TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

La inversa de (s − A) es
TRANSFORMADA DE LAPLACE 13
(s − A) −1 =
y su transformada inversa es
e tA = L −1 =
La solución del problema homogéneo es
1
(s + 1) 2 +22 �
s +1
�
−4
1 s +1
�
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)
1
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) �
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)
1
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) 1
(s + 1) 2 +2 2
�
=
La solución particular del no homogéneo, se puede obtener por medio de la integral
de convolución (en este caso es muy fácil) o bien por transformada de Laplace:
(s − A) −1ˆ
� �� �
� �
10
s +1 −4
b =
s
s +1
=
1 s +1 0
1
que es la transformada de Laplace de
� 2+2e −t � − cos(2t) + 2 sin(2t) �
2 − e −t� 2 cos(2t) + sin(2t) �
� �
4
3
�
1
(s + 1) 2 +22 10
s
La solución del problema es la suma de ambas. En general, lo más sencillo es
hallar directamente la solución completa sin descomponer es suma de las soluciones
del homogéneo y particular del no homogéneo.
(s − A) −1� X(0) + ˆ b � =
=
1
(s + 1) 2 +2 2
1
(s + 1) 2 +2 2
�
� s +1 −4
1 s +1
�
2 2(2s + s + 5)
3s2 �
+7s + 10
y hallando la transformada inversa obtenemos la solución
� �
x(t)
=
y(t)
� 2+2e −t � cos(2t) − sin(2t) �
2+e −t� cos(2t) + sin(2t) �
�
�� �
10 4+
Otra ventaja de la transformada de Laplace es que se puede aplicar igualmente
a sistemas de ecuaciones diferenciales (lineales con coeficientes constantes) en los
que cada variable tiene un orden distinto.
Ejemplo 4.6: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales
� ¨x +2y =0
˙x +˙y = cos t
Resolvamos dichas ecuaciones con condiciones iniciales x(0) = 0,y(0) = 0, ˙x(0) =
2. La transformada del Laplace del sistema, una vez sustituidas las condiciones
iniciales es
s 2 X +2Y =2 sX − sY = s
s 2 +1
cuya solución es
X(s) = 2
s2 Y (s) =
+1
1
s2 +1 .
Hallando la antitransformada, la solución es
x(t) = 2 sin t y(t) = sin t.
Como ejercicio, y para compara la dificultad, se propone resolver el problema anterior
sin utilizar la transformada de Laplace. ⊳
3
s
⊳