TRANSFORMADA DE LAPLACE Estudiamos en este capítulo la ...

TRANSFORMADA DE LAPLACE
EDUARDO MARTÍNEZ
Estudiamos en este capítulo la transformación de Laplace, que es un método para
asociar a una functión f otra función F distinta, llamada transformada de Laplace
de f. Una de sus principales virtudes es que transforma ecuaciones diferenciales
lineales en ecuaciones algebraicas, por tanto fáciles de resolver. Una vez resuelta
dicha ecuación algebraica se hallará la antitransformada obteniendose la solución
de la ecuación diferencial.
La transformada de Laplace de una función f viene dada por medio de una
integral impropia dependiente de un parámetro (la variable de la cual depende la
función F ), por lo cual la teoría está llena de complicaciones técnicas. Por esta
razón, y teniendo en cuenta las aplicaciones de la teoría que necesitamos, podemos
restringirnos a una clase de funciones sencillas, las funciones de orden exponencial.
En principio, y dado que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes son funciones continuas, podríamos restringirnos a funciones
continuas. Sin embargo, nos interesa estudiar ecuaciones con impulsos, que como
vimos, hacen que la solución cambie bruscamente y sea discontinua. Es por esto
por lo que trataremos funciones continuas a trozos.
1. Transformada de Laplace
Consideremos el conjunto Ω formado por las funciones de una variable real t
con valores en C cuyo dominio contiene los reales positivos y un entorno del cero
y son continuas a trozos (es decir, las discontinuidades de la función son de salto
finito y el conjunto de puntos de discontinuidad no tiene puntos de acumulación
finitos, o lo que es lo mismo, en cada intervalo compacto hay un número finito de
discontinuidades de salto finito).
A todos los efectos se considerarán como iguales dos funciones continuas a trozos
que coincidan en [0, ∞) salvo en sus puntos de discontinuidad. Si se prefiere,
podemos trabajar con clases de equivalencia de funciones que coinciden salvo en
un conjunto sin puntos de acumulación finito. En consecuencia, en un punto de
discontinuidad, no tiene sentido hablar de f(a) sino de f(a + ) y f(a−).
Definición 1.1: Dada una función f ∈ Ω llamamos transformada de Laplace
de f a la función F definida por
� ∞
F (s) = f(t)e −st dt.
Se utiliza frecuentemente la notación F = L(f) o también L(f(t)) = F (s).
0
Evidentemente, el dominio de la función F es el campo de convergencia de la
integral anterior. Nótese que F es una función compleja de variable real.
Ejemplo 1.2: Consideremos la función f(t) = 1, es decir f(t) = 1 · H(t) =H(t).
Su transformada de Laplace es
� ∞
F (s) = 1e −st dt
0
Para hallar la integral anterior debemos distinguir varios casos según el valor de s.
1

2 EDUARDO MARTÍNEZ
• Si s =0,
� ∞
F (0) = 1e 0 � ∞
dt = 1 dt = ∞.
• Si s>0,
� ∞
F (s) = 1e −st dt = − 1
s e−st
�
�
• Si sγ, entonces e −st ≤ e −γt , para todo t ≥ 0, de donde
� ∞
|f(t)e −st � ∞
| dt ≤ |f(t)e −γt | dt.
0
Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también. �
Nótese que hay funciones para las que el campo de convergencia de la integral
es vacio. Por ejemplo, si f(t) = et2 entonces la integral � ∞
0 et2 −st es divergente
cualquiera que sea el valor de s ∈ R.
Una clase de funciones interesantes para nuestros propósitos es la de las funciones
de orden exponencial.
Definición 1.5: Una función f ∈ Ω es de orden exponencial si existen unas
constantes K, γ y T tales que
|f(t)| ≤ K e γt
0
para todo t ≥ T .
Ejemplos de funciones de orden exponencial son las funciones acotadas (en las
que se puede tomar γ =0), las funciones polinómicas (en las que se puede tomar
cualquier valor negativo para γ) o el producto de un polinomio por una exponencial.
En particular, las soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n
con coeficientes constantes o las soluciones de sistemas lineales con coeficientes
constantes son funciones de orden exponencial.
Proposición 1.6: Si f es de orden exponencial con constante γ, entonces su transformada
de Laplace F está definida (al menos) en el intervalo (γ, +∞).
Dem. Probaremos que la integral que define la transformada de f es absolutamente
convergente en dicho intervalo. En efecto, para s>γ,
� ∞
|f(t)e −st � ∞
| dt ≤ K e (γ−s)t dt = K 1
s − γ ,
0
0
y por tanto converge. �

TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
Transformada de una delta de Dirac. La transformada de Laplace se puede definir
también para expresiones que contienen deltas de Dirac. Para que las reglas dadas
anteriormente sean válidas, hay que tomar algunas precauciones. La definición de
la transformada de f se debe cambiar a
� ∞
F (s) = f(t)e −st dt = lim
α→0− � ∞
f(t)e −st dt.
0 −
Esto se hace para evitar problemas con las deltas de Dirac posicionadas en t =0,
de forma que se puedan resolver problemas de valor inicial de forma correcta y
automática. Con esta definición, podemos hallar fácilmente la transformada de
Laplace de δ(t − a), con a ∈ R.
Para a>0, se obtiene
� ∞
L(δ(t − a)) =
0 −
0 −
α
δ(t − a)e −st dt = lim
α→0 − e−as =e −as .
Para a =0, es decir, la transformada de Laplace de δ(t) es
� ∞
δ(t)e −st dt = lim
α→0− � ∞
δ(t)e −st dt = lim 1 = 1.
α→0− Para a

