Capítulo 2 - Matemáticas

Capítulo 2Continuidad defunciones devariable realContenido BreveMódulo 6Idea intuitiva y definición defunción continuaLa trayectoria descrita por el balón, desde que sale de los pies del jugador hasta que llega al arco, es uno de los miles de ejemplos defunciones continuas en intervalos cerrados.PresentaciónEn el capítulo 1 nos ocupamos del concepto más importante del cálculo infinitesimal:el concepto del límite funcional. En este capítulo analizaremos el concepto matemáticode continuidad, que está íntimamente relacionado con el de límite y que,igual que éste, no fue enunciado con toda claridad y rigor hasta el siglo XIX, porobra del gran matemático francés Augustin Cauchy, llamado el «padre del análisismatemático».Módulo 7Teoremas sobre funciones continuasMódulo 8Continuidad en un intervaloEjerciciosCapítulo 2, módulos 6 al 8La continuidad está ligada a una propiedad geométrica de la gráfica de una función:no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el plano cartesiano; además,permite establecer una gran división de las funciones en continuas y discontinuas(no continuas). La mayoría de las funciones que se van a presentar en los temassiguientes del curso son funciones continuas. De hecho, en el próximo capítuloveremos que algunas de estas funciones son a las que se les puede calcular suderivada.

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6Idea intuitiva y definición de funcióncontinuaIntroducciónEn el lenguaje cotidiano le hemos dado a la palabra continuidad la connotación de«ausencia de interrupciones». Así, cuando se dice que «se trabajará en jornadacontinua de 8:00 a.m. a 4:00 p.m.», se quiere manifestar que el trabajo no tieneinterrupciones durante el periodo establecido.Karl WeierstrassKarl Weierstrass nació en Ostenfelde (actual Alemania) en1815 y murió en Berlín en 1897.Como se dijo en la presentación inicial, en cálculo la continuidad de una funciónsignifica que su gráfica no está «rota» o «interrumpida» cuando se traza en el planocartesiano.Objetivos del módulo1. Ilustrar por medio de gráficas cuándo una función es continua y cuándo es discontinuaen un punto de su dominio.2. Clasificar las discontinuidades de una función y establecer la condición para«removerla» o «evitarla».Preguntas básicas1. Una empresa de teléfonos propone la siguiente tarifa para llamadas internacionales:el primer minuto o fracción cuesta $1.200; el minuto adicional o fraccióncuesta $800. Elabore un gráfico del costo C (t) en función del tiempo para losprimeros cuatro minutos y con ella responda las siguientes preguntas:a. Si 1< t ≤ 2, ¿entonces C(t) = ?b. Si 2< t ≤ 3, ¿entonces C(t) = ?c. ¿En qué instantes cambia la tarifa?Contenidos del módulo6.1 Idea intuitiva de continuidad6.2 Definición de función continua en un punto6.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidadesElementos Básicos de Cálculo Diferencial61

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real62 Vea el módulo 6 del programa detelevisión Elementos Básicos de CálculoDiferencial.U de @ - Educación no presencial 6.1 Idea intuitiva de continuidadIntuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica noaparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene «huecos». En la figura 6.1aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en elpunto x = a de su dominio (figuras 6.1a y 6.1b) y la otra continua en todo sudominio (figura 6.1c).ab

