Interaprendizaje Holístico de Álgebra y ... - Repositorio UTN

Hacia un Interaprendizaje Holístico deÁlgebra y GeometríaMario Orlando Suárez IbujesColegio Nacional ―Teodoro Gómez de la Torre‖RegióninteriorEFronteraRegiónexteriorDFa0lrACeBVérticeCircunferenciainscritaCircunferenciacircunscritan(n 3)Diagonal =2Lado l(a b) 6 = a 6 6a 5 b 15a 4 b 2 20a 3 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 63

Bajo el auspicio del Colegio Nacional “Teodoro Gómez dela Torre”Rector: Dr. Ramiro Terán AcostaVicerrector: Lic. Carlos Verdezoto NúnezDerechos Reservados del Autor:Instituto Ecuatoriano de la Propiedad IntelectualDirección Nacional de Derecho de Autor y Derechos ConexosDerecho de Autor Nº 020352ISBN-9978-43-838-6Impresión: Gráficas PlanetaPrimera EdiciónEsta obra no puede ser reproducida total ni parcialmente porningún medio sin expreso consentimiento del autor.Pedidos al teléfono: 2632166Ibarra-Ecuador20044

A MIS PADRES,MIS PRIMEROS MAESTROS5

ACRÓSTICOM adre, en tu nombre amoroso seA cuña la más santa nobleza soñada enD onde el corazón ofrece la roja flor del amorR egada de ternura infinita y santosE ncantos que tu representas, ¡oh Madre querida¡Dedico este Acróstico al más admirable ser que Dios pusosobre la tierra, a mi Madre.El Autor6

PRESENTACIÓNCuando se menciona la palabra Matemática, lo primero quepiensan la mayoría de personas es que es algo aburrido decálculos difíciles con complicadas y abstractas operaciones.Este criterio erróneo que tienen las personas se debe quizá aque desde tempranas edades escolares no se les enseña que laMatemática es una ciencia que tiene una naturaleza lógica yprecisa que brinda numerosos beneficios intelectuales yformativos (creatividad, imaginación, orden mental, exactitud,responsabilidad, puntualidad, constancia) que contribuyen aldesarrollo de las demás ciencias.Consultado por un discípulo sobre las fuerzas dominantes delos destinos de los hombres, Pitágoras, filósofo y matemáticogriego respondía: ―Los números rigen el mundo‖. LaMatemática está en la naturaleza, en la sociedad, en la poesía,en la música, en la astronomía y en cualquier parte que sebusque (en la trayectoria de los planetas y cometas, en el discosolar, en los edificios, en los diamantes, en la estrella de mar,en la trayectoria de una abeja que describe el número 8 paraavisar que ha descubierto una fuente de miel, en una gota deagua, en un grano de arena). Los conocimientos matemáticosdesde siempre han sido una herramienta estratégica para la7

creación de nuevos medios científicos y tecnológicos que hanpermitido a la humanidad desarrollarse. Por ello es necesarioque al enseñar esta ciencia se trate problemas matemáticossobre situaciones prácticas y concretas, evitando utilizar elsimple cálculo rutinario sin comprensión de lo que se estáhaciendo. Esto ayudará a mejorar el domino de las operacionesmatemáticas y el conocimiento del ¿por qué? de su necesidad outilidad, generando un desarrollo matemático y una misión yvisión superior de la vida.En este contexto surge la necesidad de poner a consideraciónde discentes y docentes esta propuesta, cuyo objetivo escontribuir a mejorar el nivel de interaprendizaje de laMatemática con situaciones problemáticas de la vida diaria queestimulan en el discente la capacidad de aprender, interpretar yaplicar esta hermosa ciencia en su diario vivir.El Autor8

CONTENIDOSpCONTRAPORTADA 1DEDICATORIA 3ACRÓSTICO 4PRESENTACIÓN 5CONTENIDOS 7EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 11CAPÍTULO I.- REPASO DE LOS NÚMEROSREALES1.1.-Definición 131.3.- Relación de orden 141.4.- Valor absoluto1.5.- Operaciones en los números reales 151.5.1.- Ejemplos ilustrativos1.5.2.- Ejercicios de refuerzo 21CAPÍTULO II.- INTRODUCCIÓN AL UNIVERSOALGEBRAICO2.1.- Reseña histórica del Álgebra 272.2.- Nomenclatura algebraica 282.3.-Clasificación de expresiones algebraicas 322.4.- Reducción de términos semejantes 342.5.- Suma y resta de polinomios 402.6.- Multiplicación algebraica 512.7.- División algebraica 622.8.- Productos notables 712.9.- Teorema del binomio 752.10.- Cocientes notables 79CAPÍTULO III.- ECUACIONES E INECUACIONES3.1.- Ecuaciones3.1.1.- Definición 839

3.1.2.- Términos de una ecuación3.1.3.-Grado de una ecuación 843.1.4.- Solución de una ecuación 853.1.5.- Ejemplos ilustrativos3.1.6.- Ejercicios de refuerzo 953.2.- Inecuaciones3.2.1.- Definición 1013.2.2.-Grado de una ecuación3.2.3.- Solución de una ecuación3.2.4.- Ejemplos ilustrativos 1033.1.6.- Ejercicios de refuerzo 108CAPÍTULO IV.- LA REALIDAD OBSERVADADESDE LOS POLÍGONOS4.1.- Definición de Polígono 1094.2.- Elementos de los Polígonos 1104.3.- Clasificación de los Polígonos 1114.3.1.- De acuerdo al carácter entrante o saliente de susángulos:4.3.2.- De acuerdo a su regularidad 1124.3.3.- De acuerdo al número de lados4.4.- La Circunferencia 1144.4.1.- Definición4.4.2.- Elementos4.4.3.- El número 1154.5.- Ejemplos ilustrativos 1164.6.-Ejercicios de Refuerzo 127REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 143ANEXOS 14510

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICAOrientaciones Didácticas:En cada pregunta usted tiene cuatro posibles respuestas, de lascuales después de resolver comprobará que una es la correcta,en los paréntesis escriba el literal correspondiente a dicharespuesta. Cada pregunta vale dos puntos.1) El resultado de la operación2151 5 2 5 2 100 5es:a) 8 b) 8+ 4 5 c) 4 d) 4 + 4 52)¿El área de la región sombreada de la figura es?a)6,5 cm 2 b) 6,2 cm 2 c) 6 cm 2 d) 6,4 cm 23) El Perímetro de la figura sombreada anterior es:a)10,83 cm b) 10 cm 2 c) 14 cm d) 9 cm4) En una clase de 40 estudiantes las tres quintas partes sonhombres. ¿Cuántas mujeres hay en el curso?a) 8 b) 12 c) 24 d) 165) Se tiene 100 libros para vender, si se ha vendido 2/5 a $ 5 yel resto a $6. ¿Cuánto dinero se tiene después de vender todoslos libros?a) $360 b) $200 c) $560 d) $46011

6) Se desea cubrir con una alfombra el piso de una alcoba de8m de largo por 5,5 m de ancho. ¿Cuánto cuesta alfombrarlo siel precio por m 2 es $3?a) $132 b) $66 c) $264 d) $4607) La nariz de Pinocho mide 3 cm Su longitud se suplica cadavez que miente. ¿Cuánto medirá la nariz de Pinocho luego de 4mentiras?a)12 b) 30 c)24 d) 488) En un corral hay el mismo número de chanchos, de patos ygallinas. Estos animales tienen, todos en conjunto, 32 patas.¿Cuántas gallinas hay?a)2 b) 3 c)4 d) 89) Un patio rectangular tiene de largo el doble que su ancho, siel perímetro es 24 m. ¿Cuál es el largo del patio?a)24 b) 8 c) 4 d) 1210) Un patio rectangular tiene de largo 6m más que su ancho,si el perímetro es 40 m. ¿Cuál es el largo del patio?a)4 b) 18 c)13 d) 8Ser Realista es Soñar con lo Imposible12

CAPÍTULO IREPASO DE LOS NÚMEROS REALES “‖El conjunto formado por todos los números racionales (7/2,-1,5) y los irracionales ( 6 2,449489...,= 3,1415...;e = 2,7182....) es el de los números reales. Estos númerosocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llamarecta real.7/2-1,5 6- ... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5.... Recordemos que al expresar un número racional, no entero, enforma decimal se obtiene tres clases de números decimales:2-Decimal finito o exacto: 0, 452-Decimal infinito o periódico puro: 0,666...329-Decimal infinito o periódico mixto: 1,3181818...221.1.- CÁLCULO DE UNA FRACCIÓN GENERATRIZ1.1.1.- Para calcular la fracción generatriz de un númerodecimal exacto, el número se escribe en forma de entero alnumerador y por denominador se pone una unidad seguida de

tantos ceros como cifras decimales tiene el decimal. Después sesimplifica si es posible4 2 125 5Ejemplos ilustrativos: 0,4 = ; 1,25 = 10 5 100 41.1.2.- Para calcular la fracción generatriz de un decimalperiódico puro, se pone al numerador un período como enteroy al denominador tantos nueves como cifras tiene el período.La parte entera del decimal se hace preceder a la fracción comoentero. Finalmente el número mixto se reduce a númeroracional.Ejemplos ilustrativos:66 233 2 1 6 10,66... ; 2,33... 2 99 399 1 3 31.1.3.- Para calcular la fracción generatriz de un decimalperiódico mixto, la parte anteperiódica se pone como decimalexacto y se le suma la fracción que tiene por numerador unperíodo y por denominador tantos nueves como cifras tiene elperíodo y tantos ceros cuantas cifras anteperiódicas hay. Laparte entera del decimal se la hace preceder a las fraccionescomo entero. Finalmente el mixto se reduce a quebradoimpropioEjemplos ilustrativos:8 6 4 1 12 10,86 10 90 5 15 151315733 18 1 3 1 110 33 2 1451,318 1 10 990 1 10 55 110 1102922Repaso de los números reales 14

1.1.4.- Ejercicios de RefuerzoCalcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:1) 0,369S = 253) 5,2451049S = 2005) 0 ,4...7) 0 ,45...9) 8 ,3...11) 0 ,7...13) 2 ,09...15) 1 ,86...17) 1 ,416...S = 945S = 11S = 325S =9723S = 1128S = 1517S = 121119) 3,666666… S =32721) 2,454545… S = 112) 1,2431S = 254) 25,45509S = 206) 1 , 48) 0 ,63...10) 4 ,3...12) 3 ,24...14) 1 ,13 ...16) 2 ,545...18) 0 ,7727...13S = 97S = 1113S = 3107S = 3317S = 1528S = 1117S = 2220) 0,037037… S =2712722) 1,2272727… S =22Repaso de los números reales 15

1.2.- RELACIÓN DE ORDENEs indicar si un número es mayor o menor con respecto a otronúmero. Se emplean la simbología:> = Mayor que y < = Menor que1.2.1.-Ejemplos ilustrativos:1.-Ordenar de menor a mayor los siguientes números:-2 ; 1,5 ; 6 ; 7/2 ; -5 ; -10 ; 1 ; 0.Solución: -10 < -5 < -2 < 0 < 1 < 1,5 < 6 < 7/22.- Ordenar en forma descendente los siguientes números: 5 ;-4; 4; -100; -1; 0; 8/3; 3,7Solución: 4 > 3,7 > 8/3 > 5 > 0 > –1 >-4 >-1001.3.- VALOR ABSOLUTOSe llama valor absoluto de un número a, a la distancia queexiste desde el cero hasta dicho número. Se designa con |a| y esigual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo.Es decir:-Si a > 0 |a| = a. Por ejemplo: |7| = 7-Si a < 0 |a| = -a. Por ejemplo: |-7| = -(-7) = 7.Nota: El valor absoluto de un número es siempre positivo.Ejercicios de refuerzoRepaso de los números reales 16

a) Escriba la relación de orden entre las siguientes parejas denúmeros:1) -6.......6 2) 2.......-2 3) -2.......20 4) 0.......-35) 0,7.......7 6) 5.......5/7 7) |-4|....|-1/4| 8) -0.6....-69) | 8 |......|-8| 10) - 8 ...-8 11) | |.....|- e | 12) - e...... -b) Ordenar en forma descendente los siguientes números:; -7; ; -4; -5,2; -0,2; |3/7 |; -1/4; 8 ; - 5 ; 5/8y -2c) Ordenar en forma ascendente los siguientes números:-3; 4; -15; ; 3,2; -0,3; |-| ; -3/4; 2/3; 7 ; e;; -2 y | |d) Represente en la recta numérica los números del ejercicioanterior.1.4.- OPERACIONES CON NÚMEROS “ ”1.4.1.- Ejemplos Ilustrativos.a) Resolver los siguientes ejercicios:221) 0,0625 0,21,211116 11 2) 0 ,2 3,6 1,7 2 7,1 21 (0,111...)0,6 1221 23) 3 4 1 11 3 62 1005 5310,8751Repaso de los números reales 17

Solución:AfirmacionesRazones12 121) 16 0,0625 0,21,2=162 111612 2106 511mnan m a yencontrando la fraccióngeneratriz de los decimales11 1 6 = 4 4 5 516 4 y Simplificando11 16 = 4 Restando4 5 11 5 = 4 1- 6 = -54 5 =11 14 Simplificando4 11n1 1 a a= 4 4 1 b b11 1= 4 aa4 1 bb11= 4 41(+)(-) = -1 4= 4 4RestandoRepaso de los números reales 18n

3= 4 41-4 = -33= 4 4(-)(-) = +4 3Transformando el 4 a= 1 4número Q16 3Sumando=419= 416+3 =193Transformando a número= 44mixto1 2) 0 ,2 3,6 1,7 2 7,111 2 111 2 11= 162 642 Encontrando la fracción 9 3 9 9 generatriz de los decimales 1nn11 a a2 11= 9 2 9 2 b b9 3 16 64 1m 11m2 11= 9 9 an a 2 2 n 9 3 16 64 b b Repaso de los números reales 19

12 11 33= Extrayendo9 3 48cuadradala raíz12 11 6 3= 9 3 8 Restando12 11 3= 9 3 86-3 = 31nn2 11 8 a a= 9 3 3b b12 118= aa9 3 3 bb2 118= 9 3 Sumando2 3= 9 3 11-8 = 32 3(-)(+) = -= 9 32 9Restando= 9=97OperandoEscribir las razones en el siguiente ejercicio resuelto:3)3 (0,111...)0,6 12 4121 32 100 512 6 53110,8751Repaso de los números reales 20