4 EDUARDO MARTÍNEZ
Esta regla nos permite hallar la transformada de algunas funciones sencillas. Por
ejemplo, para el coseno hiperbólico tenemos
� �
ωt −ωt e +e
L(cosh(ωt)) = L
2
= 1 � �
ωt −ωt
L(e )+L(e )
2
= 1
� �
1 1
+
2 s − ω s + ω
s
=
s2 .
− ω2 Con un razonamiento similar obtenemos que la transformada de la función seno
hiperbólico es
ω
L(sinh(ωt)) =
s2 .
− ω2 Para funciones con valores complejos, podemos hallar las partes real e imaginaria
por separado, como muestra el siguiente resultado cuya demostración se propone
como ejercicio.
Proposición 2.2: Si f es una función compleja de variable real y ¯ f denota su
compleja conjugada, entonces
Como consecuencia
L(f )=L(f)
L(Re(f)) = Re(L(f)) y L(Im(f)) = Im(L(f)).
Utilizando este hecho podemos hallar la transformada de las funciones seno y
coseno. En efecto, de e iωt = cos(ωt) +i sin(ωt) tenemos que la parte real de la
transformada de e iωt es la transformada de sin(ωt), mientras que la parte imaginaria
es la transformada de sin(ωt). La transformada de e iωt se halla de la misma manera
que hallamos la transformada de e at para a real,
L(e iωt )= 1
s − iω
Tomando las parte real e imaginaria, obtenemos
L(cos(ωt)) =
s + iω
=
s2 .
+ ω2 s
s2 + ω2 ω
y L(sin(ωt)) =
s2 .
+ ω2 Reglas de transformación. Veamos ahora otras propiedades que nos facilitan el
cálculo de transformadas y de anti-transformadas. En todas la reglas que siguen,
f(t) es una función continua a trozos que tiene transformada de Laplace F (s).
Multiplicación por exponenciales. La transformada de Laplace de eat f(t) es F (s −
a). En efecto,
L(e at � ∞
f(t)) = e at f(t)e −st � ∞
dt = f(t)e −(s−a)t dt = F (s − a).
0
Ejercicio 2.3: Utilizar la regla anterior para hallar la transformada de Laplace de
f(t) =e αt sin(ωt) y de f(t) =e αt cos(ωt). Obtener también dichas transformadas
de otra manera. (Ayuda: e (α+iω)t )
0

TRANSFORMADA DE LAPLACE 5
f(t) F (s)
1
t n
n!
e at
sin ωt
cos ωt
sinh ωt
cosh ωt
1
s
1
s n+1
1
s − a
ω
s 2 + ω 2
s
s 2 + ω 2
ω
s 2 − ω 2
s
s 2 − ω 2
δ(t − a) e −as
Desplazamiento. Si desplazamos una función en una cantidad a>0, obtenemos la
función f(t − a)H(t − a). La transformada de esta función es e−as F (s). En efecto,
teniendo en cuenta que H(t − a) = 0 para t < a y haciendo el cambio de variable
¯t = t − a tenemos
� ∞
L(f(t − a)H(t − a)) = f(t − a)H(t − a)e
0
−st
� ∞
= f(t − a)e
a
−st dt
� ∞
= f(¯t)e
0
−s(a+¯t)
d¯t
=e −as
� ∞
f(¯t)e −s¯t
d¯t
0
=e −as F (s).
Transformada de una derivada. Si f triene transformada de Laplace F , entonces
su derivada f ′ tiene transformada de Laplace y vale sF (s) − f(0− ). En efecto,
integrando por partes u =e−st , dv = f ′ (t) dt, se obtiene
L(f ′ � ∞
(t)) =
0
f ′ (t)e −st dt =e −st f(t)
0
�
�
� ∞
� ∞
+ s
−
0
f(t)e −st dt = −f(0 − )+sF (s),
donde se ha tenido en cuenta que limt→∞ e −st f(t) = 0 ya que f tiene transformada
de Laplace, y donde se ha utilizado la regla 0 ≡ 0 − , para el caso en que f tenga
una discontinuidad en t =0.

