TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...
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La inversa de (s − A) es<br />
<strong>TRANSFORMADA</strong> <strong>DE</strong> <strong>LAPLACE</strong> 13<br />
(s − A) −1 =<br />
y su transformada inversa es<br />
e tA = L −1 =<br />
La solución del problema homogéneo es<br />
1<br />
(s + 1) 2 +22 �<br />
s +1<br />
�<br />
−4<br />
1 s +1<br />
�<br />
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)<br />
1<br />
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) �<br />
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)<br />
1<br />
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) 1<br />
(s + 1) 2 +2 2<br />
�<br />
=<br />
La solución particu<strong>la</strong>r del no homogéneo, se puede obt<strong>en</strong>er por medio de <strong>la</strong> integral<br />
de convolución (<strong>en</strong> <strong>este</strong> caso es muy fácil) o bi<strong>en</strong> por transformada de Lap<strong>la</strong>ce:<br />
(s − A) −1ˆ<br />
� �� �<br />
� �<br />
10<br />
s +1 −4<br />
b =<br />
s<br />
s +1<br />
=<br />
1 s +1 0<br />
1<br />
que es <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce de<br />
� 2+2e −t � − cos(2t) + 2 sin(2t) �<br />
2 − e −t� 2 cos(2t) + sin(2t) �<br />
� �<br />
4<br />
3<br />
�<br />
1<br />
(s + 1) 2 +22 10<br />
s<br />
La solución del problema es <strong>la</strong> suma de ambas. En g<strong>en</strong>eral, lo más s<strong>en</strong>cillo es<br />
hal<strong>la</strong>r directam<strong>en</strong>te <strong>la</strong> solución completa sin descomponer es suma de <strong>la</strong>s soluciones<br />
del homogéneo y particu<strong>la</strong>r del no homogéneo.<br />
(s − A) −1� X(0) + ˆ b � =<br />
=<br />
1<br />
(s + 1) 2 +2 2<br />
1<br />
(s + 1) 2 +2 2<br />
�<br />
� s +1 −4<br />
1 s +1<br />
�<br />
2 2(2s + s + 5)<br />
3s2 �<br />
+7s + 10<br />
y hal<strong>la</strong>ndo <strong>la</strong> transformada inversa obt<strong>en</strong>emos <strong>la</strong> solución<br />
� �<br />
x(t)<br />
=<br />
y(t)<br />
� 2+2e −t � cos(2t) − sin(2t) �<br />
2+e −t� cos(2t) + sin(2t) �<br />
�<br />
�� �<br />
10 4+<br />
Otra v<strong>en</strong>taja de <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce es que se puede aplicar igualm<strong>en</strong>te<br />
a sistemas de ecuaciones difer<strong>en</strong>ciales (lineales con coefici<strong>en</strong>tes constantes) <strong>en</strong> los<br />
que cada variable ti<strong>en</strong>e un ord<strong>en</strong> distinto.<br />
Ejemplo 4.6: Consideremos el sistema de ecuaciones difer<strong>en</strong>ciales<br />
� ¨x +2y =0<br />
˙x +˙y = cos t<br />
Resolvamos dichas ecuaciones con condiciones iniciales x(0) = 0,y(0) = 0, ˙x(0) =<br />
2. La transformada del Lap<strong>la</strong>ce del sistema, una vez sustituidas <strong>la</strong>s condiciones<br />
iniciales es<br />
s 2 X +2Y =2 sX − sY = s<br />
s 2 +1<br />
cuya solución es<br />
X(s) = 2<br />
s2 Y (s) =<br />
+1<br />
1<br />
s2 +1 .<br />
Hal<strong>la</strong>ndo <strong>la</strong> antitransformada, <strong>la</strong> solución es<br />
x(t) = 2 sin t y(t) = sin t.<br />
Como ejercicio, y para compara <strong>la</strong> dificultad, se propone resolver el problema anterior<br />
sin utilizar <strong>la</strong> transformada de Lap<strong>la</strong>ce. ⊳<br />
3<br />
s<br />
⊳