Repaso de los números reales 21= 3 11213221211565310087149132………………………………………………………………………………………=3112 1322 1211653510087841932………………………………………………………………………………………33221653510812932………………………………………………………………………………………326651010212332………………………………………………………………………………………326910213232………………………………………………………………………………………32310219432………………………………………………………………………………………

333313 6 41 9 2 35 110 1 9 215113275915159151………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………b) Resolver los siguientes problemas:1) Un estudiante ha leído dos terceras partes de 90 libros.¿Cuántos libros ha leído?Solución:23 90 2390121301Entonces ha leído 60 libros601 60Repaso de los números reales 22

2) Un deportista ha recorrido el 60% de una competencia de15 Km. ¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar a la meta?Solución:El 60% transformando a número Q es igual:6060% 10035El deportista ha recorrido:3 3 15km3 3km 15km 9km5 5 1 1 1Le faltan por recorrer: 15km9km 6km1.4.2.- Ejercicios de Refuerzoa) Resolver los siguientes ejercicios:1) 2 2 +(-3) 2 +(-2) 3 S = 52) 2 2 -(-3) 2 -(-2) 3 S = -163) (2 50 ÷2 48 )+(3 60 ÷3 58 ) S =134) [(2) 20 ] 2 ÷ [(2) 21 ] 2 S = 41Repaso de los números reales 23

4 3 5) 46 S =1 0, 5136 26) 0,333... 0,3 1,0666...7) 0,125 113 0,333.. 0,4 2,52,333... 0,58)10,25 2S =S =1315710S = 3120,2 2,5S = 19)212 210)0,22811,2S = 824 3 2414 2 430,25 25S = 111)44 3 40,2 811 11290,5 2 412)0,3 2 0,5S =7 115Repaso de los números reales 24

10,666.. 2,5 13)14)4211 S =10,30,50,333... 0,08333... 1 S = 1 20,333... 0,666...15)0,8333.. 0,1666... 116)17)0,50,555... 0,111... 1 S =4351 1433411 2S = -520,81,2 1 0,4 1,4 0,21,2 1 S = 1 1 10,333.. 0,666.. 0,666.. 1,518) 10,21,2 143 4 6 S =164122 13,5 2,5 0,25 0,75 19)1612 41211 0,2 1,2S =18Repaso de los números reales 25

20)2 2 1 3 4 8313 121 1 3 3 4 11 24 27 131S = 3021)61722 911249 431 1612 0,111.. 0,333...361210,5 S =10,1 1022)0,5 4112 0,1666.. 36 1211 20,444... 16S = 1 1 13 4 60,5 0,666.. 4 10,523) 10,21,2 4 2 11,5167S = 210 1 10,666... 0,333.. 0,5 0,333.. 0,666.. 24) 1113 4 2422 4 0,111...2 1S = 6Repaso de los números reales 26

25)10,666.. 0,283 3 311411212 412 0,21S = 2b) Resolver los siguientes problemas:1) En una clase de 45 estudiantes se realiza un examen deMatemática, en el que no obtienen una calificación de 20 lasdos quintas partes. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron 20?S = 27 estudiantes2) Un deportista ha ganado 40 medallas de oro y plata, de lascuáles tres quintas partes son de oro. ¿Cuántas medallas deplata ha ganado?S =16 medallas3) Un automóvil ha recorrido las dos terceras partes de 60 km.Un bus ha recorrido las tres cuartas partes de 60 km. ¿Cuál harecorrido una mayor distancia y cuál es esa diferencia?S = El bus con 5 km más que el automóvil4) Una persona compra un televisor a $ 240 y luego le vendeganándose el 25%.¿A cuánto vendió el televisor?.S = $300Repaso de los números reales 27

5) ¿En cuántos días se terminan $300, el que diariamente gastael 4% de ese dinero?S = 25 días6) Un deportista recorre cada hora el 30% de 50 km. ¿Encuántas horas recorre 30 km?S= 2 horas7) Un persona compra 120 frutas, de las cuales el 60% sonsandías, el 10% peras y el restante son manzanas. ¿Cuál es elnúmero de cada fruta que compró?S = 72 sandías, 12 peras, 36 manzanas8) Se tiene 500 libros para vender, si se ha vendido 2/5 a $ 6 yel resto a $7. ¿Cuánto dinero se tiene después de vender todoslos libros?S = $3300c) Plantear y resolver 5 ejercicios y 5 problemas similares a lospresentados anteriormente. Se recomienda desarrollar lacapacidad imaginativa e inventiva.Nota: Recuerde que la creatividad es uno de los múltiplesbeneficios intelectuales y formativos que se desarrolla a travésde la Matemática, los cuales son tan indispensables parasobrevivir en el mundo actual.Repaso de los números reales 28

CAPÍTULO IIINTRODUCCIÓN AL UNIVERSO ALGEBRAICO2.1.-RESEÑA HISTÓRICA DEL ÁLGEBRALa historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto yBabilonia, donde fueron capaces de resolver ecuacioneslineales y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadascomo con varias incógnitas. Esta antigua sabiduría sobreresolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en elmundo islámico, en donde se la llamó ―ciencia de reducción yequilibrio‖. (La palabra árabe al-ŷabr que significa ‗reducción‘,es el origen de la palabra álgebra). A los árabes se debe eldesarrollo del Álgebra (siglo IX). Al-Juarismi, el más grandematemático musulmán, escribió uno de los primeros librosárabes de álgebra ―Kitab al-muhtasar fi hisad al-gabr wa-almuqabala‖,de donde deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabrsignifica ecuación o restauración; al-muqabala son los términosque hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere.Por esto, en rigor, el Álgebra no es más que una teoría de lasecuaciones. (Baldor A., 1992).En las civilizaciones antiguas se escribían las expresionesalgebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sinembargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueroncapaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, ydesarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunquesin usar los símbolos modernos. La traducción al latín delÁlgebra de Al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII.

Un avance importante en el Álgebra fue la introducción, en elsiglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para lasoperaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, elLibro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático yfilósofo francés René Descartes se parece bastante a un textomoderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución másimportante de Descartes a la Matemática fue el descubrimientode la Geometría Analítica, que reduce la resolución deproblemas geométricos a la resolución de problemasalgebraicos. Su libro de Geometría contiene también losfundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendolo que el propio Descartes llamó la regla de los signos paracontar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas(negativas) de una ecuación. (Biblioteca de Consulta MicrosoftEncarta 2004)En la actualidad los conocimientos del Álgebra han encontradoaplicaciones en todas las ramas de la Matemática y en muchasotras ciencias llegando a ser empleados hasta parainvestigaciones sobre las leyes del pensamiento2.2.- NOMENCLATURA ALGEBRAICA2.2.1.- Expresión Algebraica.- Es la representación de unsímbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas, asípor ejemplo: a, 2x, a(b+c), 2x+y, x 2 -5x2.2.2.- Término.- Es una expresión algebraica que consta deun solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí porel signo + o -, así por ejemplo:3a 2 , xy, -2abc 2 , -xyzIntroducción al universo algebraico 30

2.2.2.1.- Elementos de un término.-Son cuatro: el signo, elcoeficiente, la parte literal y el grado, así por ejemplo:SignoCoeficienteSignoCoeficienteParte literal3a 2 - ab 2 c 3GradoParte literalGradoEn el caso de 3a 2 el signo es positivo (cuando un término no vaprecedido de ningún signo es positivo), el coeficiente es 3, laparte literal es a 2 y el grado es 2 (segundo grado).En el caso de -ab 2 c 3 el signo es negativo, el coeficiente es 1(cuando un término no va precedido de ningún coeficiente, elcoeficiente es la unidad), la parte literal es ab 2 c 3 y el grado deprimer grado con relación a la letra a porque el exponente deeste factor es l, de segundo grado con relación a la letra b, yde tercer grado con relación a la letra c.Nota: Para obtener el grado absoluto de un término se suma losexponentes de sus factores literales. En el caso de -2xy 2 z 3 elgrado absoluto de sexto grado porque la suma de losexponentes de sus factores es 1+2+3=62.2.2.2.- Clases de términos- Término entero.- El que no tiene denominador literal, así porejemplo 7xy 2 z 3 .Introducción al universo algebraico 31

- Término fraccionario.- El que tiene denominador literal, así3apor ejemplo b- Término racional.- El que no tiene radical, como losejemplos anteriores- Término irracional.- El que tiene radical. Ejemplo xy- Términos homogéneos.- Los que tienen el mismo gradoabsoluto, así por ejemplo 2ab 2 c 4 y 5x 2 y 2 z 3 son homogéneosporque ambos son de séptimo grado absoluto- Términos heterogéneos.- Los que no tienen el mismo gradoabsoluto2.2.3.- Ejercicios de Refuerzo1) De los términos x 2 y 3 , 2xz 3 , a 5 , 3ab 4 , 5x 4 y 3 llenar lasiguiente tablaHomogéneosHeterogéneosIntroducción al universo algebraico 32

2) Unir con líneas el término correspondientex7ax5xEntero racionalEntero irracionalFraccionario racional5 Fraccionario irracionalx3) Escribir cinco ejemplos de términos que sean enteros yracionales a la vez. Dos positivos y tres negativos...………... …………... …………... …………... …………...4) Escribir cinco ejemplos de términos que sean fraccionarios eirracionales a la vez. Tres positivos y dos negativos…………... …………... …………... …………... …………...5) Escribir cinco ejemplos de términos homogéneos…………... …………... …………... …………... …………...6) Escribir cinco ejemplos de términos heterogéneos…………... …………... …………... …………... …………...Introducción al universo algebraico 33

7) Escribir un término de cada uno de los grados absolutos parallenar la siguiente tabla:Grado Primer Segundo Quinto Décimo VigésimoEjemplo2.3.-CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICAS2.3.1.- Monomio.- Es una expresión algebraica que consta deun solo término, así por ejemplo: 7a2.3.2.- Binomio.- Es una expresión algebraica que consta dedos términos, así por ejemplo: 3a 2 – 2a2.3.3.- Trinomio.- Es una expresión algebraica que consta detres términos, así por ejemplo: a 3 + b - c 22.3.3.- Cuatrinomio.- Es una expresión algebraica que constade cuatro términos, así por ejemplo: x 3 + 4x 2 + 2x +1Nota: En general la expresión algebraica que consta de más deun término (binomio, trinomio, cuatrinomio,...) se llamaPolinomioEl grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación auna letraEl grado absoluto de un polinomio es el grado de su términode mayor grado. Ejemplo: El polinomio a 5 -2a 4 + a 3 – 3a 2 +a esde quinto grado.Introducción al universo algebraico 34

El grado con relación a una letra de un polinomio es elmayor exponente de dicha letra. Ejemplo: El polinomioa 5 + a 2 b 3 – a 6 b 2 es de sexto grado con relación a la letra a y detercer grado con relación a la letra b.Un polinomio puede estar ordenado con relación a una letra,llamada letra ordenatriz, en orden descendente o en ordenascendente. Así por ejemplo:El polinomio x 5 + 5x 4 y – 2x 3 y 2 + 4x 4 y 3 + x 5 y 4 - y 5 + 3 estáordenado en forma descendente respecto a la letra ordenatriz xy en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz y. Eltérmino de un polinomio que no tiene parte literal se llamatérmino independiente (el número 3 del ejemplo) y al ordenarun polinomio se lo ubica siempre al final.2.3.4.- Ejercicios de RefuerzoEscribir un polinomio de cada uno de los grados absolutos parallenar la siguiente tabla:GradoCuartoQuintoOctavoDécimoVigésimoTrigésimoEjemploOrden descendente Orden ascendenteIntroducción al universo algebraico 35

2.4.- REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESDos o más términos son semejantes cuando tienen la mismaparte literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentesiguales. Así por ejemplo:3a con a ; 8b con 7b; 3a 2 b 3 con 2 a 2 b 3 ; a n+m con 3a n+mLa reducción de términos semejantes es una operación a travésde la cual se convierte en la menor cantidad de términos dos omás términos semejantes. Para la que se sigue los pasos:-Se realiza todas las operaciones previas en el caso de existir(eliminación de signos de agrupación, aplicación de lasdiferentes propiedades de los números,..)-Se suman todos los coeficientes positivos y todos loscoeficientes negativos conservando el signo y la parte literalcorrespondiente.-A los dos resultados obtenidos anteriormente se aplica lasleyes de la suma y resta (signos iguales se suma y se conservael signo de los sumandos, y signos diferentes se resta y seconserva el signo del número de mayor valor absoluto).2.4.1.- Ejemplos IlustrativosReducir los siguientes polinomios:1) 7a- 3a + 4aSolución:Afirmaciones Razones7a- 3a +4a Datos del ejercicioIntroducción al universo algebraico 36

= 7a+4a-3a Propiedad Conmutativa= 11a-3a Sumando entre positivos y entre negativos= 8a Signos diferentes se resta y se conserva elsigno del número de mayor valor absoluto2) 7a m - 3a m + 4a m - 2a mSolución:Afirmaciones Razones7a m -3a m +4a m -2a m Datos del ejercicio=7a m +4a m -3a m -2a m Propiedad Conmutativa= 11a m - 5a m Sumando entre positivos y entre negativos= 6a m Signos diferentes se resta y se conserva elsigno del número de mayor valor absoluto3 1 53) a a a a2 4 3Solución:Afirmaciones3 1 5a a a a2 4 312a18a 3a 20a1215a 38a1223a 1211 1 a12RazonesDatos del ejercicioEncontrando el mcm y operandoSumando entre positivos y entrenegativosSignos diferentes se resta y seconserva el signo del número demayor valor absolutoTransformando a número mixtoIntroducción al universo algebraico 37