6 EDUARDO MARTÍNEZ
Ejercicio 2.4: Demostrar por inducción que la transformada de Laplace de la
derivada n-ésima de f es
L(f (n) (t)) = s n F (s) − [s n−1 f(0 − )+s n−2 f ′ (0 − )+· · · + sf (n−2) (0 − )+f (n−1) (0 − )].
Transformada de una integral. De la regla anterior se deduce que la transformada de
Laplace de la integral � t
f(τ) dτ (la primitiva de f que se anula en t =0es F (s)/s.
0
En efecto, denotando por g(t) a la integral anterior, se tiene que g ′ (t) =f(t) y
g(0) = 0, de donde
F (s) =L(f(t)) = L(g ′ (t)) = sL(g(t)) − g(0) = sL(g(t)).
Despejando se obtiene el resultado.
Multiplicación por t. La transformada de Laplace de tf(t) es −F ′ (s). En efecto,
derivando F (s) obtenemos
F ′ � ∞
(s) =
0
f(t) d
ds e−st dt = −
� ∞
tf(t)e −st dt.
Ejercicio 2.5: Demostrar por inducción que la transformada de Laplace de t n f(t)
es
L(t n f(t)) = (−1) n F (n) (s).
Utilizando esta regla demostrar que la transformada de Laplace de t n /n! es 1/s n+1 .
División por t. La transformada de Laplace de f(t)/t es G(s) = � ∞
F (σ) dσ. En
s
efecto, la derivada de G es −F (s), de donde, denotando por g(t) a la función cuya
transformada es G(s),
L(f(t)) = F (s) =−G ′ (s) =L(tg(t)),
de donde f(t) =tg(t).
Transformada de una función periódica. Consideremos una función f periódica de
periodo T , es decir, se satisface f(t + T )=f(t) para todo t ≥ 0. Dividiendo la
integral en intervalos de longitud T , y haciendo el cambio de variable ¯t = t − nT
an cada una de ellas, se tiene
� ∞
L(f(t)) = f(t)e −st
=
=
=
=
=
0
∞�
n=0
� (n+1)T
nT
∞�
� T
n=0
∞�
n=0
� ∞�
n=0
0
−nsT )
e
1
1 − e −sT
0
f(t)e −st dt
f(¯t + nT )e −s(¯t+nT ) dt
� T
f(¯t)e −s¯t
dt
0
(e −sT ) ) n
� � T
f(¯t)e −s¯t
dt
0
� T
f(¯t)e −s¯t
dt,
siempre que s>0 (para que la razón de la serie geométrica sea e−sT < 1).
Producto de convolución. Recordamos que el producto de convolución de dos
funciones f y g es la función f ∗ g definida por la integral
� t
(f ∗ g)(t) = f(t − τ)g(τ) dτ.
0
0

TRANSFORMADA DE LAPLACE 7
Si f y g son continuas a trozos en el intervalo [0, ∞) y tienen transformada de
Laplace F y G, respectivamente, entonces la transformada de Laplace del producto
de convolución de f por g es el producto (ordinario) de las sus transformadas, es
decir,
L(f ∗ g)(s) =F (s)G(s).
Por cálculo directo, utilizando el teorema de intercambio de orden de integración,
tenemos
� ∞
L(f ∗ g)(s) = e
0
−st (f ∗ g)(t) dt
� ∞
= e
0
−st
�� ∞
�
H(t − τ)f(t − τ)g(τ) dτ dt
� ∞ � ∞
0
= e
0 0
−st H(t − τ)f(t − τ)g(τ) dt dτ
� ∞ �� ∞
= g(τ) e
0
0
−st �
H(t − τ)f(t − τ) dt dτ
� ∞
= g(τ)e
0
−sτ F (s) dτ
� ∞
= F (s) g(τ)e −sτ dτ
0
= F (s)G(s).
donde se ha usado que la transformada de Laplace de H(t−τ)f(t−τ) es e −sτ F (s).
3. Transformada inversa
Nos preguntamos en esta sección por la posibilidad de que dos funciones distintas
tengan la misma transformada de Laplace. Teniendo en cuenta la propiedad de
linealidad de la transformada de Laplace, podemos plantear el problema de forma
equivalente ¿Existen funciones no nulas cuya transformada de Laplace sea la función
cero?. A este respecto, recordemos que estamos considerando que dos funciones
continuas a trozos son iguales si difieren a lo sumo en sus valores en los puntos de
discontinuidad en [0, ∞).
Teorema 3.1 (Lerch): La única función continua a trozos cuya transformada de
Laplace es nula (en un intervalo semiinfinito) es la función cero:
L(f) = 0 si y sólo si f =0.
Dem. Supongamos que S = [s0, ∞) es un intervalo donde F = L(f) es nula.
Integrando por partes ( � u dv = uv − � v du) en la transformada de f con
obtenemos
donde hemos definido
u = e −(s−s0)t
dv = e −s0t f(t) dt,
� ∞
F (s) = (s − s0) e −(s−s0)t
g(t) dt,
0
� t
g(t) = e −s0τ
f(τ) dτ,
0
que es una función continua, y hemos tenido en cuenta que g(0) = 0 y que
limt→∞ e−(s−s0)tg(t) = 0 · F (s0) = 0 para s ∈ S.
Como F se anula en H, se tiene que F (s0 + n) = 0 para todo n ∈ N, es decir,
� ∞
e −nt g(t) dt.
0

8 EDUARDO MARTÍNEZ
f(t) F (s)
e at f(t) F (s − a)
f(t − a)H(t − a) e −as F (s)
t n f(t) (−1)
f(t)
t
n dn
F (s)
dsn � ∞
F (σ) dσ
f ′ (t) sF (s) − f(0 − )
f ′′ (t) s 2 F (s) − sf(0 − ) − f ′ (0 − )
f (n) (t) s n F (s) − [s n−1 f(0 − )+s n−2 f ′ (0 − )+· · ·
� t
f(τ) dτ
0
f(t) =f(t + T )
s
· · · + sf (n−2) (0 − )+f (n−1) (0 − )]
F (s)
s
1
1 − e−sT � T
f(t)e
0
−st dt
(f ∗ g)(t) F (s)G(s)
Hacemos el cambio r = e−t y definimos la función φ(r) correspondiente a g(t)
extendida por continuidad a r =0
�
g(− ln r) 0

