TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

More documents

Recommendations

Info

14 EDUARDO MARTÍNEZ 5. Aplicaciones Ecuaciones con impulsos. Por medio de la transformada de Laplace se pueden resolver fácilmente problemas de valor inicial con impulsos. En ocasiones se argumenta que es el único método para resolver dichos problemas. Aunque esto no es cierto, se debe reconocer la gran simplificación obtenida al aplicar tal método. Veamos un ejemplo. Ejemplo 5.1: Consideremos el problema de valor inicial � ˙x +4x =2δ(t) x(0 − ) = 1. En términos de discontinuidades de salto, se tiene que x(t) tiene una discontinuidad de salto finito igual a 2, por lo que x(0 + ) = 3. Como, la solución de la ecuacion diferencial para t>0 es x(t) =x(α)e−4(t−α) , para α > 0, cuando α tiende a cero por la derecha se obtiene que x(t) =x(0 + )e−4t = 3 e−4t , para t>0. (En general, para t
TRANSFORMADA DE LAPLACE 15 por la cuenta para recorrerla no dependa del punto desde el que la soltamos. A dicha curva se le conoce con el nombre de tautócrona. Denotemos por (x0,y0) un punto cualquiera de dicha curva, y calculemos el tiempo que le cuesta bajar hasta el origen. Si consideramos la longitud del arco del alambre y denotamos por v(s) la velocidad de la cuenta cuando hemos recorrido s unidades de longitud sobre el alambre, entonces el tiempo empleado es � L ds T (y0) = v(s) . La velocidad podemos relacionarla con la altura por medio de la energía c = 1 2 mv(x)2 + mgy, donde la constante c = mgy0, es la energía inicial (suponiendo que soltamos la cuenta en x0 con velocidad inicial v(x0) nula). Despejando, obtenemos v(y) = � 2g √ y0 − y y sustituyendo llegamos a T (y0) = 1 � L 1 √ √ 2g 0 y0 − y ds Finalmente, si parametrizamos la curva por la variable y, es decir, los puntos de la curva son de la forma (x(y),y), entonces la longitud del arco también será función de la variable y, es decir, s = s(y). Cambiando la variable de integración y denotando w(y) =ds/dy obtenemos 0 T (y0) = 1 � y0 w(y) √ √ 2g 0 y0 − y ds Posteriormente necesitaremos la relación explícita entre la función w(y) y la parametrización x = x(y) de la curva, que concretamente es w(y) = ds dy = 0 � 1+ � �2 dx . dy Una vez encontrada el tiempo como función de la altura desde la que se suelta la cuenta, resolvamos el problema mencionado, es decir, hallar x(y) de manera que T sea constante, no dependa de y0. Para ello debemos resolver la ecuación � � y0 w(y) 2gT = √ y0 − y dy que es un producto de convolución de las funciones ν y g(y) = 1/ √ y, es decir, � 2gT =(w ∗ g)(y0) Al realizar la transformada de Laplace resulta √ 2gT/s = W (s)G(s), y como la transformada de g(t) = 1/ √ t es G(s) = � π/s, obtenemos finalmente W (s) = � 2gT 1 � s s π = � 2gT 1 √ = πs � 2g T � π π s . La transformada inversa de esta función es w(y) = � 2g T 1 √ . π y Sustituyendo en la relación w(y) = � 1+ � �2 dx dy , y llamando a = gT 2 /π2 se obtiene dx dy = � 2a − 1. y
Page 1 and 2: TRANSFORMADA DE LAPLACE EDUARDO MAR
Page 3 and 4: TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 Transform
Page 5 and 6: TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 f(t) F (s
Page 7 and 8: TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Si f y g
Page 9 and 10: TRANSFORMADA DE LAPLACE 9 de discon
Page 11 and 12: TRANSFORMADA DE LAPLACE 11 Evidente
Page 13: La inversa de (s − A) es TRANSFOR
Page 17 and 18: vf(t) =Ri(t)+L dt + C y derivando s

TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?