4) 2 1 z 2 2 1x y a x 5 y z4 3 3 5 2Solución:Afirmaciones1 z 2 2 12x y a x 5 y z 4 3 3 5 22 6x 2x4x4 12x x x 1 x3 3 3 3 31 y 4y3y3 y y y4 4 4 4z 2 5z 6zz 1 z z3 5 15 15 151 10 19 15 42 2 2 21 3 1 1= 1 x y z 43 4 15 2RazonesDatos del ejercicioOperando con las xOperando con las yOperando con las zOperando con lostérminos independientesUniendo las respuestasparciales ba 1 3 5) 3 a 2 b a 22 2 2 Solución:Afirmaciones ba 1 3 3 a 2 b a 22 2 2 b a 1 3 = 3 a 2 b a 2 2 2 2 RazonesDatos del ejercicioEliminando las llavesIntroducción al universo algebraico 38

a 1 3= 3a 2 b a2 2 2 2a 3 6a a 3a10a3a a 5a2 2 2 2b b 2bb 1 b b2 2 2 21 4 132 2 2 21 3= 5a b 2 2Eliminando los corchetesOperando con las aOperando con las bOperando con lostérminos independientesUniendo las respuestasparciales2.4.2.- Ejercicios de Refuerzoa) Reducir los siguientes polinomios:1) 5a 2a 3a 9aS = 3a2) 2m 4m 6m 3m 5m 8mS = 4 mmn3) amnmnmn 2 a 5a 2am nS = 2 a 2 2 2 2 2 24) 7ab 2ab 3ab ab 7ab 9ab2S = 5ab1 5 1 155) x 2x x x xS = x2 3 8 6241 3 2 3 5 3 2 3 1 316) m m m m mS = m312 5 6 3 4152 x17 x17 x11 x15 x1177) a a a a a S = 3 a3 5 2 6 420ab1 abab1ab7 a8) 0 ,2m m 1,2m 2 mS =51011132 x12 x13 x1x19) 4 a 25 a 8 a 0,3aS = 2 a5x1bm x1Introducción al universo algebraico 39

Introducción al universo algebraico 4010)1111113 12201741,42aaaaaxxxxxS =a1x11)21222122224421,5xxxxxxaaaaaaS =22215433xxaa12)321232313141,31,283aaaaaaxxxxxxS =232019152 aaxx13)122111231211,542270,33aaaaaammmmmmS =215122aamm14)1111110,252320,532aaaaaannmmmmS =111431323211aaanmm15)1112111152320,50,30,2xxxxxxcbacbaS =11110720111513 xxxcba16) 111121120,1220,15aaaaammmmmS = a1m

1mnmnmnmn1mn17) 20 x 0,3x 0,2x 1,4x 4 x S = m nx xy1xyxyxy 1xy18) 0 ,95m (1,2)m 2,5m 0,2m 2 m S =a1a11a2a21a119) 2x 1,2x 2x 0,2x 4 x S =1160x ym 11 a 1 7 a 2x20 x10x11x21x1x21x120) 5a 2a (0,2)a 0,4a 5 a S =1 x 1 9 x 2a5 a10b) Plantear y resolver 5 ejercicios similares a los ejerciciosanteriores.Nota: Recuerde que cuando un estudiante aprende a plantear yresolver ejercicios aumenta su nivel de comprensiónmatemática, convirtiéndole en un sujeto capacitado para poderdesarrollar actividades de creatividad y transformación tanto enMatemática como en otras circunstancias de su diario vivir.Introducción al universo algebraico 41

2.5.- SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSLa suma y resta de polinomios no es otra cosa que lareducción de términos semejantes, para lo cual se sigue lossiguientes pasos:- Se ordena los polinomios en forma descendente o decreciente.- Se cambia el signo en los términos del polinomio que se va arestar.- Se escribe los monomios semejantes, uno debajo de otro.- Si falta algún monomio en una de las columnas, se coloca unmonomio semejante con coeficiente cero o se deja el espaciolibre.- Se suma algebraicamente los polinomios.2.5.1.- Ejemplos Ilustrativos1) De la suma de x 3 -x 2 -x-4 con 7x 2 +8x 3 -x+5 restar 6x-2x 3 +x 2 -1Solución:a) Ordenando los polinomios, escribiendo los monomiossemejantes uno debajo del otro y cambiando los signos en eltercer polinomio se obtiene:x 3 -x 2 -x -48x 3 +7x 2 -x +52x 3 -x 2 -6x +1Introducción al universo algebraico 42

) Finalmente sumando algebraicamente los polinomios:x 3 -x 2 -x -48x 3 +7x 2 -x +52x 3 -x 2 -6x +111x 3 +5x 2 -8x +22) Restar 7+2a 4 de la suma de 3-4a 4 +2a 2 -3a 3 con 4a 2 -7a-3a 4 -5a 3Solución:a) Ordenando los polinomios, escribiendo los monomiossemejantes uno debajo del otro, cambiando los signos en elprimer polinomio y dejando los espacios en los monomiosfaltantes se obtiene:-4a 4 -3a 3 +2a 2 +3-3a 4 -5a 3 +4a 2 -7a-2a 4 -7b) Finalmente sumando algebraicamente los polinomios:-4a 4 -3a 3 +2a 2 +3-3a 4 -5a 3 +4a 2 -7a-2a 4 -7-9a 4 -8a 3 +6a 2 -7a -43) De la suma de3 10restar m m6 31 21 3 3 4 3m m2 m con 1 3 5 1m m2 m3 4 3 5 4 2 21 3 m 4 2Introducción al universo algebraico 43

Solución:a) Realizando los pasos de los ejemplos anteriores se obtiene:1 3 3 m m23 44 m 31 3 5 m m24 21 m 21 3 10 m m26 31 m 43532b) Cálculo del monomio resultante en la primera columna:3 3 31 3 1 3 1 3 4m 3m 2m9 3 3 3m m m m m3 4 612 12 4c) Cálculo del monomio resultante en la segunda columna:2 2 23 2 5 2 10 2 9m 30m 40m1 2 m m m m4 2 31212d) Cálculo del monomio resultante en la tercera columna:4 1 1 16m 6m 3m7m m m m3 2 4 12 12e) Cálculo del monomio resultante en la cuarta columna:3 3 6 159 5 2 10 10f) Solución final:3 m3241 7 m m12 12910Introducción al universo algebraico 44

4) Calcular los monomios que faltan para obtener la respuestaindicadaSolución:5a 4 +4a 3 -3a +3+2a 3 +4a 2 -53a 4 -5a 2 +6a10a 4 -2a 3 +2a 2 -4a -9a) Cálculo del monomio faltante en la primera columna:Se obtiene restando los monomios sumandos (5a 4 y 3a 4 ) de larespuesta indicada (10a 4 ), así: 10a 4 -3a 4 - 5a 4 = 2a 4b) Cálculo del monomio faltante en la segunda columna:Se obtiene realizando el procedimiento anterior:-2a 3 -2a 3 - 4a 3 = -8a 3c) Cálculo del monomio faltante en la tercera columna:2a 2 +5a 2 - 4a 2 = 3a 2d) Cálculo del monomio faltante en la cuarta columna:-4a -6a + 3a = -7ae) Cálculo del monomio o término independiente faltante en laquinta columna:-9 + 5 -3 = -7f) Escribiendo los monomios calculados:5a 4 +4a 3 +3a 2 -3a +32a 4 +2a 3 +4a 2 -7a -53a 4 -8a 3 -5a 2 +6a -710a 4 -2a 3 +2a 2 -4a -9Introducción al universo algebraico 45

5) Calcular el polinomio que sumado con1 3 9 4 3x x2 x 2 4 3 5y3 3 9 1 3x x2 x da como respuesta11 3 3 1 2x x2 x 2 2 6 24 4 3 5Solución:Se obtiene restando los polinomios sumandos de la respuestaindicada11 x323 1 x x4 4 31 3 9 x2 4 x x2 4 33 3 9 x2 1 x x2 2 63 3 3 x2 3 x x4 2 2253532126) Calcular el perímetro de la siguiente figura en forma13algebraica, y en forma numérica para a = 8Introducción al universo algebraico 46

Solución:a) Forma algebraica: Se obtiene sumando los polinomios:3a 2 -2a -1a 2 +2a -2a 2 -a +25a 2 -b -13 1b) Forma numérica: Se sustituye a = 8 8 2 en elperímetro calculado en forma algebraica:Perímetro = P2P = 5(2) (2) 1 54 2 1 20 2 1 17 unidades2.5.2.- Ejercicios de Refuerzo1) De la suma de 8x 2 2x 7 con 2x 2 5x 3 restar4x2 8x 4S = 6x2 15x142) De la suma de 2a 2 3a 5 con23 2a a restar2a 4 3a2S = a 5a 2133) De la suma dex2 5xy 4y2x22 2xy y con2xy22 xy 2 restarS =222x 4xy 3y3 22 34) De la suma de a a a 4 con 5a 3a a 3 restar3 23a a a 13 2S = 3a 3a 3a 6Introducción al universo algebraico 47

2xx x 2x5) Restar a 2ab 2bde la suma de2xx x 2xcon 3a a b 3ba2xx x3ab b2xS = 3a 6b2x2xx x1x22 x6) Restar a 3ab 2ab 2bde la suma dex x1x22 xx x2x1xa 2ab 4ab 3bcon 4b 5a 4ab 2ax x1x22 xS = 2a a b a b 5b7) De la suma de 1 152 1 1a 2 a con a 2 a restar2 43 2 23 1 5 a 2 a 2 3 2S = 1 1 a 2 a 73 128) De la suma de110x 32712x22 1 3 1 3 1x 2 x con2 x x restar3 5 4 2 5 6S =1 9 x 2 x 4 10149) Restar12x3414x141232141 xy23 22 3 x y xy y de la suma de3 22 3 x y xy y con34y3S =27414x2y 3 1x x2232xy 334xy2Introducción al universo algebraico 48

3 210) Restar 1,2 x 1,2x 1,5x 3, 5 de la suma de1 3 2 1 1 20,2 23 1 24 2x x x con x 5 x 1,4x 16525S =3 3 4 2 x x2 x5 5 5123 2311) Restar 2a 4 a 0,4a 27 de la suma de0,83 1 2 2a 2 a 0,2a 0, 1con 3 2 51,2a1,4a 0,5a 0, 11S =11 a 210110a12) Restar132,427 m3 21m 1,4m 0,4m 3 de la suma de22 13 2 m 0,2m 5 con 3 2 21,5 m 1,2m 0,15m 1, 1S =7 11 m3 10 613) Calcular los monomios que faltan para obtener la respuestaindicada1 3 1 a23 a4 841 35a a233 2 7 3 a a 2 6 213 3 3 a2 2 1 a x 4 8 3 20S =5 a3 ;225 1 a ; a ;4 645Introducción al universo algebraico 49

14) Calcular los monomios que faltan para obtener la respuestaindicada1 2 5 4 x x 6 4 51 32x x435 3 3 x25 x 8 2211 3 2 x2 3 4 x x 8 3 4 51 3 7S = x ;2 7 x ; x ;2 3 691015) Calcular el polinomio que sumado con1 3 3 11 3 122 1 3a a a 1y a a a2 4 44 2 2 4da comoresultado3 1 3 1a a2 a 4 2 4 2S =3 1 1 5a a2 a 2 4 2 416) Calcular el polinomio que sumado con5 3 1 2 1 1 3 322 5 3x x x y x x x da como3 2 5 6 2 10 4 6resultado4 3 3 4 3x x2 x 3 2 5 4S =1 3 11 3 13x x2 x 2 4 2 12Introducción al universo algebraico 50

17) Calcular el perímetro del siguiente triángulo escaleno en13forma algebraica, y en forma numérica para x = 8S = 4x 2 2x 5 ; 17 unidades18) Calcular el perímetro del siguiente trapecio escaleno en2forma algebraica, y en forma numérica para x = 41S = 2x 2 3x 6 ; 20 unidades19) Calcular el perímetro del siguiente trapecio rectángulo en14forma algebraica, y en forma numérica para x = 16Introducción al universo algebraico 51

S = 6x2 6x10; 22 unidades20) Calcular el perímetro del siguiente triángulo escaleno enforma algebraica, y en forma numérica para x =11 4S =7 5 x 2 x 8 872; 15 unidadesNota: Se recomienda que se debe seguir haciendo hincapié enque el estudiante resuelva ejercicios planteados por el mismo.De esta manera se contribuye a transformar al estudiante en unsujeto creativo y no repetitivo.Introducción al universo algebraico 52

2.6.- MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICALa multiplicación algebraica es una operación a través de lacual a partir de dos cantidades llamadas multiplicando ymultiplicador se halla una tercera cantidad, llamada producto.El multiplicando y multiplicador se llaman factores delproducto.La Multiplicación se fundamenta en la propiedad distributivaab c ab acy propiedades de los exponentes dem n mnpotencias de igual base a a a .2.6.1.- Multiplicación de un Monomio por un PolinomioSe multiplica el monomio por cada uno de los términos delpolinomio2.6.1.1.- Ejemplos IlustrativosMultiplicar:3 221) 2a4a 8ab 4bSolución:AfirmacionesRazones3 222a4a 8ab 4bDatos del ejercicio3 2 33 2= 2a 4a 2a8ab 2a 4ba(b c) ab ac32313 2m n mn= 8a16ab 8aba a a5 4 3 2= 8a 16ab 8abOperando2aba2baba2) 2x x 4x 5xIntroducción al universo algebraico 53

Introducción al universo algebraico 54Solución:AfirmacionesRazonesabababaxxxx 54222Datos del ejercicio=abababababaxxxxxx 524222222acabcba )(=abababababaxxx22221082nmnmaaa=bababaxax323331082 Operando3) xxxxaaaa 3241232132Solución:AfirmacionesRazonesxxxxaaaa 3241232132Datos del ejercicio=xxxxxxaaaaaa 32214121232132 acabcba )(=xxxxxxaaa 32214121232132nmnmaaa= 643422332xxxxxxaaaSumandolosexponentes= 67432432xxxaaaTérminos semejantesen los exponentes=xxxaaa 6743232 Operando en losexponentes

Introducción al universo algebraico 554) babababaxxxx32233154924123Solución:AfirmacionesRazonesbabababaxxxx32233154924123 Datos del ejercicio=babababababaxxxxxx33223331542392234123 acabcba )(=babababababaxxx33223331524392234213 bdacdcbanmnmaaa=bababaxxx443526523183 Operando en losexponentes5) xxxxaaaa 25416123162541552Solución:AfirmacionesRazonesxxxxaaaa 25416123162541552 Datos del ejercicio=xxxxxxaaaaaa 2523412361235216255241552 acabcba )(

=3 13 1 3 5215xx 225 xx 2 xx2 62 4 2 2a a a545169xx6xx3x5x3 5 2642=a23a23= a2 a a8 57x8x5 24 a a8 575 x 24 4x a a8 510x=625x35abamcd anacbd amnMultiplicandosumandoTérminossemejantesyOperando en losexponentes6) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo enforma algebraica, y en forma numérica para x = 2Solución:a) Cálculo del perímetroAfirmacionesRazonesForma algebraicaPerímetro = P =base+altura) Definición de PerímetroP = 2(2x ) ( x 1)Reemplazando valoresP = 22x x 1Suprimiendo paréntesisP = 23x 1Términos semejantesP = 6x 2MultiplicandoIntroducción al universo algebraico 56