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de discontinuidad) y tiene sentido hablar de la antitransformada de Laplace o
transformada inversa.
Cálculo de antitransformadas. Para el calculo de la transformad inversa de Laplace
de una función se aplican las reglas obtenidas anteriormente, pero en sentido contrario.
En la aplicación a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, las funciones
que aparecen en casi todos los problemas son funciones racionales, para las que
podemos usar la descomposición en fracciones simples. Para una función racional
propia P/Q, con grado(P ) < grado(Q), se tiene
F (s) =
P (s)
Q(s) =
r� mi �
cij
(s − λi)
i=1 j=1
j
donde λ1, . . . , λr son las raíces complejas distintas de Q, ymi es la multiplicidad
de la raíz λi. Cada uno de estos términos tiene antitransformada muy sencilla:
L −1
1 1
=
(s − λ) k+1
k! tk e λt .
Ejemplo 3.2: Hallaremos la antitransformada de
1
F (s) =
(s + 1) 2 (s + 2) .
La descomposición en fracciones simples es
que es la transformada de
F (s) =− 1
(s + 1) +
1
+
(s + 1) 2
f(t) =−e −t + te −t + e −2t .
1
(s + 2) .
En ocasiones, cuando hay raíces complejas de multiplicidad baja, podemos proceder
de la siguiente manera alternativa.
Ejemplo 3.3: Consideremos la función
s +2
F (s) =
s2 +2s +5 .
Para hallar su antitransformada completamos cuadrados para poner la fracción en
forma simple y efectuamos manipulaciones sencillas
F (s) =
s +2
(s + 1) 2 =
+22 s +1
(s + 1) 2 +2
1
+ 2 2
2
(s + 1) 2 +2 2
Así para cada término obtenemos la antitransformada fácilmente
L −1
�
s +1
(s + 1) 2 +22 �
= L −1
�
s
s2 +22 � �
�
� =e
s→s+1
−t L −1
�
1
s2 +22 �
y de manera análoga
�
�
L −1
2
(s + 1) 2 +2 2
= L −1
�
2
s 2 +2 2
� �
�
�
s→s+1
Por tanto F es la transformada de
e −t
�
cos(2t)+ 1
2 sin(2t)
�
⊳
=e −t cos(2t),
=e −t L −1
�
2
s2 +22 �
=e −t sin(2t).
⊳

10 EDUARDO MARTÍNEZ
Ejemplo 3.4: Hallaremos la antitransformada de
F (s) =
4e −7s
s 2 − 6s + 13 .
Teniendo en cuenta que
4
s2 − 6s + 13 =2
2
(s + 3) 2 +22 = L�2e −3t cos(2t) � .
y la propiedad de desplazamiento, llegamos a
f(t) = 2H(t − 7)e −3t cos(2t).
4. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace convierte derivadas en multiplicación por la variable
s, de forma que se convierte una ecuación diferencial en una algebraica. Una vez
resuelta esta ecuación, para hallar la solución de nuestro problema de valor inicial
se halla su antitransformada. Veamos un ejemplo sencillo.
Ejemplo 4.1: Resolvamos el problema de valor inicial
� x ′ (t) = 2x(t)
x(0) = 5
Alplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y obtenemos
sX(s) − x(0) = 2X(s)
Sustituyendo el valor inicial x(0) = 5 y despejando X(s) llegamos a
X(s) = 5
s − 2
Ahora aplicamos la transformada inversa, y vemos que 1/(s − 2) es la transformada
de e 2t de donde
x(t) = 5 e 2t ,
que es la solución del problema de valor inicial propuesto. ⊳
Ejemplo 4.2: Resolvamos el problema del paracaídas. El problema de valor inicial
que debemos resolver es � v ′ (t) =−αv(t)+g
v(0) = v0
Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y obtenemos
sV (s) − v(0) = −αV (s)+ g
s
Sustituyendo el valor inicial v(0) = v0 y despejando V (s) llegamos a
V (s) = v0
s + α +
g
s(s + α)
Ahora aplicamos la transformada inversa, y vemos que 1/(s+α) es la transformada
de e−αt mientras que
� �
1 g 1 1
= −
s(s + α) α s s + α
es la transformada de g
α [1 − e−αt ]. Por tanto obtenemos
v(t) =v0 e −αt + g
α [1 − e−αt ]= g
α +[v0 − g
α ]e−αt .
Al cabo de un tiempo suficientemente grande, la velocidad del paracaídas se aproxima
a la velocidad límite
vlim = lim
t→∞ v(t) = g
α .
⊳

