TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

TRANSFORMADA DE LAPLACE 15
por la cuenta para recorrerla no dependa del punto desde el que la soltamos. A
dicha curva se le conoce con el nombre de tautócrona.
Denotemos por (x0,y0) un punto cualquiera de dicha curva, y calculemos el
tiempo que le cuesta bajar hasta el origen. Si consideramos la longitud del arco del
alambre y denotamos por v(s) la velocidad de la cuenta cuando hemos recorrido s
unidades de longitud sobre el alambre, entonces el tiempo empleado es
� L
ds
T (y0) =
v(s) .
La velocidad podemos relacionarla con la altura por medio de la energía
c = 1
2 mv(x)2 + mgy,
donde la constante c = mgy0, es la energía inicial (suponiendo que soltamos la
cuenta en x0 con velocidad inicial v(x0) nula). Despejando, obtenemos
v(y) = � 2g √ y0 − y
y sustituyendo llegamos a
T (y0) = 1
� L
1
√ √
2g 0 y0 − y ds
Finalmente, si parametrizamos la curva por la variable y, es decir, los puntos de la
curva son de la forma (x(y),y), entonces la longitud del arco también será función de
la variable y, es decir, s = s(y). Cambiando la variable de integración y denotando
w(y) =ds/dy obtenemos
0
T (y0) = 1
� y0
w(y)
√ √
2g 0 y0 − y ds
Posteriormente necesitaremos la relación explícita entre la función w(y) y la parametrización
x = x(y) de la curva, que concretamente es
w(y) = ds
dy =
0
�
1+
� �2 dx
.
dy
Una vez encontrada el tiempo como función de la altura desde la que se suelta
la cuenta, resolvamos el problema mencionado, es decir, hallar x(y) de manera que
T sea constante, no dependa de y0. Para ello debemos resolver la ecuación
�
� y0 w(y)
2gT = √
y0 − y dy
que es un producto de convolución de las funciones ν y g(y) = 1/ √ y, es decir,
� 2gT =(w ∗ g)(y0)
Al realizar la transformada de Laplace resulta √ 2gT/s = W (s)G(s), y como la
transformada de g(t) = 1/ √ t es G(s) = � π/s, obtenemos finalmente
W (s) = � 2gT 1
�
s
s π = � 2gT 1
√ =
πs � 2g T
�
π
π s .
La transformada inversa de esta función es
w(y) = � 2g T 1
√ .
π y
Sustituyendo en la relación w(y) =
�
1+
� �2 dx
dy , y llamando a = gT 2 /π2 se obtiene
dx
dy =
�
2a
− 1.
y