Forma numéricaP = 62 2Reemplazando x =2en la forma algebraicaP = 12 2MultiplicandoP = 14 unidadesTérminos semejantesb) Cálculo del áreaAfirmacionesRazonesForma algebraicaÁrea = A =base x alturaDefinición de PerímetroA = 2x x1Reemplazando valoresA = 2x 2 2xMultiplicandoForma numéricaA = 222 22Reemplazando x = 2en la forma algebraicaA = 24 222 2 = 4A = 8 4MultiplicandoA = 12 unidades cuadradasTérminos semejantes2.6.1.2.- Ejercicios de RefuerzoMultiplicar:4 3 21) 3a(2a 3a 4a)S =mn2mmn2n2) 4x(2x 4x x ) S =2 4 1 1a a a a3 3 6 93) m 3 m 2m m S =7 6 56a 9a12a8x3mn 16x2m2n 4x5 7a a2a6 9m 2mm3 m3nIntroducción al universo algebraico 57

1 5 3 3m m m m4 2 4 84) x 2 x 4x 5x S = 2 3 51 13 x 2 x 6 x x2 42 65) a a a a 4 3 15 1 55 22 a 9 a 15 a a3 36 36) x x x x 3 4 8 0,4x1,2 x0,8x0,6x7) 0,5m1,2m 0,2m m 0,2m0,8mm 1,2m8) 1,4x x 0,6x 0,4xS =S =S =S =12115mm4 m 8x 4x5x115x 3x2x343a a a1073 a2a56x2 x4863 x 1 x55m575 m106215 x15234xa1 m214 x257mmm5xCalcular el perímetro y el área de las siguientes figuras enforma algebraica, y en forma numérica para x = 29)xR: P = 6 2 3 2a 2 ; P = 22 ; A = 6a 4a 2a; A = 2810)R: P = 4 2 3 2a 8a 4; P = 28 ; A = 6a 3a 6a; A = 48Introducción al universo algebraico 58

2.6.2.- Multiplicación de Polinomios por PolinomiosSe multiplica cada término del multiplicando por todos y cadauno de los términos del multiplicador.2.6.2.1.- Ejemplos IlustrativosMultiplicar:1)a22 2ab b porb3 2ab a2Solución: Se escribe los polinomios ordenados dejando libre elespacio del término que no existe2a + 2 ab + b22a - 2 ab+ b34a + 2 a 3 b + a2 b 2- 2 a 3 b2 2- 4a b - 2ab4a -2 b3a 2 b 34+ 2ab + b52a23- 2ab + a 2 b 34+ 2ab + b52)n5xyyn12 n23 x y 2xporxn1y2n n232xy 4xySolución:5 x n y -2 x n y +10 y2 2x n -10 y2 2x n +x n 1 y 22 3+ 2x n yx n 1 y 22 3+ 4x n y2 y2 1 3x n 2 2 4+ 4x n y2 1 3+ 5x n 2 2 4y - x n 2 3y + 2x n y3 y2 1 3x n +20 y2 2 4x n -23 y2 2 4x n -4 y52 3 5x n 2 4 6+ 8x n y2 y2 3 5x n 2 4 6+ 8x n yIntroducción al universo algebraico 59

3)9 4n6 2n4 nx x x por45323xn32x3n13x2nSolución:815815x 5nx 5n43x 3n+9 x 4n + x 3n-1083x 4n + x 3n922- x 3n9161 41+ x 4n + x 3n90 189+42x 2n5155+33-8131+120x 2nx 2nx 2nx 2nx 2n++522nxnx31-35-123-nxnxnx41- 21- 61+ 121+ 124) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo enforma algebraica, y en forma numérica para x = 2Solución:a) Cálculo del perímetroIntroducción al universo algebraico 60

AfirmacionesRazonesForma algebraicaPerímetro = P =base+altura) Definición de Perímetro2P = 2 (x 2x 4) ( x 2) Reemplazando valoresP = 2x 2 4 22 x x Suprimiendo paréntesisP = 2x 2 x 6Términos semejantesP = 2x 2 2x12MultiplicandoForma numéricaP = 2(2)2 2(2) 12Reemplazando x = 2en la forma algebraicaP = 2 4 22 12OperandoP = 8 4 12MultiplicandoP = 16Términos semejantesb) Cálculo del áreaAfirmacionesRazonesForma algebraicaÁrea = A =base x alturaDefinición de Perímetro2A = x 2x 4 x 2Reemplazando valores3 2 2A = x 2x 2x 4x 4x 8 a(b c) ab acA = x 3 8Términos semejantesForma numéricaA = (2) 3 8Reemplazando x = 2en la forma algebraicaA = 8 8OperandoA = 16Términos semejantesIntroducción al universo algebraico 61

2.6.2.2.- Ejercicios de RefuerzoMultiplicar:1) 2m 2 3m 4 por 7 5m3 2S = 10m 15m 20m3 22) 2a 3a 2 por25a 3aS =5 4 3 26a 19a15a 6a10a2 22 23) 6b 2a 5abpor 3a 4b 2ab4 33S = 6a 11ab 32ab 24b4) 2a b 3cpor a 3b 4c22S = 2a 7ab 5ac 3b 5bc12c425)a2a a1x 4x 2xpor x 2 2xS =xa4 4xa3 8xa16)x2x x1x1a 3a a a pora aax 1 x x 1 4 S =a2x3 6a2x11a2x1 4a2x27)13x21 1 2 xy y por 3 2 1 1x y2 xy52442S =144 19x x603y 47120x2y215xy318y4Introducción al universo algebraico 62

2 3 1 2 1 28) a ab a b por7 2 55b622 ab 314a2S =114a51014204a b 139280a3b212a2b3512ab49) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo enforma algebraica, y en forma numérica para x = 2S: P = 4 2 4 3 2x 6x 6; P=22; A = x 3x x 4x 2 ; A=3010) Calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo enforma algebraica, y en forma numérica para x = 4S: P = 3 31 x 2 x 6 ; P=24; A=4 5 3 11 2x x x x 2 ; A=322 28 16 8Introducción al universo algebraico 63

2.7.- DIVISIÓN ALGEBRAICALa división algebraica es una operación inversa a lamultiplicación a través de la cual a partir de dos cantidadesllamadas dividendo y divisor se halla una tercera cantidad,llamada cociente.La división se fundamenta en la propiedad distributivaa b c a b a cy propiedades de los exponentes dem n mnpotencias de igual base a a a .2.7.1.- División de Polinomios por MonomiosSe divide cada uno de los términos del polinomio (dividendo)por el monomio (divisor)2.7.1.1.- Ejemplos IlustrativosDividir:1)4 3 2 2 34xy 6xy 8xyentre 2xySolución: Antes de comenzar a dividir, el polinomio debe estarordenado en forma decreciente4 x 4 y -6 y3 2x +2 3x 2 xy8 y- 4 x 4 y03 2- 6x y2+ 8xy3 2+ 6xy02+ 8xy2-8xy033332x - x 2 y3 + 4xyIntroducción al universo algebraico 642

2)m2m1a 3a 6amentrem1aSolución:m2a -m23 6- a0m1-3a + 6m1+ 3a0 + 6 a- 6 a0m1a +mamammm1a32a -3a + 6 a3)5 a 2 a1m m entre2 31 a 3m2Solución:2 a1m -32 a 1m30-3 am4343am+40am4 a 1- m54 a 1- m54 a 1- m54 a 1+ m501 a 3m24 4 3 m -3 8 m - m23 2 5Introducción al universo algebraico 65

2.7.1.2.- Ejercicios de RefuerzoDividir:3 2 21) 3m 9mn 6mn entre 3 mS =m2 2mn 3n232 22) 6a 20ab 8ab entre 2aS =223a 4ab10b3)6 6 8 8 4 88xy 4xy 16xy entre3 44xyS =x53 2 42xy 4xy4)229mn 3mn 24mnentre 3 mnS = 3m 8n12 25) a b 5ab 2 entre abS =ab 5 2a13 26) 2x x 2x 4 entre2xS =2x12x 1 4x27)x3y32 2 6xy 2 4xy entre xyS =x2 4xy 6y2 2x1y13 3 2 28) m n 3mn 4mn 5 entreS =m2 n 2mn 34m1m1 5m2m29) 12ma 3ma 2 6ma4entre3 3mS = 2ma 1 ma 1 4ma 3Introducción al universo algebraico 66

Introducción al universo algebraico 6710)11256xxxxaaaa entrex2aS =aaaa2345611)2211362bababanmnmnm entre432 nmS =615243233bababanmnmnm12)2234833241yxyxx entre241 x S =222338yxyx13) bababab3224343322165 entre b65S =32235354109yabbaa14)nnnxxx354332 11entre261 nxS =xxx291042315)1211545632 yxyxyxnmnmnm entre2352nmS =yxyxyxnmnmnm413223235

2.7.2.- División entre PolinomiosPara dividir un polinomio por otro polinomio, se sugiere elsiguiente procedimiento:- Ordenar los polinomios en forma decreciente.-Cuando el polinomio dividendo no es completo se reemplazanlos correspondientes términos faltantes con variables quetengan coeficientes cero o se deja los espacios, tanto en eldividendo como en el divisor.- Dividir el primer término del dividendo para el primertérmino del divisor.- Cuando los coeficientes del dividendo no son divisibles porlos coeficientes del divisor, los cocientes respectivos seescriben en forma fraccionaria- El primer término del cociente se multiplica por cada uno delos términos del divisor y el producto (con signos opuestos) seresta de los términos semejantes del dividendo, obteniendo asíel primer resto parcial.- El primer término del resto parcial se divide por el primertérmino del divisor y se obtiene el segundo término delcociente.- El proceso se repite hasta que el residuo sea cero o de menorgrado que el divisor.Introducción al universo algebraico 68

2.7.2.1.- Ejemplos IlustrativosDividir:1)22aa2 12 14entre 7a 3214a 22 a -12 7 a 32-14a6 a2 a + 40 28 a -12- 28 a +120 02)7mm3 4 3 m 2 entre 3 2m3m- 2m3-3m03- 4m+ 7 m3+ 4m2+ 6m026m + 7 m2- 6m -9m0 - 2 m -3+ 2 m +30 042m -4+ 7 m -3 2 m + 33m -2m2+ 3 m -12.7.2.2.- Ejercicios de RefuerzoDividir:1) 5x x 2 6 entre x 2S = x 3Introducción al universo algebraico 69

2) a42 a 3 9aentre 3 aS = a3 3a2 12 53) 10 12m 5m 3mentre m2 2S = 3m2 6m 54)x42 2x1x entrex 1x22S = x x 15) a2 22 b 2bc c entre a b cS =a b c2n2nn n6) a b 2ab entrena bnS =na bn7)x2n32n22n14x x 2x2nentren1nx xn2n1S = x 3x 2xn8)22n12n22n42n32n5n 3 1a 4a 2a 3a a entre na 2an2n1nS =a 2 a a9)710ab13132 2 a b entre a b1 5 3 62S = a b5Introducción al universo algebraico 70

10)536xy16162 2 y x entre a b1 1 2 3S = 1 1a b3 211)2ab32383536132 3 3 23 2 3 b a b a entre a bS =12a21 1 ab b3 421 3 5 2 3 5 212) x xy y x y entre 1 3x y16 3 8 4 21S = x42 xy 23y24 313) El área del paralelogramo es 2 x 3x x . Calcular elpolinomio que representa la base b.S: b = 2x2 x 1Introducción al universo algebraico 71

1 4 5 3 11 214) El área del rectángulo es x x x x 2 .8 16 8Calcular el polinomio que representa la altura h.S: h = 1 1 x 2 x 24 25 4 95 3 599 2 227 7715) El área del trapecio es x x x x .36 432 432 144 48Calcular el polinomio que representa la altura h.S: h =1 1 11x 2 x 3 12 4Introducción al universo algebraico 72

2.8.- PRODUCTOS NOTABLESSe llaman productos notables a ciertos productos que cumplenreglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simpleinspección, es decir, sin verificar la multiplicación.2.8.1.- Cuadrado de un Binomio:2 22( a b) a 2ab bEjemplos ilustrativos:1)( a b)2 ( a b)(a b)2 22( a b) a ab ab b2 22( a b) a 2ab bEl cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadradode la primera cantidad, más el doble producto de la primerapor la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda2 22cantidad: ( a b) a 2ab b1)( a b)2 ( a b)(a b)2 22( a b) a ab ab b2 22( a b) a 2ab bEl cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual alcuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto dela primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la2 22segunda cantidad: ( a b) a 2ab bIntroducción al universo algebraico 73

2.8.2.- Cubo de un Binomio:3 3 2 2 3( a b) a 3ab 3ab bEjemplos ilustrativos:1)( a b)( a b)33 ( a b)(a b)(a b) ( a2 2ab b2)( a b)3 3 2 2 22 3( a b) a 2ab ab a b 2ab b3 3 2 2 3( a b) a 3ab 3ab bEl cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de laprimera cantidad, más el triple producto del cuadrado de laprimera por la segunda, más el triple producto de la primerapor el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda3 3 2 2 3cantidad: ( a b) a 3ab 3ab b2)( a b)( a b)33 ( a b)(a b)(a b) ( a2 2ab b2)( a b)3 3 2 2 22 3( a b) a 2ab ab a b 2ab b3 3 2 2 3( a b) a 3ab 3ab bEl cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo dela primera cantidad, menos el triple producto del cuadrado dela primera por la segunda, más el triple producto de laprimera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la3 3 2 2 3segunda cantidad: ( a b) a 3ab 3ab bIntroducción al universo algebraico 74

2.8.3.- Cuadrado de un Polinomio:Ejemplo ilustrativo:2( a b c) ( a b c)(a b c)2 222( a b c) a ab ac ab b bc ac bc c2 2 2 2( a b c) a b c 2ab 2ac 2bcEl cuadrado de un polinomio es igual a la suma de loscuadrados de cada una de las cantidades, más el dobleproducto de cada cantidad por cada una de las demáscantidades.2.8.4.- Producto de la Suma por la Diferencia de dos2 2Cantidades: ( a b)(a b) a bEjemplo ilustrativo:2( a b)(a b) a ab ab b2 2( a b)(a b) a bEl producto de la suma de dos cantidades por la diferencia delas mismas es igual al cuadrado de la primera cantidad, menosel cuadrado de la segunda cantidad.22.8.5.- Producto de dos Binomios que tienen un TérminoComún:Ejemplo ilustrativo:2( a 3)( a 2) a 2a 3a 62( a 3)( a 2) a 5a 6El producto de dos binomios que tienen un término común esigual al producto de los términos comunes, más la sumaalgebraica de los términos intermedios y de los términosextremos, más el producto de los términos no comunes.Introducción al universo algebraico 75