TRANSFORMADA DE LAPLACE 11
Evidentemente este método también nos sirve para resolver ecuaciones de orden
n, aunque en este caso es preferible hallar la transformada directamente de la
ecuación, sin pasar por el sistema auxiliar.
Ejemplo 4.3: Consideremos de nuevo el problema de valor inicial
⎧
⎨
⎩
¨y + 3 ˙y +2y = t
y(0) = 1
˙y(0) = 0.
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación obtenemos
� � � � 2 1
s Y − ˙y(0) − sy(0) +3 sY − y(0) +2Y = .
s2 Sustituyendo las condiciones iniciales y despejando, obtenemos
Descomponemos en fracciones simples
Y (s) = s3 +3s 2 +1
s 2 (s 2 +3s + 2)
Y (s) = 1 1 3 1 1 5 1
− +3 −
2 s2 4 s s +1 4 s +2
cuya transformada inversa da inmediatamente
x(t) = 1 3
t −
2 4 + 3 e−t − 5
4 e−2t .
Ejemplo 4.4: La ecuación diferencial para una masa colocada en un muelle horizontal
es
m¨x(t) =−kx(t).
Supongamos que m =1y k =9. Si el oscilador empieza a oscilar en x(0) = 1 con
velocidad inicial ˙x(0) = 2, queremos hallar su posición en cualquier otro instante.
Aplicando la transformada de Laplace se tiene
es decir,
Por tanto la solución es
s 2 X(s) − sx(0) − x ′ (0) = −9X(s)
X(s) =
s +2
s2 +9 =
s
s2 +3
2
+ 2 3
x(t) = cos(3t)+ 2
3 sin(3t).
3
s2 .
+32 Transformada de un sistema. Con más generalidad, supongamos que queremos resolver
un problema de valor inicial
� ˙X = AX + b(t)
Sabemos que la solución es
X(t) = e tA X0 +
X(0 − )=X0
� t
0 −
e (t−τ)A b(τ) dτ.
En esta expresión vemos que, si la función b(t) tiene transformada de Laplace, entonces
la solución X(t) también tiene transformada de Laplace. Por tanto, podemos
transformar directamente el sistema de ecuaciones diferenciales.
⊳
⊳
⊳

12 EDUARDO MARTÍNEZ
Si denotamos por ˆ X(s) a la transformada de la función X(t), y por ˆ b(s) a la
transformada de la función b(t) tenemos que
que se resuelve fácilmente
Aplicando ahora la transformada inversa
s ˆ X(s) − X0 = A ˆ X(s)+ ˆ b(s),
ˆX(s) =(s − A) −1 X0 +(s − A) −1ˆ b(s).
X(t) =L −1 {(s − A) −1 X0} + L −1 {(s − A) −1ˆ b(s)}.
Comparando este resultado con la solución del problema, se tiene que la solución
del problema homogéneo es la antitransformada de Laplace de (s − A) −1 X0. En
consecuencia,
L −1 {(s − A) −1 } =e tA ,
y de aquí se deduce que la solución particular del problema no homogéneo es la
antitransformada de Laplace del producto (s − A) −1ˆb(s), es decir,
L −1 {(s − A) −1ˆ
� t
tA
b(s)} = (e ) ∗ b(t) = e (t−τ)A b(τ) dτ.
Lo anterior puede servirnos para hallar la exponencial de una matriz, aunque
generalmente el proceso de hallar la antitransformada no es sencillo. La utilidad de
las fórmulas anteriores se debe más bien a la posibilidad de poder hallar la solución
particular sin realizar ninguna integral.
Ejemplo 4.5: Hallar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales
˙x = −x − 4y + 10 ˙y = x − y,
con condiciones iniciales x(0) = 4, y(0) = 3.
La transformada de la primera ecuación es sX −x(0) = −X −4Y + 10
s . Teniendo
en cuenta las condiciones iniciales, y simplificando obtenemos
(s + 1)X +4Y = 10
s +4
La transformada de la segunda ecuación es (sY − y(0)) = X − Y . Teniendo en
cuenta las condiciones iniciales, y simplificando obtenemos
−X +(s + 1)Y =3.
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales obtenemos
X = 4s2 +2s + 10
s(s2 +2s + 5) =21
s +2
s +1
(s + 1) 2 − 2
+22 Por tanto
Igualmente
Por tanto
x = 2 + 2e −t cos 2t − 2e −t sin 2t.
Y = 3s2 +7s + 10
s(s 2 +2s + 5) =21
s +
0
s +1
(s + 1) 2 +
+22 y = 2 + e −t cos 2t + e −t sin 2t.
2
(s + 1) 2 +2 2
2
(s + 1) 2 +2 2
En resumen, la solución es x = 2(1 + e −t cos 2t − e −t sin 2t), y = 2 + e −t cos 2t +
e −t sin 2t.
A este resultado podíamos haber llegado igualmente usando las expresiones an-
teriores (s − A) ˆ X = X(0) + ˆb, � �� �
s + 1 4 X
=
−1 s +1 Y
� �
4
+
3
� �
10
s
0

