TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

10 EDUARDO MARTÍNEZ
Ejemplo 3.4: Hallaremos la antitransformada de
F (s) =
4e −7s
s 2 − 6s + 13 .
Teniendo en cuenta que
4
s2 − 6s + 13 =2
2
(s + 3) 2 +22 = L�2e −3t cos(2t) � .
y la propiedad de desplazamiento, llegamos a
f(t) = 2H(t − 7)e −3t cos(2t).
4. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace convierte derivadas en multiplicación por la variable
s, de forma que se convierte una ecuación diferencial en una algebraica. Una vez
resuelta esta ecuación, para hallar la solución de nuestro problema de valor inicial
se halla su antitransformada. Veamos un ejemplo sencillo.
Ejemplo 4.1: Resolvamos el problema de valor inicial
� x ′ (t) = 2x(t)
x(0) = 5
Alplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y obtenemos
sX(s) − x(0) = 2X(s)
Sustituyendo el valor inicial x(0) = 5 y despejando X(s) llegamos a
X(s) = 5
s − 2
Ahora aplicamos la transformada inversa, y vemos que 1/(s − 2) es la transformada
de e 2t de donde
x(t) = 5 e 2t ,
que es la solución del problema de valor inicial propuesto. ⊳
Ejemplo 4.2: Resolvamos el problema del paracaídas. El problema de valor inicial
que debemos resolver es � v ′ (t) =−αv(t)+g
v(0) = v0
Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y obtenemos
sV (s) − v(0) = −αV (s)+ g
s
Sustituyendo el valor inicial v(0) = v0 y despejando V (s) llegamos a
V (s) = v0
s + α +
g
s(s + α)
Ahora aplicamos la transformada inversa, y vemos que 1/(s+α) es la transformada
de e−αt mientras que
� �
1 g 1 1
= −
s(s + α) α s s + α
es la transformada de g
α [1 − e−αt ]. Por tanto obtenemos
v(t) =v0 e −αt + g
α [1 − e−αt ]= g
α +[v0 − g
α ]e−αt .
Al cabo de un tiempo suficientemente grande, la velocidad del paracaídas se aproxima
a la velocidad límite
vlim = lim
t→∞ v(t) = g
α .
⊳