cMódulo 6: Idea intuitiva y definición de función continuaFigura 6.1Al mirar con cuidado las gráficas de la figura 6.1 se pueden deducir intuitivamenteresultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de loque significa ser una función continua en un punto dado de su dominio.En la gráfica de la figura 6.1a se tiene que:i. lim f( x) = lim f( x) = L ⇔ lim f( x) = L (existe).− +x→a x→ax→aii. f ( a )(existe).Pero lim f ( x ) = L ≠ f ( a ) (por esta razón f es discontinua).x→a ¿Qué le sucede a la gráfica si f ( a) = L?Para la gráfica de la figura 6.1b se tiene que:lim f( x) = L ≠ lim f( x) = L ⇔ lim f( x) (no existe).i. − 1 + 2x→a x→ax→a(por esta razón f es discontinua).ii. f ( a) = L1(existe).Finalmente, para la gráfica de la figura 6.1c se tiene que:i. lim f ( x) = lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = L (existe).+ −x→a x→ax→aii. f ( a) (existe).iii. lim f ( x ) = f ( a ).x→a Karl WeierstrassCon 14 años, Karl Weierstrass fue aceptado en la escuelacatólica de enseñanza secundaria de Paderborn(Alemania). Ganó algunos premios antes degraduarse, y en 1839 fue aceptado en la Academia deTeología y Filosofía de Münster, donde encontró lainspiración matemática de manos de ChristofGuderman. Su primer escrito importante, publicadoen 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.Durante los quince años siguientes se dedicó a dar claseen una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envióun trabajo sobre funciones abelianas a una publicaciónmatemática de prestigio y sorprendió a la comunidadmatemática con su genio. Por este trabajo recibió eldoctorado honorífico de la Universidad de Königsbergy en 1856 fue aceptado como profesor asociado en laUniversidad de Berlín. Tras una crisis nerviosa sufridaen 1861, fue ascendido a profesor, cargo que ostentóel resto de su vida. Infortunadamente, tras losataques públicos de Leopold Kronecker por su apoyo alas ideas de Georg Cantor, y la muerte de su amigaSonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó elresto de su vida en una silla de ruedas hasta que murióvíctima de una neumonía.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial63

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable realEstas tres condiciones son las que en última instancia permiten deducir intuitivamenteque la función cuya gráfica aparece en la figura 6.1c es continua en el punto a.Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición:6.2 Definición de función continua en un puntoVea la animación «Funciones continuas ydiscontinuas» en su multimedia de ElementosBásicos de Cálculo Diferencial.Una función f es continua en x = a si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:i. f( a) existe.ii. lim f ( x ) existe.x→a iii. lim f ( x ) = f ( a ).x→a Observacionesi. Si en la definición anterior sustituimos lim f ( x ) por lim f ( x )+ o por lim f ( x),−x→ a x→ax→ase dice entonces que f es continua a la derecha y a la izquierda, respectivamente,del punto x = a.ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto la condicióniii de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a si y sólo silim f ( x ) = f ( a ) .x→a iii. Si en la definición de continuidad se hace x = a + h, con a y (a + h) en el dominiode f, se dice entonces que f es continua en a si y sólo si lim f ( a+ h) = f( a).h→06.3 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidadesSi al menos una de las tres condiciones establecidas en 6.2 deja de cumplirse, se diceque f es discontinua (no continua) en x = a.Si f es discontinua en x = a y lim f ( x ) existe pero es diferente de f (a), se dice quex→a la discontinuidad es removible o evitable. En caso contrario, se dice que la discontinuidades esencial.Así por ejemplo, la gráfica de la figura 6.1a corresponde a la gráfica de una funcióncon discontinuidad removible o evitable en x = a, mientras que la gráfica de lafigura 6.1b corresponde a una discontinuidad esencial en x = a.Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto se usa la frase«remover la discontinuidad» para indicar que se puede redefinir la función haciendoque f ( a) = lim f( x),y de esta manera obtener una nueva función continua enx→ax = a.64 U de @ - Educación no presencial

Módulo 6: Idea intuitiva y definición de función continuaConsidere por ejemplo la función f definida porLa gráfica de la función aparece en la figura 6.2.2⎧ x + x 0Figura 6.2Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene que:i.= + = ⎫ ⎪⎬ ⇒ lim f( x) = 1 (existe).lim f( x) = lim (2x+ 1) = 1x→0⎪⎭lim f( x) 2lim ( x 1) 1−x→0 −x→0+ +x→0 x→0ii. f (0) = 3 (existe).Pero lim f ( x) = 1 ≠ f (0) = 3 , lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora,x→0como lim f( x) ≠ f(0),la discontinuidad es evitable.x→0Se puede entonces «remover» o «evitar» la discontinuidad redefiniendo la funciónde tal forma que lim f( x) = f(0).Esto es, redefiniendo f así:x→02⎧ + 0Esta nueva función es continua en x = 0.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial65

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real66 U de @ - Educación no presencial Es de anotar que la función f se ha redefinido y, por tanto, no se trata de la mismafunción. ¿Por qué?En los ejercicios al final del capítulo (módulos 6 al 8), puede mirar otros ejemplossobre funciones continuas y discontinuas.