2.8.6.- Ejercicios de Refuerzo1) Unir con líneas cada producto notable con su nombrecorrecto:Producto Notable: Nombre:2( a 3)-Cuadrado de un binomio3( a 2)-Cuadrado de un polinomio( a 2)( a 3)-Producto de la suma por ladiferencia de dos cantidades2( a b 2)-Producto de dos binomios quetienen un término Común( a 2)( a 2)-Cubo de un binomio2) Unir con líneas cada ejercicio con su respectiva solución:Ejercicios:2 3( 3a 2a)2( a 3b)332( a 3)a2 4Solución:22a 3ab 9b6 4 2 6 927a 54a 36ab 8b32a a 2a 1a 2)( a 3)6 42 2 3( 2)( a 9ab 27ab 27b2( a 1)a3 6a2 12a 8( 2a 1)(a 1)2a a 6( a 2)( a 2)2a2 a 1( 2a 3b)(a 3b)2a 6a 92( ab 3)2 2a b 6ab 93) Plantear y resolver 5 ejercicios de cada clase de productonotable.2Introducción al universo algebraico 76

2.9.- TEOREMA DEL BINOMIOEl producto de un binomio elevado a cualquier potencia puedeser obtenido directamente mediante la aplicación del teoremadel binomio, cuya ley de los coeficientes se representa en elTriángulo de Pascal, también conocido como triángulo deTartaglia.2.9.1.- Regla para elevar un binomio a cualquier potenciaSe sigue el siguiente procedimiento:- El número de términos del producto de la potencia es igual alnúmero que representa el exponente del binomio, aumentadoen uno.- Los exponentes del primero y último términos del productoson iguales al exponente del binomio.- Los exponentes de la parte literal correspondiente al primertérmino van disminuyendo de uno en uno y los exponentes dela parte literal del segundo término van aumentando de uno enuno.- Cuando los dos términos del binomio son positivos, todos lostérminos del producto son positivos. Cuando el segundotérmino del binomio es negativo, los signos del producto sealternan con más y menos- Los coeficientes de los términos del producto aumentan ydisminuyen de acuerdo a las relaciones que se indican en elsiguiente esquema conocido con el nombre de ―Triángulo dePascal‖. Este triángulo tiene como segunda fila dos 1. Para lasdemás filas, la suma de cada par de números adyacentes de lafila anterior se ubica por debajo de ellos. Se añade un 1 en cadaIntroducción al universo algebraico 77

extremo. Los números que se obtienen son los coeficientes queaparecen al multiplicar (a b) por sí mismo, así por ejemplo:(a b) 0 = 1 1(a b) 1 = a b 1 1(a b) 2 = a 2 2ab b 2 1 2 1(a b) 3 = a 3 3a 3 b 3ab 2 b 3 1 3 3 1(a b) 4 = a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 1 4 6 4 1(a b) 5 = a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5 1 5 10 10 5 1(a b) 6 = a 6 6a 5 b 15a 4 b 2 20a 3 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6 1 6 15 20 15 6 12.9.2.- Ejemplo ilustrativo: Desarrollar ( a 2b)Solución:a) Se forma el triángulo de Pascal hasta 611 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1b) Se toma los coeficientes de la última fila y se aplica la reglasugerida anteriormente.(a+2b) 6 = 1(a) 6 +6(a) 5 (2b) 1 +15(a) 4 (2b) 2 +20(a) 3 (2b) 3 +15(a) 2 (2b) 4+6(a) 1 (2b) 5 +1(2b) 6(a+2b) 6 = a 6 +6(a 5 )(2b) +15(a 4 )(4b 2 ) +20(a 3 )(8b 3 ) +15(a 2 )(16b 4 )+6(a)(32b 5 ) +64b 6(a+2b) 6 = a 6 +12a 5 b +60a 4 b 2 +160a 3 b 3 +240a 2 b 4 +192ab 5 +64b 6Introducción al universo algebraico 786

2.9.3.- Datos biográficos de PascalBlaise Pascal (1623-1662), matemáticofilósofo, científico y físico francés,considerado una de las mentes privilegiadas dela historia intelectual de Occidente.Nació en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familiase estableció en París en 1629. Pascal fue uno de los máseminentes matemáticos y físicos de su época y uno de los másgrandes escritores místicos de la literatura cristiana. Sustrabajos religiosos se caracterizan por su especulación sobrematerias que sobrepasan la comprensión humana. Pascalargumentaba que es razonable tener fe, aunque nadie puedademostrar la existencia o inexistencia de Dios; los beneficiosde creer en Dios, si efectivamente existe, superan con mucholas desventajas de dicha creencia en caso de que sea falsa.En 1642 inventó la primera máquina de calcular mecánica.Pascal creía que el progreso humano se estimulaba con laacumulación de los descubrimientos científicos. (Biblioteca deConsulta Microsoft Encarta)Actividad: Realizar un comentario sobre los datos biográficosde Pascal2.9.2.- Ejercicios de RefuerzoDesarrollar:1)4( a 2)4 3 2S = a 8a 24a 32a16Introducción al universo algebraico 79

Introducción al universo algebraico 802)4( 3)xS = 811085412234xxxx3)6( 3)aS = 729145812155401351823456aaaaaa4)632)( ba S =1815212496683101261520156 bbababababaa5)53221 baS =1512294663810252545165321bbabababaa6)5223221baS =108264462810243328140272095245321bbabababaa

2.10.- COCIENTES NOTABLESSe llaman cocientes notables a ciertos cocientes de usofrecuente que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritospor simple inspección, es decir, sin verificar la división.2.10.1.- Diferencia de Potencias Iguales para la Diferencian na b n1n2n1de sus raíces: a a b ... ba bLa diferencia de potencias, pares o impares, iguales para ladiferencia de sus raíces son positivos todos los términos delcociente.Ejemplos ilustrativos:1)2a ba b2 a21 b21 a1 b1a2 ba b 2 a bLa diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida porla diferencia de sus raíces es igual a la suma de sus raíces.2)3a ba b3 a31 a32b b323a ba b3 a2 ab b2La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por ladiferencia de sus raíces es igual al cuadrado de la primeraraíz, más el producto de la primera por la segunda raíz, más elcuadrado de la segunda raíz.Introducción al universo algebraico 81

3)5a ba b5 a51 a52b a53b53 ab52 b515a ba b5 a43 2 a b a b2 ab3 b44)5a 32a 2 a4 a3(2) a2(2)2 a(2)3 (2)45a 32 4 3 a 2a 4a2 8a16a 22.10.2.- Diferencia de Potencias Iguales Pares para la Suman na b n1n2n1de sus raíces: a a b ... ba bEjemplo ilustrativo:1)2a ba b2 a21 b21 a1 b1a2 ba b 2 a bLa diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida porla suma de sus raíces es igual a la diferencia de sus raíces.2a 42) a 2a 22( a b) 93) ( a b) 3 a b 3( a b) 3Introducción al universo algebraico 82

2.10.3.- Suma de Potencias Iguales Impares para la Suman na b n1n2n1de sus raíces: a a b ... ba bEjemplos ilustrativos:2)3a ba b3 a31 a32b b323a ba b3 a2 ab b2La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la sumade sus raíces es igual al cuadrado de la primera raíz, menos elproducto de la primera por la segunda raíz, más el cuadradode la segunda raíz.2)5a ba b5 a51 a52b a53b53 ab52 b515a ba b5 a43 2 a b a b2 ab3 b43)5a 32a 2 a4 a3(2) a2(2)2 a(2)3 (2)45a 32 4 3 a 2a 4a2 8a16a 22.10.4.- Ejercicios de RefuerzoHallar, por simple inspección, el cociente de:Introducción al universo algebraico 83

225 36aS = 5 6a1)5 6a321aS = 1a a2)1a52 3 41 aS = 1a a a a3)1 a54 3 2a 243S = a 3a 9a 27a 814)a 34a 16S = a3 2a2 4a85)a 24a 256S = a3 4a2 16a646)a 44a 625S = a3 5a2 25a1257)a 564 227a 1S = 9a 3a18)23a1224a ( a b)S = a b9)2a ( a b)22( a b) ( b 2) S = a 210)( a b) ( b 2)9 96 3 3 68a bS = 4a 2ab b11)3 32a b694 2 364a 343bS = 16a 28ab 49b12)2 34a 7b332 2( a b) ( a b)S = 3a b13)( a b) ( a b)332( a 1) ( a 2) S = a a 714)( a 1) ( a 2)9Introducción al universo algebraico 84

CAPÍTULO IIIECUACIONES E INECUACIONES3.1.- ECUACIONESMuchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a travésde una relación de igualdad, llamada ecuación. Las ecuacionestienen aplicación en todas las ramas de la Matemática y de lasciencias en general, por lo que su estudio es de sumaimportancia.3.1.1.- Definición.- Ecuación es una igualdad entre dosexpresiones algebraicas, que solo se verifica para ciertosvalores determinados.En el caso de x 5 7 , la igualdad se cumple si y sólo si x vale2, por lo tanto es una ecuación.2 22En la caso de ( x 5) x 2( x 5) 5 , la igualdad se cumplepara cualquier valor de x, por lo tanto no es una ecuación. Eneste caso de trata de una identidad. La identidad también esuna igualdad entre dos expresiones algebraicas al igual que unaecuación, pero que se verifica para cualquier valor.Las igualdades de los productos y cocientes notables,estudiadas en el capítulo anterior, son identidades.3.1.2.- Términos de una Ecuación.-Son cada una de lascantidades que están conectadas por los signos + ó -

El primer miembro corresponde a toda la expresión que estáantes del signo =.El segundo miembro corresponde a toda la expresión que estádespués del signo =Los términos 5 y 7 que no están acompañados de letras sellaman términos independientes.La letra o letras presentes en la ecuación se llaman incógnitaso valores desconocidos3.1.3.- Grado de una Ecuación.- El grado de una ecuaciónestá dado por el mayor exponente de la incógnita.La ecuación 4x 3 2x 5 es una ecuación de primer gradoo lineal, ya que el mayor exponente de x es l.2La ecuación x 5x 6 0 es una ecuación de segundogrado o cuadrática, ya que el mayor exponente de x es 2Ecuaciones e Inecuaciones 86

3.1.4.- Solución de una Ecuación.- Es averiguar el valor o losvalores de la incógnita. Este valor se llama raíz.Para encontrar la solución o raíz de una ecuación se despeja laincógnita mediante la transposición de términos conoperación contraria (Si está sumando pasa al otro miembro dela ecuación a restar o viceversa, si está multiplicando pasa alotro miembro a dividir o viceversa.)El principio de la transposición de términos se fundamenta enlas siguientes propiedades de las igualdades:- Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta unamisma cantidad, la igualdad subsiste.- Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican odividen una misma cantidad, la igualdad subsiste.-Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una mismapotencia o se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.3.1.5.- Ejemplos ilustrativosa) Calcular la solución de las siguientes ecuaciones1) 4x 3 2x 5a) Solución:AfirmacionesRazones4x 3 2x 5Ecuación inicial4x 2x 5 3Transposición de términos2x 8Términos semejantesEcuaciones e Inecuaciones 87

8x 2Trasponiendo el 2x 4Operandoa) Comprobación:AfirmacionesRazones4x 3 2x 5Ecuación inicial4(4) 3 2(4) 5 Reemplazando el valor encontrado(x = 4) en la ecuación inicial16 3 8 5Multiplicando13 13Términos semejantesComo la cantidad que se obtuvo en el primer miembro es iguala la cantidad que se obtuvo en el segundo miembro, quedacomprobado que la solución de la ecuación es correcta.2) 2x 7 4x13a) Solución:AfirmacionesRazones2x 7 4x13Ecuación inicial2x 4x 13 7Transposición de términos 2x 20Términos semejantes2x 20Cambiando de signo a todos lostérminos de la ecuación.Nota: Cuando la incógnita queda con signo negativo, esaconsejable cambiar de signo a todos términos de la ecuación.Ecuaciones e Inecuaciones 88

20x 2Trasponiendo el 2x 10Operandoa) Comprobación:AfirmacionesRazones2x 7 4x13Ecuación inicial2( 10) 7 4( 10)13Reemplazando el valor encontradoen la ecuación inicial 20 7 4013Multiplicando 27 27Términos semejantes3) 43x (5x 8) 20 4xa) Solución:Afirmaciones3x (5x 8) 20 4x3x 5x 8 20 4x 2x 8 20 4xRazones4 Ecuación inicial4 Supresión del paréntesis4 Términos semejantes 8x 32 20 4x Supresión del corchete 8x 4x 20 32 Transposición de términos 4x 12Términos semejantes4 12 x Cambiando de signo a todos lostérminos de la ecuación.Ecuaciones e Inecuaciones 89

12x 4Trasponiendo el 4x 3Operandob) Comprobación:Afirmaciones3x (5x 8) 20 4x33 (53 8) 20 4 3Razones4 Ecuación inicial4 Reemplazando el valor encontradoen la ecuación inicial49 (15 8) 20 12Multiplicando915 8 20 1242 8Términos semejantes4 Supresión del paréntesis8 8Operando224) (3x 7) 5(2x1)(x 2) x ( 3x1)a) Solución:AfirmacionesRazones22(3x 7) 5(2x1)(x 2) x ( 3x1)Ecuación inicial2229x 42x 49 5(2x 3x 2) x ( 3x1)Productos notables2229x 42x 49 10x15x10 x3x1Supresión de paréntesis2229x 42x10x15x x 3x149 10Transposición de térm. 30x 58Términos semejantes30x 58Cambiando de signoEcuaciones e Inecuaciones 90

