TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

12 EDUARDO MARTÍNEZ
Si denotamos por ˆ X(s) a la transformada de la función X(t), y por ˆ b(s) a la
transformada de la función b(t) tenemos que
que se resuelve fácilmente
Aplicando ahora la transformada inversa
s ˆ X(s) − X0 = A ˆ X(s)+ ˆ b(s),
ˆX(s) =(s − A) −1 X0 +(s − A) −1ˆ b(s).
X(t) =L −1 {(s − A) −1 X0} + L −1 {(s − A) −1ˆ b(s)}.
Comparando este resultado con la solución del problema, se tiene que la solución
del problema homogéneo es la antitransformada de Laplace de (s − A) −1 X0. En
consecuencia,
L −1 {(s − A) −1 } =e tA ,
y de aquí se deduce que la solución particular del problema no homogéneo es la
antitransformada de Laplace del producto (s − A) −1ˆb(s), es decir,
L −1 {(s − A) −1ˆ
� t
tA
b(s)} = (e ) ∗ b(t) = e (t−τ)A b(τ) dτ.
Lo anterior puede servirnos para hallar la exponencial de una matriz, aunque
generalmente el proceso de hallar la antitransformada no es sencillo. La utilidad de
las fórmulas anteriores se debe más bien a la posibilidad de poder hallar la solución
particular sin realizar ninguna integral.
Ejemplo 4.5: Hallar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales
˙x = −x − 4y + 10 ˙y = x − y,
con condiciones iniciales x(0) = 4, y(0) = 3.
La transformada de la primera ecuación es sX −x(0) = −X −4Y + 10
s . Teniendo
en cuenta las condiciones iniciales, y simplificando obtenemos
(s + 1)X +4Y = 10
s +4
La transformada de la segunda ecuación es (sY − y(0)) = X − Y . Teniendo en
cuenta las condiciones iniciales, y simplificando obtenemos
−X +(s + 1)Y =3.
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales obtenemos
X = 4s2 +2s + 10
s(s2 +2s + 5) =21
s +2
s +1
(s + 1) 2 − 2
+22 Por tanto
Igualmente
Por tanto
x = 2 + 2e −t cos 2t − 2e −t sin 2t.
Y = 3s2 +7s + 10
s(s 2 +2s + 5) =21
s +
0
s +1
(s + 1) 2 +
+22 y = 2 + e −t cos 2t + e −t sin 2t.
2
(s + 1) 2 +2 2
2
(s + 1) 2 +2 2
En resumen, la solución es x = 2(1 + e −t cos 2t − e −t sin 2t), y = 2 + e −t cos 2t +
e −t sin 2t.
A este resultado podíamos haber llegado igualmente usando las expresiones an-
teriores (s − A) ˆ X = X(0) + ˆb, � �� �
s + 1 4 X
=
−1 s +1 Y
� �
4
+
3
� �
10
s
0