7Teoremas sobre funciones continuasIntroducciónLos siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantespropiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útilesque permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrirdirectamente al empleo de la definición.Leonhard EulerLeonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea,Suiza, y falleció el 18 de septiembre 1783 en SanPetersburgo, Rusia.Objetivos del módulo1. Establecer las propiedades de las funciones continuas y la manera de usarlas enla solución de ejercicios.2. Relacionar la continuidad con el límite de la función compuesta.Preguntas básicasDiga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:Sean f (x) y g(x) dos funciones:1. Si ( f + g)( x)es continua en x = a, ¿entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a?2. Si ( f ⋅ g)( x)es continua en x = a, ¿entonces f y g son continuas en x = a?Contenidos del módulo7.1 Teoremas sobre funciones continuas7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuestaElementos Básicos de Cálculo Diferencial67

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real7.1 Teoremas sobre funciones continuas7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuasVea el módulo 7 del programa deSean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:televisión Elementos Básicos de CálculoDiferencial.i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una funcióncontinua.)ii. (f − g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es unafunción continua.)iii. (f ⋅ g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es unafunción continua.)⎛ f ⎞iv. ⎜ ⎟⎝ g ⎠ es continua en x = a, si g (a) ≠ 0. (El cociente de dos funciones continuases una función continua.)ConsecuenciasCC1: La función polinómica es continua en todo punto del eje realnn−1En efecto, sea Pn( x) = anx + an−1x + .... + a1x+ a una función polinómica0de grado n y sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente elteorema 1 en sus partes i e iii se obtiene que:1lim P ( x nnn) a a a a −=n+n 1.... a a a P 1 0 n( a−+ + + = ), y de aquí, P ( )x→a nx es una funcióncontinua en todo punto del eje real.CC2: Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominadorde la funciónDemostración: aplicar el teorema 1.7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuestaSean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim g ( x ) = b . Entonces,x→a lim( f g)( x) = lim f( g( x)) = f ( lim g( x) ) = f( b).x→a x→a x→aConsecuenciasCC3nSi lim f ( x) = b, entonces limnf( x) = n lim f( x) = b.x→a x→a x→aCuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0 .68 U de @ - Educación no presencial

CC4Módulo 7: Teoremas sobre funciones continuasSi lim f ( x) = b, entonces lim f( x) = lim f( x) = b.x→a x→a x→aLas consecuencias CC3 y CC4 se expresan respectivamente en palabras de la siguientemanera: «El límite de la raíz n-sima es la raíz n-sima del límite» y «El límite delvalor absoluto es el valor absoluto del límite».CC5: Continuidad de la función compuestaSi g es continua en a, y f es continua en g(a), entonces ( f g)( x) = f( g( x))escontinua en a.Ejemplo 1En este ejemplo se quiere dar respuesta a la primera pregunta básica. Es decir, ¿si(f + g) (x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a?SoluciónLa implicación formulada es falsa. En efecto, sean⎧x+ 1 si x 0⎧− 1 si x < 0⎪gx ( ) = ⎨ 0 si x=0⎪⎩ 1 si x > 0cuyas gráficas aparecen en la figura 7.1.Leonhard EulerA una edad temprana, Leonhard Euler fue enviado a laUniversidad de Basilea, donde atrajo la atención de JeanBernoulli. A los 17 años de edad obtuvo un doctorado y a los19 envió dos disertaciones a la Academia de París, una sobrearboladura de barcos y la otra sobre la filosofía del sonido.Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a SanPetersburgo, para reunirse con su amigo Bernoulli, que lehabía precedido allí algunos años antes. Hacia los 30 años deedad fue honrado por la Academia de París por su trabajopara resolver problemas relevantes sobre losmovimientos de los cuerpos celestes. En Berlín, Eulerintimó con Moreau de Maupertuis, presidente de laAcademia, un francés de Bretaña, que favorecíaespecialmente la filosofía newtoniana, de preferencia ala cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que laejerció en una época en que la opinión continental aúndudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuisimpresionó mucho a Euler con su principio favorito delmínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultadosen sus problemas mecánicos. En 1766 Euler volvió a SanPetersburgo, para pasar allí el resto de sus días. En 1771,cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta lacasa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, searrojó a las llamas, descubrió al hombre ciego y lo salvóllevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los librosy el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Eulercontinuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el díade su muerte, a los setenta y seis años de edad.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial69

