Transformaciones de Similitud

36Derivando con respecto al tiempo la ecuación (4.5) se tienedz (t)dtdx (t)= TdtSubstituyendo la ecuación (4.1) en la ecuación (4.7) se tiene(4.7)dz (t)= TAx (t)+TBu (t) (4.8)dtSubstituyendo la ecuación (4.6) en la ecuación (4.8) se tienedz (t)dtPara la salida se tiene= TAT ¡1 z (t)+TBu (t) (4.9)y (t) =Cx (t)+Du (t) (4.10)Substituyendo la ecuación (4.6) en la ecuación (4.10) se tieney (t) =CT ¡1 z (t)+Du (t) (4.11)Comparando la ecuación (4.3) con la ecuación (4.9) y la ecuación (4.4) con laecuación (4.11) se tiene¹A = TAT ¡1¹B = TB¹C = CT ¡1¹D = D(4.12)Debido a que las matrices de las realizaciones generalmente tienen muchos elementoscon ceros, la matriz de transformación T no tiene solución única, asi que se leagregan condiciones (como la invertibilidad y un adecuado condicionamiento) para obteneruna solución.Ejemplo:Suponga que un sistema es descrito por dos realizaciones en las cuales· ¸ ¡3 0A =(4.13)0 ¡2yComo ¹A = TAT ¡1 entonces¹A =· ¡3 50 ¡2¸(4.14)¹AT = TA (4.15)· ¡3 50 ¡2¸· ¸T11 T 12=T 22T 21·T11 T 12T 21 T 22¸· ¡3 00 ¡2¸(4.16)

37Calculando el producto de las matrices en la ecuación (4.16) se tiene· ¸ · ¸¡3T11 +5T 21 ¡3T 12 +5T 22 ¡3T11 ¡2T=12¡2T 21 ¡2T 22 ¡3T 21 ¡2T 22(4.17)Igualando cada uno de los elementos de las matrices en la ecuación (4.17) se tieneResolviendo la ecuación (4.18) se tiene¡3T 11 +5T 21 = ¡3T 11¡3T 12 +5T 22 = ¡2T 12¡2T 21 = ¡3T 21¡2T 22 = ¡2T 22(4.18)T 21 =05T 22 = T 12T 21 =0T 22 = T 22(4.19)Como se puede observar en la ecuación (4.19) la información obtenida no es su…-ciente para construir una matriz T única así que una posible matriz T es la siguiente· ¸ 1 5T =(4.20)0 1Facilmente se puede demostrar que:· ¸T ¡1 1 ¡5=0 1y· ¸·TAT ¡1 1 5 ¡3 0=0 1 0 ¡2¸· 1 ¡50 1¸(4.21)(4.22)(TA) T ¡1 =· ¡3 ¡100 ¡2¸· 1 ¡50 1¸(4.23)¡ TAT¡1 ¢ =· ¡3 50 ¡2¸= ¹A (4.24)Invariancia de los eigenvalues:Para probar la invariancia de los eigenvalues ante una transformación lineal, sedemostrará que los polinomios característicos de j¸I ¡ Aj y ¯¯¸I ¡ T ¡1 AT¯¯ son idénticos.Debido a que el determinante de un producto es igual al producto de los determinantesse tiene¯¯¸I ¡ T ¡1 AT¯¯ =¯¯¸T ¡1 T ¡ T ¡1 AT¯¯ (4.25)