La inversa de (s − A) es
TRANSFORMADA DE LAPLACE 13
(s − A) −1 =
y su transformada inversa es
e tA = L −1 =
La solución del problema homogéneo es
1
(s + 1) 2 +22 �
s +1
�
−4
1 s +1
�
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)
1
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) �
−t e cos(2t) −t −2e sin(2t)
1
2e−t sin(2t) e−tcos(2t) 1
(s + 1) 2 +2 2
�
=
La solución particular del no homogéneo, se puede obtener por medio de la integral
de convolución (en este caso es muy fácil) o bien por transformada de Laplace:
(s − A) −1ˆ
� �� �
� �
10
s +1 −4
b =
s
s +1
=
1 s +1 0
1
que es la transformada de Laplace de
� 2+2e −t � − cos(2t) + 2 sin(2t) �
2 − e −t� 2 cos(2t) + sin(2t) �
� �
4
3
�
1
(s + 1) 2 +22 10
s
La solución del problema es la suma de ambas. En general, lo más sencillo es
hallar directamente la solución completa sin descomponer es suma de las soluciones
del homogéneo y particular del no homogéneo.
(s − A) −1� X(0) + ˆ b � =
=
1
(s + 1) 2 +2 2
1
(s + 1) 2 +2 2
�
� s +1 −4
1 s +1
�
2 2(2s + s + 5)
3s2 �
+7s + 10
y hallando la transformada inversa obtenemos la solución
� �
x(t)
=
y(t)
� 2+2e −t � cos(2t) − sin(2t) �
2+e −t� cos(2t) + sin(2t) �
�
�� �
10 4+
Otra ventaja de la transformada de Laplace es que se puede aplicar igualmente
a sistemas de ecuaciones diferenciales (lineales con coeficientes constantes) en los
que cada variable tiene un orden distinto.
Ejemplo 4.6: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales
� ¨x +2y =0
˙x +˙y = cos t
Resolvamos dichas ecuaciones con condiciones iniciales x(0) = 0,y(0) = 0, ˙x(0) =
2. La transformada del Laplace del sistema, una vez sustituidas las condiciones
iniciales es
s 2 X +2Y =2 sX − sY = s
s 2 +1
cuya solución es
X(s) = 2
s2 Y (s) =
+1
1
s2 +1 .
Hallando la antitransformada, la solución es
x(t) = 2 sin t y(t) = sin t.
Como ejercicio, y para compara la dificultad, se propone resolver el problema anterior
sin utilizar la transformada de Laplace. ⊳
3
s
⊳

14 EDUARDO MARTÍNEZ
5. Aplicaciones
Ecuaciones con impulsos. Por medio de la transformada de Laplace se pueden resolver
fácilmente problemas de valor inicial con impulsos. En ocasiones se argumenta
que es el único método para resolver dichos problemas. Aunque esto no
es cierto, se debe reconocer la gran simplificación obtenida al aplicar tal método.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 5.1: Consideremos el problema de valor inicial
� ˙x +4x =2δ(t)
x(0 − ) = 1.
En términos de discontinuidades de salto, se tiene que x(t) tiene una discontinuidad
de salto finito igual a 2, por lo que x(0 + ) = 3. Como, la solución de la ecuacion
diferencial para t>0 es x(t) =x(α)e−4(t−α) , para α > 0, cuando α tiende a cero
por la derecha se obtiene que x(t) =x(0 + )e−4t = 3 e−4t , para t>0. (En general,
para t

TRANSFORMADA DE LAPLACE 15
por la cuenta para recorrerla no dependa del punto desde el que la soltamos. A
dicha curva se le conoce con el nombre de tautócrona.
Denotemos por (x0,y0) un punto cualquiera de dicha curva, y calculemos el
tiempo que le cuesta bajar hasta el origen. Si consideramos la longitud del arco del
alambre y denotamos por v(s) la velocidad de la cuenta cuando hemos recorrido s
unidades de longitud sobre el alambre, entonces el tiempo empleado es
� L
ds
T (y0) =
v(s) .
La velocidad podemos relacionarla con la altura por medio de la energía
c = 1
2 mv(x)2 + mgy,
donde la constante c = mgy0, es la energía inicial (suponiendo que soltamos la
cuenta en x0 con velocidad inicial v(x0) nula). Despejando, obtenemos
v(y) = � 2g √ y0 − y
y sustituyendo llegamos a
T (y0) = 1
� L
1
√ √
2g 0 y0 − y ds
Finalmente, si parametrizamos la curva por la variable y, es decir, los puntos de la
curva son de la forma (x(y),y), entonces la longitud del arco también será función de
la variable y, es decir, s = s(y). Cambiando la variable de integración y denotando
w(y) =ds/dy obtenemos
0
T (y0) = 1
� y0
w(y)
√ √
2g 0 y0 − y ds
Posteriormente necesitaremos la relación explícita entre la función w(y) y la parametrización
x = x(y) de la curva, que concretamente es
w(y) = ds
dy =
0
�
1+
� �2 dx
.
dy
Una vez encontrada el tiempo como función de la altura desde la que se suelta
la cuenta, resolvamos el problema mencionado, es decir, hallar x(y) de manera que
T sea constante, no dependa de y0. Para ello debemos resolver la ecuación
�
� y0 w(y)
2gT = √
y0 − y dy
que es un producto de convolución de las funciones ν y g(y) = 1/ √ y, es decir,
� 2gT =(w ∗ g)(y0)
Al realizar la transformada de Laplace resulta √ 2gT/s = W (s)G(s), y como la
transformada de g(t) = 1/ √ t es G(s) = � π/s, obtenemos finalmente
W (s) = � 2gT 1
�
s
s π = � 2gT 1
√ =
πs � 2g T
�
π
π s .
La transformada inversa de esta función es
w(y) = � 2g T 1
√ .
π y
Sustituyendo en la relación w(y) =
�
1+
� �2 dx
dy , y llamando a = gT 2 /π2 se obtiene
dx
dy =
�
2a
− 1.
y

