obtenido es (un arco de) una cicloide, la curva que
describe un punto de una circunferencia al rodar sin deslizar.
Un problema más general que el anterior es el conocido como problema mecánico
de Abel que consiste en especificar una función T (y0) y hallar la forma del alambre
para la cual el tiempo de bajada desde el punto y0 es precisamente T (y0). ⊳
Teoría de circuitos. En las aplicaciones a la Física y la Ingeniería, la utilidad de este
método proviene del hecho de que, en multitud de problemas, es posible plantear
directamente las ecuaciones que satisface la transformada, es decir sin plantear
primero el sistema de ecuaciones diferenciales para transformar a continuación.
Por ejemplo, en5.2. la teoría APLICACI de circuitos ÓNse Aemplea LA RESOLUCIÓN esta técnica. DE CIRCUITOS 6
Consideremos el circuito eléctrico rlc de la figura
vin(t)
R
i(t)
(a)
(b)
Figura 5.6: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)
Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor como d
capacitor, que no contienen el factor I(s), y como estamos sumando tension
estos términos deben ser tensiones. En el circuito equivalente se los representa co
generadores cuyo valor depende de la energía inicial almacenada en cada element
Finalmente, agrupando generadores en un miembro y términos con el facto
I(s) en el otro, la ecuación de circuito queda
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
1
= RI(s)+sLI(s)+
s sC I(s)
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
s =
�
R + sL + 1
�
I(s)
sC
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
= Z(s)I(s)
s
Nuevamente, Z(s) es la impedancia de s o impedancia de Laplace, formada por
suma de cada una de las impedancias de s del circuito.
�
Z(s) = R + sL + 1
Las ecuaciones del ciruito son vin = vR + vL + vC donde vR, vL y vC son las caídas
de tensión en la resistencia, la autoinducción y el condensador, respectivamente.
Dichas tensiones vienen dadas en términos de la intensidad i que circula por el
circuito por
vR = iR vL = L
�
(5.30
sC
El circuito de la (fig. 5.6(b)) permite obtener en forma directa la (ec. 5.29) que
lo que se buscaba. Obsérvese como la polaridad de los generadores de tensión qu
representan las condiciones iniciales determinan el signo en la ecuación.
De igual forma, hagamos ahora el mismo análisis con un circuito RLC paralel
Partiendo de la suma de las corrientes en el tiempo igual a la corriente total y lueg
transformando tendremos
iin(t) =iR(t)+iL(t)+iC(t)
Iin(s) =IR(s)+IL(s)+IC(s)
reemplazando
di
and C
dt
dvC
= i.
dt
En consecuencia, la ecuación que determina la intensidad de corriente es
vin = Ri + L di
+ vC C
dt dvC
= i.
dt
Para resolverlas aplicamos la transformada de Laplace, obteniendo
Vin = RI + L[sI − i(0)] + VC C(sVC − vC(0)) = I
de donde
� �
1 vC(0)
Vin = RI + L[sI − i(0)] + I + .
sC s
Aplicando la transformada inversa, se obtiene fácilmente la solución i(t).
El hecho que queremos destacar es que las ecuaciones para la transformada se
pueden obtener directamente del circuito, sin tener que plantear las ecuaciones diferenciales
y luego transformarlas, lo que supone una gran simplificación. Las resistencias
se quedan como están, las autoinducciones se cambian por una impedancia sL
y se añade un potencial LiL(0), los condensadores se cambian por una impedancia
5.2. APLICACIÓN 1/sC A LAy se RESOLUCIÓN añade un potencial DEvC(0)/s. CIRCUITOS En la figura siguiente se muestra 61el
circuito
rlc equivalente en el denominado dominio de la frecuencia
R L
R sL
Li(0) 1
vin(t) i(t)
sC
C Vin(s) I(s)
vC(0)
s
(a)
(b)
Figura 5.6: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)
Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor como del
capacitor, que no contienen el factor I(s), y como estamos sumando tensiones
estos términos deben ser tensiones. En el circuito equivalente se los representa con
L
C
Vin(s)
R
I(s)
sL
Li(0)
vC(0)
s
1
sC