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable realDiderot y EulerDenis Diderot fue un filósofo francés muy popular en elsiglo XVIII. Una de sus acciones más destacadas fue haceruna enciclopedia junto con un importante equipo decolaboradores, llamada Encyclopédie, ou dictionnaireraisonné des sciences, des arts, et des métiers. A pesarde no ser experto en esta materia, Diderot escribía enella bastante bien sobre temas de matemática.Leonard Euler, otro matemático importante de laépoca, fue invitado a colaborar como científico en lacorte de la reina Catalina II de Rusia, y así estuvo durantemucho tiempo en San Petersburgo. Diderot tambiénfue invitado por la reina, pero la relación entre ellosse tornó tensa, por lo que tuvo que intervenir Euler.Éste, en una muestra de agradecimiento a la reina, ysabiendo que los conocimientos matemáticos deDiderot no eran bien fundamentados, se ofreció adeshacerse de aquél de una manera diplomática. Eulerse encargó de que llegara a los oídos de Diderot que élposeía una demostración matemática de la existenciade Dios. Dada la rígida postura de su ateísmo y sufama como intelectual, Diderot se encargó de que Eulersupiera que él estaba dispuesto a enfrentar lademostración delante de la corte, y en su caso, refutarla.El plan resultó tal y como Euler lo deseaba. En unaceremonia, Euler se dirigió a Diderot y le replicó conuna gran parsimonia: «Señor: a + b a la n entre n esigual a x (a su vez escribía una fórmula que decía:a + b n /n = x). Por tanto, Dios existe.70 U de @ - Educación no presencial Figura 7.1Puede demostrarse fácilmente que f (x) y g (x) son discontinuas en x = 0 (verifíquelo).Sin embargo,⎧( x+ 1) − 1 si x 0Esto es,⎧ x si x 0o simplemente (f + g) (x) = x es la función identidad, cuya gráfica aparece en la figura7.2 y es continua en x = 0.Figura 7.2Igualmente, la implicación formulada en la pregunta 2 también es falsa. Se pide allector la verificación de la misma, construyendo dos funciones f y g tales que f · gsea continua en x = a, pero f y/o g sean discontinuas en x = a.La falta de conocimientos matemáticos de Diderot nole permitieron hacer alguna objeción. A los pocos días,humillado, el filósofo francés pidió permiso a SuMajestad para regresar a Francia.

8Continuidad en un intervaloIntroducciónEn el módulo 7 se estableció la continuidad de una función en un punto particularde su dominio. El concepto puede extenderse de manera natural para todos lospuntos de un intervalo de la recta real.Objetivos del móduloParadoja de la barra que no caeSe tiene una barra de hierro unida al piso de un vagón deferrocarril por medio de un eje; se supone que no hay ningúnrozamiento. Existe una posición de la barra en el instante deiniciarse el viaje (t = 0) tal que, cuando el viaje finalice, labarra no habrá tocado el suelo ni una sola vez.1. Extender el concepto de continuidad puntual al caso de un intervalo de larecta real.Preguntas básicasSupóngase que g es continua en [a, b], h es continua en [b, c] y g(b) = h(b).Sea f (x) = g(x) para todo x ∈[a, b] y f(x) = h(x) para todo x ∈[b, c]. ¿Es f continua en[a, c]? Es decir, ¿pueden «soldarse» las funciones continuas? Analice su respuestagráficamente.Contenidos del módulo8.1 Continuidad en un intervalo abierto8.2 Continuidad en un intervalo cerradoElementos Básicos de Cálculo Diferencial71