16 EDUARDO MARTÍNEZ
Para resolver esta ecuación hacemos el cambio de variable y =2a sin 2 (θ/2), de
forma que integrando se obtiene
x = a(θ + sin θ)+b y = a(1 + cos θ).
La constante de integración b se puede tomar cero ya que la curva ha de pasar por
el origen. La curva que hemos obtenido es (un arco de) una cicloide, la curva que
describe un punto de una circunferencia al rodar sin deslizar.
Un problema más general que el anterior es el conocido como problema mecánico
de Abel que consiste en especificar una función T (y0) y hallar la forma del alambre
para la cual el tiempo de bajada desde el punto y0 es precisamente T (y0). ⊳
Teoría de circuitos. En las aplicaciones a la Física y la Ingeniería, la utilidad de este
método proviene del hecho de que, en multitud de problemas, es posible plantear
directamente las ecuaciones que satisface la transformada, es decir sin plantear
primero el sistema de ecuaciones diferenciales para transformar a continuación.
Por ejemplo, en5.2. la teoría APLICACI de circuitos ÓNse Aemplea LA RESOLUCIÓN esta técnica. DE CIRCUITOS 6
Consideremos el circuito eléctrico rlc de la figura
vin(t)
R
i(t)
(a)
(b)
Figura 5.6: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)
Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor como d
capacitor, que no contienen el factor I(s), y como estamos sumando tension
estos términos deben ser tensiones. En el circuito equivalente se los representa co
generadores cuyo valor depende de la energía inicial almacenada en cada element
Finalmente, agrupando generadores en un miembro y términos con el facto
I(s) en el otro, la ecuación de circuito queda
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
1
= RI(s)+sLI(s)+
s sC I(s)
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
s =
�
R + sL + 1
�
I(s)
sC
Vin(s)+Li(0) − vC(0)
= Z(s)I(s)
s
Nuevamente, Z(s) es la impedancia de s o impedancia de Laplace, formada por
suma de cada una de las impedancias de s del circuito.
�
Z(s) = R + sL + 1
Las ecuaciones del ciruito son vin = vR + vL + vC donde vR, vL y vC son las caídas
de tensión en la resistencia, la autoinducción y el condensador, respectivamente.
Dichas tensiones vienen dadas en términos de la intensidad i que circula por el
circuito por
vR = iR vL = L
�
(5.30
sC
El circuito de la (fig. 5.6(b)) permite obtener en forma directa la (ec. 5.29) que
lo que se buscaba. Obsérvese como la polaridad de los generadores de tensión qu
representan las condiciones iniciales determinan el signo en la ecuación.
De igual forma, hagamos ahora el mismo análisis con un circuito RLC paralel
Partiendo de la suma de las corrientes en el tiempo igual a la corriente total y lueg
transformando tendremos
iin(t) =iR(t)+iL(t)+iC(t)
Iin(s) =IR(s)+IL(s)+IC(s)
reemplazando
di
and C
dt
dvC
= i.
dt
En consecuencia, la ecuación que determina la intensidad de corriente es
vin = Ri + L di
+ vC C
dt dvC
= i.
dt
Para resolverlas aplicamos la transformada de Laplace, obteniendo
Vin = RI + L[sI − i(0)] + VC C(sVC − vC(0)) = I
de donde
� �
1 vC(0)
Vin = RI + L[sI − i(0)] + I + .
sC s
Aplicando la transformada inversa, se obtiene fácilmente la solución i(t).
El hecho que queremos destacar es que las ecuaciones para la transformada se
pueden obtener directamente del circuito, sin tener que plantear las ecuaciones diferenciales
y luego transformarlas, lo que supone una gran simplificación. Las resistencias
se quedan como están, las autoinducciones se cambian por una impedancia sL
y se añade un potencial LiL(0), los condensadores se cambian por una impedancia
5.2. APLICACIÓN 1/sC A LAy se RESOLUCIÓN añade un potencial DEvC(0)/s. CIRCUITOS En la figura siguiente se muestra 61el
circuito
rlc equivalente en el denominado dominio de la frecuencia
R L
R sL
Li(0) 1
vin(t) i(t)
sC
C Vin(s) I(s)
vC(0)
s
(a)
(b)
Figura 5.6: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)
Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor como del
capacitor, que no contienen el factor I(s), y como estamos sumando tensiones
estos términos deben ser tensiones. En el circuito equivalente se los representa con
L
C
Vin(s)
R
I(s)
sL
Li(0)
vC(0)
s
1
sC