58x 3029x 15Transponiendo el 30SimplificandoNota: La comprobación queda como tarea para el estudiante3x1 x5) 15 20 4Solución:Afirmaciones3x5120x 143 x x 15 412012x 5x20 120 207x202120217x .2020RazonesEcuación inicialTransposición de términosTérminos semejantesTérminos semejantesTransponiendo el 207x 21Simplificando el 2021x 7Transponiendo el 7x 3OperandoEcuaciones e Inecuaciones 91

xx 1 x 6) 7 x 3 10 22 1030 Solución:Afirmaciones xx 7 x 3 10 22 x x x7 x 3 12 2 3x x x x 3 172 2 3 6x 3x 3x 2x 56110x 30RazonesEcuación inicialSupresión de paréntesisTransposición de términosTérminos semejantes2x Transponiendo el 20 562x6x3 55Cambiando de signoSimplificandox 53Transponiendo el 3x 15Operandob) Resolver los siguientes problemas1) El duplo de un número es igual al número aumentado en 10.Hallar el númeroEcuaciones e Inecuaciones 92

Solución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemático, a través del simbolismo algebraico, para lo cual serequiere alcanzar destreza en el manejo del siguientesimbolismo:EnunciadosUn número cualquieraEl duplo de un númeroSimbolismox2 xEl tercio de un número x / 3El cuadrado de un número2xUn número aumentado en 3 x 3Un número disminuido en 1 x 1El duplo de un número disminuido en 1 2x1El cuadrado de un número menos el número2x xEl 7% de un número 7 / 100Tres números consecutivos x , x 1,x 2Tres números pares consecutivos 2x,2x 2,2x 4Tres números impares consecutivos x , x 2, x 4El duplo de un número = 2x, Número aumentado en 10 = x+10b) Se plantea la ecuación: 2x x 10Ecuaciones e Inecuaciones 93

c) Se resuelve la ecuación2x x 10 2x x 10 x 10d) Se realiza la comprobación. Cuando se trata de problemasque se resuelven con ecuaciones, la comprobación se hace enbase a los resultados obtenidos.Se evidencia que 10 es el número que cumple las condicionesdel presente problema.2) La suma de dos números es 10 y su diferencia es 4. Hallarlos númerosSolución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemáticox = primer número, 10 x = segundo númerob) Se plantea la ecuación: x ( 10 x) 4c) Se resuelve la ecuaciónx ( 10 x) 4 x 10 x 4 x x 4 10142x 14 x x 7 (1er. número)2Como10 x = segundo número 10 7 3 (2do. número)Ecuaciones e Inecuaciones 94

3) Hallar tres números impares consecutivos es cuya suma es45.Solución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemáticox = 1er. número, x 2= 2do. Número, x 4= 3er. númerob) Se plantea la ecuación: x ( x 2) ( x 4) 45c) Se resuelve la ecuaciónx ( x 2) ( x 4) 45 x x 2 x 4 4539x x x 45 2 4 3x 39 x x 13 (1er número)32do número = x 22do número = 13 2 153er número = x 43er número = 13 4 174) En un curso de 30 estudiantes hay 10 hombres más quemujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?Solución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemáticox = número de mujeres, x 10= número de hombresb) Se plantea la ecuación: x x 10 30Ecuaciones e Inecuaciones 95

c) Se resuelve la ecuación20x x 10 30 x x 30 10 2x 20 x 2x 10 (Nº de mujeres)Nº de hombres = x 10 Nº de hombres = 10 10 =205) El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 30 m.Si el largo se aumenta en 10 m y el ancho se disminuye en 6mel área no varía. Hallar el área del terreno.Solución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemáticoPrimera condición:x = anchoSegunda condición:x 6m= anchox 30m = largo ( x 30m)10m= largob) Se plantea la ecuación: x ( x 30) x 6(x 30) 10c) Se resuelve la ecuaciónx 6(x 30) 10x ( x 30) Ecuaciones e Inecuaciones 96

22x 30x x 6x 30 10 x 30x x 6x 402222x 30x x 34x 240 x 30x x 34x 240240 4x 240 4x 240 x x 60 4Ancho =Largo =60 mx 30m Largo = 60m 30m 90mÁrea = Largo x ancho =90m60m 5400m23.1.6.- Ejercicios de Refuerzoa) Resolver las siguientes ecuaciones y realizar la respectivacomprobación1) 2x 25 4x 5x = 102) 21 8x 27 6xx = 33) 7x 5 16 x 11x x 3x = 74) 5x 7x102 65x 6x 81x = -35) 15x 6x ( x 3) ( x 2) 10x = 16) 8 ( 5x 9) 3x 5x ( x 3) x x = 17) 71(3 4) (4x 3) 25 5x ( 2x 3) x x = 328) ( x 2) ( x 2)( x 1) 2 3( x 4)( x 3) x(x 3)x = 422 29) 5( x 2) 5( x 3) 10x (2x1)(5x 2)S:x = - 179Ecuaciones e Inecuaciones 97

2210) 5(1 x ) x(x 3) 2 6( x 3x 7) 2x(x 5)x = - 37x 7 2x711) 3xx = -10 4 51012)13)5xx x 2 122x3163x 21614x 1 x 2 x 3 x14) 12 2 3 3 4 4 5x = - 192x = 75x = 101x 2x x 11 1 x 1x = - 215) 2 3 2 22 3 3 3x x x 1x x 1 x16) 32 4 22 4 2 2x 2x 3 xx x x 117) 2 3 2 33 2 3 3x = 4911x = 418) 1 x2 x 1 5 2 5 10xx = -33 23 4 4 3 x 12 5x3x = 434 174 1719) 2x1 x 2020) 2 x 11 3 1 2x 2xx 3 6 34 8 8 x = 197Ecuaciones e Inecuaciones 98

) Resolver los siguientes problemas1) El duplo de un número es igual al número aumentado en 20.Hallar el númeroS = 202) El triple de un número es igual al número aumentado en 8.Hallar el númeroS = 43) El duplo de un número disminuido en uno es igual alnúmero aumentado en 3. Hallar el númeroS = 44) El triple de un número disminuido en dos es igual al duplodel número aumentado en 3. Hallar el númeroS = 55) La suma de dos números es 20 y su diferencia es 10. Hallarlos númerosS = 15 y 56) La suma de dos números es 15 y su diferencia es 11. Hallarlos númerosS = 13 y 27) Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 27S = 13 y 148) Hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 50S = 24 y 26Ecuaciones e Inecuaciones 99

9) Hallar tres números impares consecutivos cuya suma sea 15S = 3, 5 y 710) Hallar tres números pares consecutivos cuya suma sea 24S = 6, 8 y 1011) En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si lashabitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero.¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?S: 1er piso = 32 habitaciones, 2do piso = 16 habitaciones12) En una competencia atlética de resistencia en la queparticipan 80 deportistas el número que llegan a la meta es 4veces el número de los que no llegan. ¿Cuántos llegan ycuántos nos llegan a la meta?S = Llegan 64; no llegan 1613) Anita tiene tres veces el número de manzanas que suhermano y entre los dos tienen 48 manzanas. ¿Cuántasmanzanas tienen cada uno?S: Anita= 36 manzanas ; hermano = 12 manzanas14) La suma de las edades de un padre y su hijo es 78 años y laedad del padre es el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edadde cada uno?S: Hijo = 26 años; padre = 52 años15) En un curso de 47 estudiantes hay 9 hombres más quemujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?S = 19 mujeres y 28 hombresEcuaciones e Inecuaciones 100

16) En un estacionamiento hay 100 vehículos entreautomóviles y camiones, si hay 38 automóviles más quecamiones. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay?S = 31 camiones y 69 automóviles17) Un terreno rectangular tiene de largo el doble que su ancho,si el perímetro es 24m. ¿Cuál es el largo del terreno?S = 8 m18) Un patio rectangular tiene de largo el triple que su ancho, siel perímetro es 56 m. ¿Cuál es el largo del patio?S = 21 m19) Un rectángulo tiene de largo 6m más que su ancho, si elperímetro es 40m. ¿Cuál es el largo del rectángulo?S = 13 m20) Un terreno rectangular tiene de ancho 5 m menos que sulargo, si el perímetro es 70m. ¿Cuál es área del terreno?S = 300 m 221) El perímetro de un triángulo es 26 m. El lado ―b‖ mide 2mmás que el lado ―c‖ y el lado ―a‖ es el tercio del lado ―b‖.¿Cuánto mide cada lado del triángulo?S: a = 4 m, b = 12 m, c = 10 m22) El perímetro de un triángulo es 37 m. El lado ―b‖ mide 5mmás que el lado ―c‖ y el lado ―a‖ es el 80% del lado ―b‖.¿Cuánto mide cada lado del triángulo‖S: a = 12 m, b = 15 m, c = 10 mEcuaciones e Inecuaciones 101

23) Una habitación rectangular tiene doble largo que ancho. Siel largo se disminuye en 6m y el ancho se aumenta en 4 m, elárea de la habitación no varía. Hallar el perímetro de lahabitación.S: 72 m24) El largo de un rectángulo excede al ancho en 4 m. Si ellargo se aumenta en 5 m y el ancho se disminuye en 2m el áreano varía. Hallar el área del rectángulo.S = 60 m 225) Un terreno rectangular tiene 20 m más de largo que deancho. Si el largo tuviese 100 m más y el ancho 40m menos elárea no varía. Hallar el perímetro del terreno.S: 360 m26) Un rectángulo y un cuadrado tienen la misma área. El largodel rectángulo excede en 3 m al lado del cuadrado y su anchoes 2m menor que el lado del cuadrado. Hallar el área delrectángulo.S: 36 m 2Ecuaciones e Inecuaciones 102

3.2.- INECUACIONESAl sustituir la incógnita de dos expresiones algebraicas, porcualquier valor numérico, adquieren diferente valor, se formauna desigualdad. Las desigualdades son expresiones queindican que una cantidad es mayor o menor que otra. Lossignos de desigualdad son (mayor que), (menor que),(mayor o igual que) y (menor o igual que)Así 5 se lee 5 mayor que 2x > 2, se lee x mayor que 23.2.1.- Definición.- Las desigualdades en las que hay una omás incógnitas y que sólo se verifica para determinados valoresde las incógnitas se llaman inecuaciones.3.2.2.- Solución de una Inecuación.- Es averiguar los valoresde las incógnitas se satisfagan la inecuación. Este valor sellama raíz.Para encontrar la solución o raíz de una ecuación se despeja laincógnita mediante la transposición de términos conoperación contraria (Si está sumando pasa al otro miembro dela ecuación a restar o viceversa, si está multiplicando pasa alotro miembro a dividir o viceversa.)El principio de la transposición de términos se fundamenta enlas siguientes propiedades de las desigualdades:- Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta unamisma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.Ecuaciones e Inecuaciones 103

2x 2 x 2x 2 5 x 52x 2 x 2x 2 5 x 5- Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplican odividen una misma cantidad positiva, el signo de ladesigualdad no varía.2x 2 x ( 2x 2) 5 x 52x 2 x ( 2x 2) 5 x 5- Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplican odividen una misma cantidad negativa, el signo de ladesigualdad cambia.2x 2 x ( 2x 2)( 5) x (5)2x 2 x ( 2x 2) ( 5) x (5)- Si se cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambiade signo.2x 2 x x 2x 2- Si se invierten los miembros, la desigualdad cambia de signo2x 2 x 12x 21xEcuaciones e Inecuaciones 104

3.2.3.- Ejemplos Ilustrativos1) ( x 1)2 7 Solución:2( x 2)Afirmaciones( x 1)2 7 Razones2( x 2)Inecuación inicial22x 2x 17 x 4x 4 Productos notables22x 2x x 4x 4 17 Transposición de términos2 x 10 Términos semejantes10 Transponiendo el 6x 2x 5OperandoLa inecuación se cumple para todos los valores mayores de5, es decir, para x = 6, 7, 8, 9…+ Nota: Para indicar en el gráfico que no se toma en cuenta al 5(por la respuesta es x 5), se traza una circunferencia sin pintaren el númeroCada valor que sirve como solución para una inecuación sellama solución particular (El número 6, 7 o 8,.. del ejemplo) yel conjunto de soluciones se denomina solución general oconjunto solución (-x = 6, 7, 8, 9…+ del ejemplo.La solución de una inecuación se verifica al reemplazar, en lainecuación inicial, una de las soluciones particularesEcuaciones e Inecuaciones 105

2) 3(x 2) 2x(x 3) ( 2x1)(x 4)Solución:AfirmacionesRazones3(x 2) 2x(x 3) ( 2x 1)(x 4)Inecuación inicial3x 6 2x2 6x 2x 2 7x 4 Eliminando paréntesis223x 2x 6x 2x 7x 4 6 Transposición de términos2 x 2 Términos semejantesx 22 Transponiendo el 2x 1OperandoLa inecuación se cumple para todos los valores menores oiguales a 1, es decir, para x = -2,-1Nota: Para indicar en el gráfico que si se toma en cuenta al 1(por la respuesta es x ), se traza una circunferencia en elnúmero pintando su región interior.3x 1 2x3) 2 4 3 Solución:2x 4x1 3 3 2 Ecuaciones e Inecuaciones 106

Afirmaciones3x 1 2x 2 4 3 3 x 1 2 x 2 4 32x 4x1 3 3 2 2 x 4x 3 312RazonesInecuación inicialEliminando paréntesis3x2x2x4x1 1 Transposición de términos 2 3 3 3 2 43x 4x1 1Términos semejantes 2 3 2 49x 8x 2 16 4x 1 6 4Términos semejantesTérminos semejantes1 Transponiendo el 6x 643x 2OperandoLa inecuación se cumple para todos los valores mayores o33iguales a 1,5, es decir, para x = …+ 22Ecuaciones e Inecuaciones 107

2x1 x 135x 1 4) 3x 3 3 24 24 8 8 Solución:AfirmacionesRazones2x1 x 135x 5 Inecuación inicial 3x 3 3 24 248 8 2x313x 2413245x 82xx 5x5 1 3x 3 24 8 8 358 3x132416x x 15x 72x15 8 132424Eliminando paréntesisTransposición de términosTérminos semejantes72x 36 Términos semejantes 24 243 Simplificando 3x 233 x 2Cambiando de signo3x 2 3Transponiendo el 26 x 3Multiplicandox 1x 2 3Transponiendo el 66OperandoEcuaciones e Inecuaciones 108

La inecuación se cumple para todos los valores menores a1 , es decir, para x = -2, -1,25) Cuáles son los números que restados en 8 son mayores que10?Solución:a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguajematemático empleando el simbolismo algebraicox 8 = Números restados en 8b) Se plantea la ecuación: x 8 10c) Se resuelve la inecuaciónx 8 10 x 10 8 x 18La inecuación se cumple para todos los valores mayores a18, es decir, para x = 19, 20, 21,…+d) Se realiza la comprobación. Cuando se trata de problemasque se resuelven con inecuaciones, la comprobación se hace enbase a los resultados obtenidos.Se evidencia que 19, 20, 21,… cumplen las condiciones delproblema.Ecuaciones e Inecuaciones 109