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real72 Vea el módulo 8 del programa detelevisión Elementos Básicos de CálculoDiferencial.U de @ - Educación no presencial 8.1 Continuidad en un intervalo abiertoDefiniciónUna función f es continua en un intervalo abierto si y sólo si f es continua en todopunto del intervalo.8.2 Continuidad en un intervalo cerradoDefiniciónUna función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo si f es continua enel intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.Es decir, f es continua en [a, b] si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:1. f es continua en (a, b).2. lim f ( x) = f( a).+x→a3. lim f ( x) = f( b).−x→bObservaciónLas condiciones 2 y 3 garantizan que la gráfica de la función comienza de maneracontinua en el punto (a, f (a)) y llega así al punto (b, f (b)) en el plano cartesiano.Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalosemiabierto de cualquiera de las formas (a, b] o [a, b).Así por ejemplo, la función f ( x)= x(mayor entero menor o igual a x) es continuaen los intervalos de la forma ( n−1, n),n∈ , ya que en cada uno de estos intervalosla función es constante. La función descrita anteriormente aparece en la sección3.1.1 del apéndice III.Considere también la función f definida por:2⎧⎪x si −1 ≤ x

i. f (2) = 4 .Módulo 8: Continuidad en un intervaloii.lim f( x) = lim ( x+ 2) = 4⎫ ⎪lim ( ) 4.2 ⎬ ⇒ f x =lim f( x) = lim x = 4x→2⎪ ⎭+ +x→2 x→2−−x→2 x→2iii. lim f( x) = f(2).x→2De i, ii, e iii se concluye que f es continua en x = 2 y por tanto f es continuaen el intervalo (–1, 3).Figura 8.12. Continuidad por la derecha del punto x = –1.2i. f ( − 1) = ( − 1) = 1 (existe).ii.lim2f( x) = lim x = 1 (existe).+x→−1 +x→−1iii. lim f( x) = f( − 1).+Así que f es continua por derecha de −1.x→−13. Continuidad por la izquierda del punto x = 3.i. f (3) = 3 + 2 = 5 (existe).ii. lim f( x) = lim ( x + 2) = 5 (existe).−−x→3 x→3iii. lim f( x) = f(3).Así que f es continua por la izquierda en el punto x = 3.x→3De 1, 2 y 3 se concluye, de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalocerrado [–1, 3].El ejemplo 3 de los ejercicios resueltos (módulos 6 al 8) es otro caso de una funcióncontinua en un intervalo cerrado.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial73

Ejercicios del capítulo 2 (módulos 6 al 8)Ejercicios resueltos1. Considere la función definida por⎧ x − 2⎪ si x ≠ 22f( x) = ⎨ x − 4⎪⎩ 1 si x = 2y analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la discontinuidad.SoluciónSe debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2.i. f (2) = 1 (existe).ii. lim f ( x)+x 2x − 2= lim f( x) = lim f( x) = lim ,x − 4→ − 2 22x→2x→ x→x − 2= lim ,x→2( x− 2)( x+2)1 1= lim = (existe).x→2x + 2 4iii.1lim f ( x) = ≠ f (2) = 1.x→24Como falla esta última condición, f no es continua en x = 2.1Ahora, puesto que lim f ( x)= existe, la discontinuidad es removible o evitable en x = 2.x→24Para remover o evitar la discontinuidad se redefine la función, de tal forma que coincidan lim g( x)con g (2), así:x → 2⎧ x − 22 , x ≠ 2⎪ x − 4gx ( ) = ⎨⎪ 1 , x = 2⎪⎩ 474 U de @ - Educación no presencial

En la figura 1 aparecen dibujadas las gráficas de f y g cerca de x = 2.Ejercicios de los módulos 6 al 8Figura 1Elementos Básicos de Cálculo Diferencial75

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable real2. Considere la función f definida por⎧2x+ 1 si x≤1f( x)= ⎨ 2⎩x+ 3 si x > 1y analice la continuidad de f en el punto x = 1. Si f es discontinua, clasifique su discontinuidad.SoluciónComo en el caso anterior, se analizan primero las condiciones de continuidad.i. f (1) = 2⋅ 1+ 1 = 3 (existe).ii.= + = ⎫ ⎪⎬ ⇒ lim f ( x) (no existe)lim f ( x) = lim (2x+ 1) = 3x→1⎪⎭lim f ( x) 2lim ( x 3) 4+x→1 +x→1−−x→1 x→1De i e ii se concluye que f no es continua en el punto x = 1.Además, como lim f ( x)no existe, la discontinuidad es esencial y no puede removerse.x→1En la figura 2 aparece dibujada la función f.Figura 276 U de @ - Educación no presencial

