Ecuaciones de la recta

CipriDpto. de Matemáticas, 02/03/98Ecuaciones de la rectaEn el plano consideramos el sistema de referencia usualnO; ! i ; ! oj :La recta que pasa por P (p 1 ; p 2 ) y tiene como vector director a ! v (v 1 ; v 2 ) 6= ! 0 es el conjuntofP + ! v : 2 Rg y la representaremos por r:Todo punto Q de la recta que pasa por P y tiene como vector director a ! v es de la formaP + ! v , con 2 R, es decir, Q 2 r si Q = P + ! v :Llamamos ! r al vector de posición de Q, es decir, ! r = ! OQ! p al vector de posición de P , es decir,! p =! OP :Ecuación vectorial! r =! p + ! vSea P (p 1 ; p 2 ) ; ! v = (v 1 ; v 2 ) y Q (x; y) : Entonces:Ecuación vectorial en coordenadas(x; y) = (p 1 ; p 2 ) + (v 1 ; v 2 )Ecuaciones paramétricas x = p1 + v 1y = p 2 + v 2Ecuación continuax p 1v 1= y p 2v 2Notaremos m = v 2v 1y lo llamaremos pendiente

Ecuación punto-pendientey p 2 = m (x p 1 )Llamamos A = v 2 ; B = v 1 ; y C = v 2 p 1 + v 1 p 2 :Ecuación general o implícitaAx + By + C = 0Notaremos n =CBy la llamaremos ordenada en el origen.Ecuación explícitay = mx + nPara calcular el corte de una recta con el eje OX, se hace y = 0 y se tiene en cuenta, porejemplo,la ecuación explícita de la recta, igualando ambas igualdades.Para calcular el corte de una recta con el eje OY , se hace x = 0 y se tiene en cuenta, porejemplo, la ecuación explícita de la recta.Ecuación segmentariaxA (a; 0) es el punto de corte con el eje OX+ y = 1 donde a b B (0; b) es el punto de corte con el eje OY

Posiciones relativas de dos rectas en el planoConsideramos las rectasr :r 0 :y = mx + n (Ec. explícita)Ax + By + C = 0 (Ec. general)y = m 0 x + n 0 (Ec. explícita)A 0 x + B 0 y + C 0 = 0 (Ec. general)Entonces, se tienen las siguientes posiciones relativas:r y r 0 secantes m 6= m 0 A A 0 6= B B 0r y r 0 paralelas m = m 0 , n 6= n 0 A A 0 = B B 0 6= C C 0r y r 0 coincidentes m = m 0 , n = n 0 A A 0 = B B 0 = C C 0Conviene tener en cuenta, para no liarse con la tabla anterior, que:Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto comúnDos rectas son paralelas si no tienen ningún punto comúnDos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos comunes