vf(t) =Ri(t)+L dt + C
y derivando se obtiene la Ec. Dif. de 2 ◦ orden a resolver
L d2i(t) di(t) 1
+ R + i(t) =dvf(t)
dt2 dt C dt
TRANSFORMADA DE LAPLACE 17
4.3), se obitene una Ec.Dif. de segundo orden. Este análisis se deja como ejercicio
para el lector.
Ejemplo 5.5: Hallar las intensidades en el circuito
i(t)dt
(4.3)
De igual forma, con dos elementos del mismo tipo como el circuito RL de la (fig.
L1
vf (t) i(t) R L2
Llamemos Figura 4.3: j a la Circuito corriente irreductible de la segunda conmalla, dos elementos de forma que almacenan las ecuaciones energía del
circuito en el dominio de la frecuencia son
Notese que en cada ejemplo anterior la Ec.Dif. puede ser planteada en terminos
Vf = L1sI − L1I(0) + R(IJ) 0 = R(J − I)+LsJ + L2j(0)
de cualquier parámetro del circuito, por ejemplo si en la (ec. 4.1) se pone la tensión
Como ejercicio hallar las ecuaciones diferenciales del circuitos y hallar su transfor-
del circuito mada, comprobando en terminos que deellaresultado corriente es el por mismo. el inductor entonces
⊳
v(t) =vL(t) =L diL
dt
if(t) = 1
R LdiL
dt + iL + C d
�
L
dt
diL
�
dt
if(t) = L diL
R dt + iL + CL d2iL dt2 Notas, aclaraciones y extensiones
Transformada inversa. La transformada de Laplace puede también definirse para
valores complejos de la variable s, dando como resultado una función compleja de
variable compleja definida en un cierto dominio del plano complejo. En términos de
dicha función, se puede dar una fórmula para la transformada inversa de Laplace,
por medio de la integral de Bromwich
f(t) =
la Ec.Dif. queda en terminos de la corriente por el inductor.
1
� γ+i∞
e
2πi
tz F (z) dz.
γ−i∞
donde se elige γ ∈ R para que el contorno de integración (el contorno de un
semidisco) esté contenido en la región de convergencia. [[Dar referencias]]
Matriz de transferencia. En las aplicaciones a la Ingeniería, no todas las variables
son de interés, como ocurre en el caso de las ecuaciones de orden n donde sólo nos
interesa la variable y. Otro claro ejemplo es la teoría de circuitos: las ecuaciones del
circuito involucran los potenciales en todos los nudos del circuito, pero sólamente
unos cuantos de estos potenciales (los llamados potenciales de salida del circuito)
son los que nos interesan. En general, dichas ecuaciones toman la forma
X ′ = AX + BU (ecuaciones de estado)
Y = CX (ecuaciones de salida)
donde U es el vector de variables de entrada, Y es el vector de variables de salida,
y A, B, C son matrices de dimensiones adecuadas. Aplicando la transformada de
Laplace tomando condiciones iniciales nulas, se encuentra fácilmente que
ˆY (s) = [C(s − A) −1 B] Û(s),
que da la relación entre (las transformadas de Laplace de) la entrada y la salida
del sistema. La matriz T (s) =C(s − A) −1 B se llama matriz de transferencia, y
sus elementos son funciones racionales (i. e. cociente de polinomios) en la variable
s. Cuando hay una sola entrada y una sola salida (i. e. los vectores U e Y son de
dimensión uno), T (s) es una matriz 1 × 1, es decir es una función escalar de s. En
este caso se habla de la función de transferencia.
La matriz de transferencia no es sino la transformada de Laplace de la matriz
respuesta a un impulso unitario, que estudiamos en el capítulo anterior. En términons
de ella, la salida del sistema se expresa en función de la entrada por medio
de
ˆY (s) =T (s) Û(s).
La matriz de transferencia tiene la siguiente interpretación: si la i-ésima componente
de la entrada es un delta de Dirac y el resto de entradas son nulas,

18 EDUARDO MARTÍNEZ
U(t) =δ(t)ei, entonces la transformada de Laplace de la salida es la i-ésima columna
de T (s).
Por otro lado, expresando la matriz de transferencia en términos de la matriz de
adjuntos de s − A se tiene que
T (s) = 1
[C Adj(s − A)B],
p(s)
de donde se deduce que los polos de la matriz de transferencia (los ceros del denominador)
son los valores propios de la matriz A. Por tanto, es equivalente hablar
de polos de la función de transferencia, de valores propios de la matriz A, o de
modos normales del sistema, como también se conocen en la literatura. Por tanto,
podemos decir que la estabilidad del sistema depende de dónde estén colocados los
polos de la matriz de transferencia en el plano complejo.
Ejercicio 5.6: Un motor de corriente continua queda caracterizado por la resistencia
R y la inductancia L del circuito eléctrico de la armadura, y por el momento
de inercia J del rotor y el coeficiente de rozamiento viscoso γ. Si v es el potencial
aplicado al motor, y θ es el ángulo de giro del rotor, las ecuaciones que gobiernan
su movimiento son
Ri + L di dθ
= v − Kf Kti = J d2θ dθ
+ γ 2
dt
dt
Se ha supuesto que la fuerza electromotriz generada por el rotor es proporcional
a la velocidad angular y que el momento de rotación generado por la bobina es
proporcional a la intensidad i que circula por el circuito.
La transformada de Laplace de dichas ecuaciones con condiciones iniciales nulas
es
(R + sL)I = V − Kf sΘ KtI =(Js 2 + γs)Θ.
De aquí el movimiento angular en función del voltaje aplicado es la transformada
inversa de
Θ
V =
Como ejercicio hállese dicha transformada.
dt
dt .
Kt/JL
s[s 2 +(γ/J + R/L)s + γR/JL + KiKf /JL]