3.2.4.- Ejercicios de Refuerzo1) ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos decampo. 2x 32) 2x 103)S:x 4x 53 x 73x 5x x 66 76 34) ( x 5)( x 4) ¡Error! No se pueden crear objetosmodificando códigos de campo.5) ( x 1)(x 2) 2 ( x 5)( x 4) 2813x 3x 216) 6(x 2 2) 3(5x 21) (2x 4)(3x 2) 6 x 77) ( x 1)2 2 ( x 2)2 9x 58)4 2 2x ( x 7) 34(x 2) (2x3)241x 609) Cuáles son los números que restados en 8 son mayores que30x 38 10) Cuáles son los números cuyos cuádruplos disminuidos en 5son mayores que 1015x 4Ecuaciones e Inecuaciones 110

CAPÍTULO IVLA REALIDAD OBSERVADA DESDE LOSPOLÍGONOS4.1.- DEFINICIÓN DE POLÍGONOEl estudio de los Polígonos (del griego poly = mucho; gonia =ángulo) corresponde a la Geometría (del griego geo = tierra;metrein = medir), y su importancia y aplicación es antigua ymúltiple que incluso Platón mandó a colocar en la puerta de suescuela el siguiente letrero: ―Nadie entra si no sabeGeometría‖. Esta ciencia ha recibido el aporte de grandessabios como Tales de Mileto, Platón, Pitágoras y otros que hancontribuido al conocimiento de la Geometría y dentro de ellade los polígonos y sus propiedades, que se estudiará en elpresente capítulo.Polígono es una porción de plano limitada por una líneapoligonal cerrada. Un polígono queda determinado por suslados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos,que son los que forman cada dos lados consecutivos. Elpolígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales se llamapolígono regular.Un polígono determina en el plano una región interior y unaexterior.La unión de un polígono y su región interior reciben el nombrede región poligonal.Se nombra a los polígonos con las letras de sus vértices. Lasletras en el polígono se ponen en sentido anti horario

4.2.- ELEMENTOS DE UN POLÍGONOEn un polígono como el siguiente ABCDEF se considerantambién estos elementos.RegióninteriorEFronteraRegiónexteriorDFa0lrACeBVérticeCircunferenciainscritaCircunferenciacircunscrita- Centro = 0. Es el punto que equidista (está a igual distancia)lde todos los vértices y lados.- Radio = r. Es la distancia entre el centro y cualquier vértice.En un polígono regular de lado ―l‖ y apotema ―a‖ se cumple:r2 a2Lado l 2 - Apotema = a. Línea que une el centro con el punto medio decualquier lado. Es perpendicular a los lados.- Ángulo interior.- Se llama ángulo interior o, simplemente,ángulo del polígono, al que forman dos lados consecutivos.Ejemplo: FAB. La suma de los ángulos interiores de unpolígono de n lados es 180º(n – 2).2La realidad observada desde los polígonos 112

- Ángulo exterior = e. Formado por la prolongación de un ladoy el lado siguiente.- Ángulo central = . Formado por dos radios consecutivos.360Un polígono de n lados tiene: n- Diagonal.- Línea recta que une dos vértices no consecutivos.Ejemplo: FD.n( n 3)Un polígono de n lados tiene diagonales.2En un polígono regular el perímetro (P) es: P = n.ln = Número de lados; l = ladoEl área de un polígono regular es: A =P a24.3.- CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS4.3.1.- De acuerdo al carácter entrante o saliente de susángulos:- Polígono convexo.- Cuando todos sus ángulos son salientes oconvexos ( 180 0 ). En este caso una recta cualquiera sólo cortaal polígono en dos puntosCLDBALa realidad observada desde los polígonos 113

- Polígono cóncavo.- Cuando tiene algún ángulo entrante ocóncavo ( 180 0 ). En este caso una recta cualquiera R puedecortar al polígono en más de dos puntos.CBLDA4.3.2.- De acuerdo a su regularidad:- Polígono regular.- Aquel que tiene todos los lados y todoslos ángulos iguales- Polígono irregular.- Aquel que no tiene todos sus lados yángulos iguales4.3.3.- De acuerdo al número de lados:Los polígonos se clasifican de la siguiente manera: Triángulo(tres), cuadrilátero (cuatro), pentágono (cinco), hexágono(seis), heptágono (siete), octágono (ocho), nonágono (nueve),decágono (diez), endecágono (once), dodecágono (doce),pentadecágono (quince), icoságono (veinte) y, en general, sedenomina n-ágono al polígono de n lados.Nota: La circunferencia es un polígono de infinitos ladosLa realidad observada desde los polígonos 114

Para reforzar los contenidos presentados, con la ayuda delcompás, el graduador y una regla trazar los siguientespolígonos regulares: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono,heptágono, octágono, nonágono y decágono. Para ello, calcularlos ángulos centrales y luego medirlos desde el centro de lacircunferencia; unir los puntos donde se corta la circunferenciay se obtendrá los polígonos. Finalmente completar la tabla quese presenta a continuación:PolígonoregularNúmerodeladosNúmerodetriángulosSuma de losángulosinterioresen todos lostriángulosn n-2 180 0 (n-2)Nº de gradosen el ángulode cadavértice180 0 ( n 2)nNº dediagonalesn( n 3)2Triángulo 3 1 180 0 60 0 0Cuadrado 360 0PentágonoHexágono 4 120 0HeptágonoOctágonoNonágono 9 1260 0 27DecágonoEndecágonoDodecágonoPentadecágonoIcoságonoLa realidad observada desde los polígonos 115

4.4.- LA CIRCUNFERENCIA4.4.1.- Definición.- Es una curva plana cerrada en la que cadauno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro dela circunferencia. No se debe confundir con el círculo(superficie), aunque ambos conceptos están estrechamenterelacionados.4.4.2.- Elementos:- Centro.- Es el punto interior del cual equidistan todos lospuntos de la circunferencia- Cuerda.- Es el segmento que une dos puntos de lacircunferencia.- Diámetro (D).- Es la cuerda que pasa el centro de lacircunferencia- Radio (r).- Es el segmento que une el centro con un puntocualquiera de la circunferencia. Es la mitad del diámetro.- Tangente.- Es la recta que toma contacto en la circunferenciaen un solo punto, llamado punto de tangencia. La tangente esLa realidad observada desde los polígonos 116

perpendicular con respecto al radio que pasa por el punto detangencia.- Secante.- Es la recta que pasa cortando dos puntos de lacircunferencia- Sagita o flecha.- Segmento comprendida entre el puntomedio de un arco y el de su cuerda. Es perpendicular conrespecto a la cuerda.- Arco ( a ).- Porción de la circunferencia entre dos puntos de lamisma. La longitud del arco está dada por la ecuación 2ra 0360- Sector Circular.-Porción de círculo comprendida entre unarco y los dos radios que pasan por sus extremidades. El áreade un sector circular se calcula con la ecuación:4.4.3.- El número .-La relación entre la longitud de lacircunferencia y su diámetro se llamada Pi cuyo símbolo es .Esta constante matemática es aproximadamente igual a3,141592653897932284626433832795…, aunque considerar3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de loscálculos.Actividad experimental:Realizar los siguientes pasos para encontrar el valor de :1) Empleando un compás trazar circunferencias de radiosiguales a 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm. Calcular losrespectivos diámetrosLa realidad observada desde los polígonos 117

2) Empleando un hilo pasar alrededor de las circunferenciastrazadas anteriormente, haciendo que coincidir el perímetro dela circunferencia con el hilo.3) Medir la longitud del hilo, extensión que representará elperímetro de las circunferencias.4) Dividir el perímetro encontrado para su respectivo diámetro.Compruebe que en todos los casos se obtiene una constanteigual a 5) Los valores obtenidos anotar en al siguiente tabla.Radio r (cm) Diámetro D (cm) Perímetro P (cm) PD12345De aquí se deduce que el perímetro de la circunferencia esP = D P = 2r1) Dado el Polígono:4.5.- EJEMPLOS ILUSTRATIVOSLa realidad observada desde los polígonos 118

a) Llenar la siguiente tabla sobre el tipo de polígono que setrata la figura anterior:De acuerdo a susladosDe acuerdo a suregularidadDe acuerdo al carácterentrante o saliente de susángulosSolución:De acuerdo a susladosDe acuerdo a suregularidadDe acuerdo al carácterentrante o saliente de susángulosPentágono Irregular Convexob) Simbolizar los vértices y trazar las saetas (flechas) de losángulos interiores.Solución: Las saetas se trazan en sentido anti horario, así:c) Calcular el número de diagonalesSolución:n(n 3) 5(5 3) 5(2)Nº de diagonales = 52 2 2d) Trazar las diagonales para comprobar que los cálculosanteriores fueron correctos:La realidad observada desde los polígonos 119

Solución:Como se puede observar, el polígono tiene 5 diagonalese) ¿Un pentágono regular tendrá el mismo número dediagonales que un pentágono irregular?La solución queda como tarea para el discente.2) En la figura se tiene un cuadrado de lado l = 4 cm. En lasesquinas se tiene 4 cuadrados de lado l/3. Calcular el área de laregión sombreadaSolución:a) Cálculo del área del cuadrado de l = 4 cm :A = l 2 = (4cm) 2 = 16 cm 2b) Cálculo del área del cuadrado de lado l/3:A= 4 cm 3 216 cm92 1,78 cmc) Cálculo del área de la región sombreada22Área Sombreada = A - 4A= 16 cm 4(1,78cm )22Área Sombreada = 16 cm 7,12 cm 8,88 cm22La realidad observada desde los polígonos 120

3) Calcular el área de la región sombreadaSolución:a) Cálculo del área del círculo2222A r A ( 4cm) 16cm 3,1416cm 50,24 cmb) Cálculo del área del cuadradoSi el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado delcuadrado es 8 cm, es decir, Si r = 4 cm l = 8cmEntonces el área del cuadrado es:A = l 2 = (8cm) 2 = 64 cm 2c) Cálculo del área de la región sombreadaSe obtiene al restar el área del círculo de la del cuadrado24) Calcular el área de la región sombreada (sector circular) endonde11 3 r cm y el tiene un tercio de 360 0 27Solución:La realidad observada desde los polígonos 121

a) Cálculo del radio r:Si11 3r cm r 27 1 2733 27 3 cm 27 1 b) Cálculo del ángulo 1 0 0 360 1203c) Cálculo del área del sector circular:135) Calcular el área de la región sombreada (corona circular) endonder4 22 4cm.Solución:a) Cálculo del radio subdos:Si2 1r cm r 4 cm 4 cm 4 cm 2 cm4 22 421422b) Cálculo del radio subuno:La realidad observada desde los polígonos 122

Sir r r 22 cm r 4122 11cmc) Cálculo del área del círculo de radio subdos:222A r A 3,14(2cm) 3,144 cm 12,56 cm2d) Cálculo del área del círculo de radio subuno:2e) Cálculo del área de la corona circular6) Calcular el área de la región sombreada (trapecio circular)en donde11 2 r1 16cm.Solución:a) Cálculo del radio subuno:Si11 2 r1 16r cm1 412161 cm r1 cm = 162cm = 2 16 1 cm 1b) Cálculo del radio subuno:r14 cmSi r2 r2 2 cm2 2c) Cálculo del sector circular de radio subuno:La realidad observada desde los polígonos 123

d) Cálculo del sector circular de radio subdos:e) Cálculo del área del trapecio circular:127) De una pizza se ha comido 64 como indica la figura:La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene160 cm de perímetro. Calcular el área y la longitud del arco dela parte comida.Solución.- Primera forma:a) Cálculo del lado de la caja cuadradaP 160 cmSi el perímetro es P 4 40 cm 4 4b) Cálculo del radio de la pizzaLa realidad observada desde los polígonos 124

SiSi 40 cm Diámetro ( D) 40 cmD 40 cmD 40 cm radio(r) r 202 2cmc) Cálculo del área total de la pizzad) Cálculo del área de la parte comida12Como la parte comida es 64 1= Entonces:6411 2 12 6418de la pizza,e) Cálculo del perímetro de la pizzaP 2r P 23,1420cm 125, 6cmf) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida 1 1a P a 125,6cm 15, 7 cm8 8Solución.- Segunda forma:a) Cálculo del lado de la caja cuadradaP 160 cmSi el perímetro es P 4 40 cm 4 4b) Cálculo del radio de la pizzaSi 40 cm Diámetro ( D) 40 cmLa realidad observada desde los polígonos 125

SiD 40 cmD 40 cm radio(r) r 202 2cmc) Cálculo del ángulo 00360 360 45n 8d) Cálculo del área de la parte comida0e) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida0 2r23,14 20 cm 45a aˆ 15, 7 cm0 0360360Nota: Recuerde que tanto en Matemática como en la vidadiaria el mismo problema tiene varias formas de solución. Eneste contexto, la Matemática cumple rol estratégico, ya queesta ciencia permite ver soluciones en donde otros no observan.8) Calcular el área de la región sombreada en donde12d = 100 cm y b =11 2 64cm.Solución:a) Cálculo de la diagonal:La realidad observada desde los polígonos 126

12Si d = 100 cm d 2 1001 cm 10 cmb) Cálculo de la base:11 2 Si b = 6464 12 12 1 1 cmb 642 64 8 cmc) Cálculo de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:d2 a2 b2 a d2 b222222a (10 cm) (8 cm) 100 cm 64 cm 36 cm 6d) Cálculo del área de la región pintada, la misma que es untriángulo:cmb aA =28cm 62cm48 cm22 24cm2129) Si d = 6 2 cm. Calcular el área de la región sombreadaSolución:a) Cálculo de la diagonalLa realidad observada desde los polígonos 127

12Si d = 6 2 cm d 62 2cm d 6 2 cmb) Cálculo del lado del cuadradoPor Pitágoras d22 2 2 2 2 d d 2 226 2 cm 36 2 cm2 36 cm 6 cm2c) Cálculo del área del cuadrado22d) Cálculo del área del triángulo sin sombreare) Cálculo del área sombreada10) Si l = 3 cm y a = 27 cm. Calcular el área de la regiónsombreadaSolución:a) Cálculo del perímetro del hexágono:P = n.l P = 6·cm = 18 cmLa realidad observada desde los polígonos 128