3. Considere la función f definida porEjercicios de los módulos 6 al 8⎧3x+ 6 a si x 3Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.SoluciónComo f es continua en todo su dominio, lo es en particular en los puntos x = 3 y x = –3.De la continuidad de f en el punto x = –3, se deduce que:lim f( x) = lim f( x) = f( − 3).(1)− +x→−3 x→−3Perolim f ( x ) = lim (3 x+ 6 a ) = − 9 + 6 a .(2)−−x→−3 x→−3También,lim f( x) = lim (3ax− 7 b) = −9a− 7 b = f( − 3).(3)+ +x→−3 x→−3Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene:− 9+ 6a = −9a−7b ⇔ 15a+ 7b= 9.(4)De la continuidad de f en el punto x = 3 se deduce que:lim f( x) = lim f( x) = f(3).(5)+ −x→3 x→3Perolim f ( x ) = lim (3 ax− 7 b ) = 9 a− 7 b = f (3).(6)−−x→3 x→3También,lim f ( x) = lim ( x− 12 b) = 3 − 12 b.(7)+ +x→3 x→3Sustituyendo (6) y (7) en (5) se obtiene:9a− 7b= 3−12b⇔ 9a+ 5b= 3.(8)Elementos Básicos de Cálculo Diferencial77

Capítulo 2: Continuidad de funciones de variable realAl resolver simultáneamente las ecuaciones (4) y (8) se obtienen finalmente los valores a= 2 y b=−3.Con estos valores, ¿cómo queda definida la función f ? Dibújela.4. Pruebe que la función f ( x) = senxes continua en x = 0.Soluciónsen xlim f( x) = lim sen x = lim x ·x→0 x→0 x→0x⎛ sen x ⎞= ( lim x)· ⎜lim ⎟ = 0 · 1 = 0x→0 x→0⎝ x ⎠= sen 0 = f (0).Ejercicios propuestos1. Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x = 2. Justifique su respuesta.a.2f( x) = 4x − 2x+ 12.b.8f( x) = .x − 2c.23xgx () = .x − 2d. gx () = x−1.e. hx ( ) = x−3.f.hx2( ) = 3−5 x .g. tx x( ) = .h. 1tx ( ) = x− .2 i.3x 8mx () = −.x − 2j.3⎧ x − 8⎪ si x ≠ 2f( x) = ⎨ x − 2⎪⎩ 12 si x = 2k.⎧4x− 8⎪ si x ≠ 2f( x) = ⎨ x − 2⎪⎩ 2 si x = 2⎧x+ 3 si x 22. En los ejercicios siguientes establezca la continuidad o no de las funciones en los puntos a dados. Si la discontinuidades removible, remueva la discontinuidad. Dibuje las gráficas.a.2⎧9 −xsi x≤2f( x) = ⎨a = 2⎩3x+ 2 si x > 2b.2⎧ − +x 4x3⎪si x ≠ 3f( x) = ⎨ x − 3a = 3⎪⎩ 5 si x = 3c.2⎧ − −x 3x4⎪si x ≠ 4Gx ( ) = ⎨ x − 4a=4⎪⎩ 2 si x = 4d.2⎧ + −x x 6⎪si x ≠−3H( x) = ⎨ x + 3a =−3⎪⎩ 1 si x =−3e.⎧x− 1 si x 178 U de @ - Educación no presencial

3. Sea⎧3x+ 2 si x < 4f( x)= ⎨⎩5 x+ k si x ≥ 4Ejercicios de los módulos 6 al 8Determine el valor de k para que lim f ( x)exista.x→ 44. Sea2⎧xsi x≤−2⎪f( x) = ⎨ax+ b si − 2 < x

Ejercicios de los módulos 6 al 89. Dibuje la gráfica de la función f que satisfaga todas las siguientes condiciones:a. Su dominio es [0, 6].b. f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2.c. f es continua, excepto para x = 2.lim f( x) = 1 y lim f( x) = 3.d. − +x→2 x→5«No es la fuerza, sino la perseveranciade los altos sentimientos, la que hace alos hombres superiores».Friedrich Nietzsche80 U de @ - Educación no presencial