TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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<strong>TRANSFORMADA</strong> <strong>DE</strong> <strong>LAPLACE</strong> 15<br />
por <strong>la</strong> cu<strong>en</strong>ta para recorrer<strong>la</strong> no dep<strong>en</strong>da del punto desde el que <strong>la</strong> soltamos. A<br />
dicha curva se le conoce con el nombre de tautócrona.<br />
D<strong>en</strong>otemos por (x0,y0) un punto cualquiera de dicha curva, y calculemos el<br />
tiempo que le cuesta bajar hasta el orig<strong>en</strong>. Si consideramos <strong>la</strong> longitud del arco del<br />
a<strong>la</strong>mbre y d<strong>en</strong>otamos por v(s) <strong>la</strong> velocidad de <strong>la</strong> cu<strong>en</strong>ta cuando hemos recorrido s<br />
unidades de longitud sobre el a<strong>la</strong>mbre, <strong>en</strong>tonces el tiempo empleado es<br />
� L<br />
ds<br />
T (y0) =<br />
v(s) .<br />
La velocidad podemos re<strong>la</strong>cionar<strong>la</strong> con <strong>la</strong> altura por medio de <strong>la</strong> <strong>en</strong>ergía<br />
c = 1<br />
2 mv(x)2 + mgy,<br />
donde <strong>la</strong> constante c = mgy0, es <strong>la</strong> <strong>en</strong>ergía inicial (suponi<strong>en</strong>do que soltamos <strong>la</strong><br />
cu<strong>en</strong>ta <strong>en</strong> x0 con velocidad inicial v(x0) nu<strong>la</strong>). Despejando, obt<strong>en</strong>emos<br />
v(y) = � 2g √ y0 − y<br />
y sustituy<strong>en</strong>do llegamos a<br />
T (y0) = 1<br />
� L<br />
1<br />
√ √<br />
2g 0 y0 − y ds<br />
Finalm<strong>en</strong>te, si parametrizamos <strong>la</strong> curva por <strong>la</strong> variable y, es decir, los puntos de <strong>la</strong><br />
curva son de <strong>la</strong> forma (x(y),y), <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong> longitud del arco también será función de<br />
<strong>la</strong> variable y, es decir, s = s(y). Cambiando <strong>la</strong> variable de integración y d<strong>en</strong>otando<br />
w(y) =ds/dy obt<strong>en</strong>emos<br />
0<br />
T (y0) = 1<br />
� y0<br />
w(y)<br />
√ √<br />
2g 0 y0 − y ds<br />
Posteriorm<strong>en</strong>te necesitaremos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción explícita <strong>en</strong>tre <strong>la</strong> función w(y) y <strong>la</strong> parametrización<br />
x = x(y) de <strong>la</strong> curva, que concretam<strong>en</strong>te es<br />
w(y) = ds<br />
dy =<br />
0<br />
�<br />
1+<br />
� �2 dx<br />
.<br />
dy<br />
Una vez <strong>en</strong>contrada el tiempo como función de <strong>la</strong> altura desde <strong>la</strong> que se suelta<br />
<strong>la</strong> cu<strong>en</strong>ta, resolvamos el problema m<strong>en</strong>cionado, es decir, hal<strong>la</strong>r x(y) de manera que<br />
T sea constante, no dep<strong>en</strong>da de y0. Para ello debemos resolver <strong>la</strong> ecuación<br />
�<br />
� y0 w(y)<br />
2gT = √<br />
y0 − y dy<br />
que es un producto de convolución de <strong>la</strong>s funciones ν y g(y) = 1/ √ y, es decir,<br />
� 2gT =(w ∗ g)(y0)<br />
Al realizar <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce resulta √ 2gT/s = W (s)G(s), y como <strong>la</strong><br />
transformada de g(t) = 1/ √ t es G(s) = � π/s, obt<strong>en</strong>emos finalm<strong>en</strong>te<br />
W (s) = � 2gT 1<br />
�<br />
s<br />
s π = � 2gT 1<br />
√ =<br />
πs � 2g T<br />
�<br />
π<br />
π s .<br />
La transformada inversa de esta función es<br />
w(y) = � 2g T 1<br />
√ .<br />
π y<br />
Sustituy<strong>en</strong>do <strong>en</strong> <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción w(y) =<br />
�<br />
1+<br />
� �2 dx<br />
dy , y l<strong>la</strong>mando a = gT 2 /π2 se obti<strong>en</strong>e<br />
dx<br />
dy =<br />
�<br />
2a<br />
− 1.<br />
y