) Cálculo del área del hexágono:P a18cm 27cmA = A = 9cm 27cm22A =2222993cm 933 cm 27 3 cm 46,77 cmc) Cálculo del radioSe sabe que22 2 r a 2 r a2 2 22 62 22 27cm 27cm 9cm 36cm r cmr 6 2d) Cálculo del área del círculo con la ecuación:2c) Cálculo del área de la región sombreadaÁrea sombreada = A - AÁrea sombreada = 113,04 cm 2 – 46,77 cm 2 = 66,27 cm 2Nota: Como se puede observar en los ejemplos ilustrativos, laMatemática no representa complicadas operaciones, sino masbien son procesos lógicos que a través de la práctica se deseaque el estudiante piense que pueden llegar a ser simplesoperaciones, y así ya no le tenga miedo a esta hermosa cienciaque por tener una naturaleza lógica y precisa favorece eldesarrollo de múltiples destrezas y valores que permitenobtener una visión superior de la realidad.La realidad observada desde los polígonos 129

4.6.- EJERCICIOS DE REFUERZO1) Realizar los cálculos respectivos para completar la siguientetabla (expresar las respuestas en términos de ):Radio (r)34Diámetro (D)2410 1249642) Realizar los cálculos respectivos para completar la siguientetabla:Radio (r)5 30 08 45 020 60 015 90 010 20,9416 25,1330 0 3 120 0 27La realidad observada desde los polígonos 130

3) El radio de la rueda de una bicicleta es 32 cm. ¿Quédistancia recorre la bicicleta en cada revolución (vuelta)?.S = 2,01 m4) Un aro de básquetbol de 45 cm de diámetro está hecho deuna barrilla. ¿Qué cantidad de material se requiere paraconstruir 10 aros?S = 14,1 m125) En la figura se tiene un cuadrado de lado 4 cm. En las1esquinas se tiene 4 cuadrados de lado 4 2 cm. Calcular elárea de la región sombreadaS =3 cm 216) El lado del cuadrado es236 cm. Calcular el área de laregión sombreadaS = 32,86 cm 2La realidad observada desde los polígonos 131

127) El radio de la circunferencia es 4 cm. Calcular el área de laregión sombreada8) Si11 r 4S = 3,4 cm 2cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 100,5 cm 29) Calcular el área de la región sombreadaS = 75,4 cm 2La realidad observada desde los polígonos 132

1210) El lado del cuadrado es 16 cm. Calcular el área de laregión sombreada11) Calcular el área de la región sombreadaS = 8 cm 212) Calcular el área de la región sombreadaS = 36 cm 2S = 100,5 cm 2La realidad observada desde los polígonos 133

13) La siguiente figura muestra las dimensiones de las canchasde básquetbol profesional. Calcular el área de la regiónsombreada.S = 382,9 m 214) La siguiente figura muestra las dimensiones de un campode fútbol. Calcular el área de la región sombreada.S = 9972,5 m 2La realidad observada desde los polígonos 134

1215) Si 16 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 3,43 cm 21316) Si 64 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 9,1 cm 217) Si11 4cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 4,56 cm 2La realidad observada desde los polígonos 135

18) Si11 2 16cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 9,1 cm 219) Si11 3 cm. Calcular el área de la región sombreada 64S = 5,7 cm 220) Calcular el área de la región sombreada (Triángulorectángulo)S = 6 cm 2La realidad observada desde los polígonos 136

21) Calcular el área de la región sombreada (triángulorectángulo isósceles)S = 4,5 cm 222) Calcular el área de la región sombreada (Trapeciorectángulo)23) Calcular el área de la región sombreadaS = 32 cm 2S = 12 cm 2La realidad observada desde los polígonos 137

24) Calcular el área de la región sombreadaS = 54 cm 225) Calcular el área de la región sombreadaS = 36 cm 226) Calcular el área de la región sombreadaS = 19 cm 2La realidad observada desde los polígonos 138

27) Calcular el área de la región sombreadaS = 62 cm 228) El diámetro de la circunferencia es 4 cm. Calcular el áreade la región sombreadaS = 8 cm 229) Si el perímetro del cuadrado es 4 2 cm. Calcular el área dela región sombreadaS = 1,14 cm 2La realidad observada desde los polígonos 139

30) En la siguiente figura se presenta un triángulo rectánguloisósceles inscrito en una semicircunferencia de radio 2cm.Demostrar que el área del triángulo es igual al área sombreada,es decir, A3 A1 A231) En la siguiente figura demostrar que A3 A1 A232) El siguiente triángulo está inscrito en una circunferencia de2 cm de radio y tiene 1 cm de apotema. Calcular el área de laregión sombreadaS = 7,37 cm 2La realidad observada desde los polígonos 140

33) El siguiente triángulo está inscrito en una circunferencia de4 cm de diámetro y tiene 6 2 cm de perímetro. Calcular elárea de la región sombreadaS = 7,37 cm 234) El diámetro de la circunferencia es 4 cm. Calcular el áreade la región sombreadaS = 4,6 cm 235) El perímetro del rombo equiángulo es 8 2 cm. Calcular elárea de la región sombreadaS = 4,6 cm 236) El lado del siguiente pentágono regular mide 2,4 cm y suopotema 1,6 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 2,96 cm 2La realidad observada desde los polígonos 141

37) El lado del siguiente pentágono regular mide 9,6 cm y suapotema 6,4 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 47,46 cm 238) El lado del siguiente hexágono regular mide 2 cm y suapotema 3 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 2,17 cm 239) El radio de la circunferencia es 2 cm y el lado delhexágono regular mide 2 cm. Calcular el área de la regiónsombreada.S = 2,17 cm 2La realidad observada desde los polígonos 142

40) El radio de la circunferencia es 2 cm y la apotema delhexágono regular mide 3 cm. Calcular el área de la regiónsombreada.S = 2,17 cm 241) El diámetro de la circunferencia es 4 cm y el perímetro delhexágono regular mide 12 cm. Calcular el área de la regiónsombreada.S = 2,17 cm 242) A partir de un hexágono regular de 2 cm de lado e inscritoen una circunferencia de 4 cm de diámetro se obtiene lasiguiente figura. Calcular el área de la región sombreadaS = 4,3 cm 2La realidad observada desde los polígonos 143

43) A partir de un hexágono regular de 12 cm de perímetro einscrito en una circunferencia de 2 cm de radio se obtiene lasiguiente figura. Calcular el área de la región sombreadaS = 8,2 cm 244) El diámetro de la circunferencia es 4 cm y el apotema delhexágono regular mide 3 cm. Calcular el área de la regiónsombreada.S = 6,5 cm 245) La siguiente figura se asemeja a las celdas de un panal deabejas. El perímetro de cada hexágono regular mide 12 cm y suopotema 3 cm. Calcular el área de la región sombreadaS = 6,9 cm 2La realidad observada desde los polígonos 144

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASABRIL, M.,(2000). La Inteligencia Emocional. Ecuador,Quito: EDICENTROAFEFCE. (2001). La Gerencia y los Nuevos EscenariosSociales. Maestría en Gerencia de Proyectos Educativos ySociales. Ecuador, Quito.ARMAS, A. y ZAMBRANO, A. Matemática. Segundo Curso.Ecuador, Quito: Offset GrabaARMAS, A. y ZAMBRANO, A. Matemática. Tercer Curso.Ecuador, Quito: Offset GrabaBALDOR, A. (1992). Álgebra. México: Publicaciones CulturalBENALCÁZAR, M. y SUÁREZ, M. (2002). Unidades paraProducir Medios Instruccionales en Educación. Ecuador,Ibarra: Graficolor.COLECCIÓN LNS. (1990). Diccionario de lengua española.Ecuador, Cuenca: Editorial EDIBOSCO.COLECCIÓN LNS. (1990). Matemática N°2 y N°3. Ecuador,Cuenca: Editorial EDIBOSCO.COLECCIÓN SANTILLANA (1999). Matemáticas Nº 9.Ecuador, Quito: Santillana S. A.FARFÁN, O. Aritmética. Perú. Editorial: San MarcosReferencias Bibliográficas 145

IZQUIERDO, G. (1996). Guía de Orientación Juvenil yFamiliar. Ecuador, QuitoMORALES, G. (2002). El Giro Cualitativo de la Educación.Colombia: Editorial 2000 LTDA.ORTON, A. (1995). Didáctica de las Matemáticas. España,Madrid: Ediciones Morata S.A.RIVEROS, M y ZANNOCO, D. (1995). Geometría:Aprendizaje y Juego. Chile, Santiago: Ediciones UniversidadCatólica de Chile.SÁLESMAN, E y ATKINSON, L. (2002). Las leyes del éxito yla fórmula magistral. Colombia, Santa Fé de Bogotá: EditorialCentro Don Bosco.SUÁREZ, M. (2004). Interaprendizaje Holístico deMatemática. Ecuador, Ibarra: Gráficas PlanetaBiblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004http: // www. lafacu.com/apuntes/matemática.http: // www. Los-poetas.comReferencias Bibliográficas 146

ANEXOSAnexos Nº 1Autor:VIVIR ESTANDO MUERTOPoemaJohann Wolfgang von Goethe (1749-1832),poeta, novelista, dramaturgo, científico y una delas figuras señeras de la literatura alemana.GoetheNo son muertos los que en dulce calmala paz disfrutan en la tumba fríamuertos son los que llevan muerta el almay aún viven todavía.La vida no es la vida que vivimosla vida es el amor, es el recuerdo….Por eso hay muertos que en el mundo viven,y hombres que viven en el mundo muertos.Actividades:1) Realizar un comentario acerca del poema……………………………………………………………………………………………………………………………………2) ¿Qué características debe tener una persona para demostrarque está viva?………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Anexos 147

Anexo Nº 2UN EJEMPLO DE TENACIDADLecturaBernardo Palissy es considerado como el creador de lamoderna cerámica en Francia. En 1550 vio una pieza decerámica china, finamente esmaltada. Era algo imposible defabricar en Francia, porque allí nadie sabía esmaltar. Palissy sepropone derretir el esmalte para lograr adherirlo a las vasijas debarro. Trabaja 10 años en ello. Ningún horno alcanza aproducir el calor suficiente. Fabrica un horno, y otro, y al finlogra uno que sí produce el calor necesario, pero cuando ya elesmalte alcanza a derretirse se acaba la leña...Bernardo tienevoluntad firme de alcanzar lo que se ha propuesto y lanza lahorno todo lo que encuentra en su casa, puertas, ventanas,muebles, todo va cayendo entre las llamas, con tal de el calorno disminuya. La esposa sale corriendo a avisar que su esposose ha vuelto loco, y cuando la policía llega a detenerlo,únicamente le oyen decir alborozado; ―Al fin lo he conseguido.El esmalte se ha derretido. He descubierto la fórmula defabricar loza esmaltada‖. No había quedado en su casa nisiquiera una silla para sentarse, pero Bernardo había obtenidolo que se había propuesto: lograr esmaltar la loza. Llevaba casidiez días sin comer ni dormir, y diez años investigando yhaciendo ensayos y estaba totalmente pobre de tanto gastar porconseguir su invento. Pero no se cansó de insistir, y loconsiguió, porque tuvo persistente voluntad para conseguirlo yno desanimarse ante las dificultades.Fuente: Sálesman, E y Atkinson, I. ,(2002), p.17Actividad: Realizar un comentario acerca de la lectura……………………………………………………………..…………..……………………………………………………………Anexos 148

ANEXO Nº 3Autor:KiplingSI…PoemaRudyard Kipling (1865-1936), novelista ingléslaureado con el Premio Nobel. Considerado "elpoeta del imperio", Kipling describió en sus obraslas costumbres de la India colonial y de susdominadores británicos.Si puedes conservar tu cabezacuando a tu alrededor todos lapierdan y te cubran de reproches….Si puedes tener de en ti mismocuando duden de ti los demás hombresy ser indulgente para su duda…Si puedes esperar y no sentirtecansado con la espera…Si puedes, siendo blanco defalsedades, no caer en la mentira, ysi eres odiado, no devolver el odio,sin que te creas por eso,ni demasiado bueno ni demasiado cuerdo…Si puedes soñar sin que los sueñosimperiosamente te dominen; y sipuedes pensar sin que los pensamientossean tu objeto único…Si puedes encararte con el triunfoAnexos 149

y el desastre, y tratar de la mismamanera esos dos impostores…Si puedes aguantar que la verdadpor ti expuesta la veas retorcidapor los pícaros para convertirla enlazo de los tontos o contemplar quelas cosas a que diste tu vida se handeshecho, y agacharte yconstruir de nuevo aunque sea congastados elementos.Si eres capaz de juntar en un solohaz todos tus triunfos, y arriesgarlosa cara o cruz en una sola vuelta ysi pudieras, empezar otra vez comocuando empezaste y nunca másexhalar una palabra sobre lapérdida sufrida…Si puedes obligar a tu corazón,a tus fibras y a tus nervios a quete obedezcan aún después dehaber desfallecido, y que así semantengan hasta que en ti nohaya otra cosa que la voluntadgritando: ¡persistir, es la orden!...Si puedes hablar con multitudes yconservar tu virtud o alternar conreyes y no perder tus comunes rasgos…Si nadie…ni enemigos, ni amantesamigos pueden causarte daño…Anexos 150

Si todos los hombres puedencontar contigo, pero ninguno demasiado…Si eres capaz de llenar el inexorableminuto, con el valor de lossesenta segundos de la distanciafinal…tuya será la tierra y cuandoella contenga y … lo que másvale… serás un hombre…serás un hombre, ¡Hijo mío!.Actividad: Este poema trata de los consejos que da el padre asu hijo. Escriba con sus propias palabras y en resumen esosconsejos.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ANEXO Nº 4LO QUE PIENSA EL HIJO DEL PADRELecturaA los siete años:Papá es un sabio, todo lo sabe.A los catorce:Me parece qué Papáse equivoca en algunas de las cosas que dice,Anexos 151

A los veinte:Papá está un poco atrasado, en sus teorías,no es de esta época.A los treinta y cinco:El ―Viejo‖ no sabe nada…está chocheando decididamente.A los treinta y cinco:Con mi experiencia,mi padre a esta edad hubiera sido millonario.A los cuarenta y cinco:No sé si ir a consultar con el Viejo este asunto.Tal vez pudiera aconsejarme.A los cincuenta y cinco:Qué lástima que se haya muerto el viejo.La verdad es que tenía unas ideasy tina clarividencia notables.A los sesenta:Pobre papá ¡Era un santo!.Qué lástima que yo,lo haya comprendido demasiado tarde!Fuente: Izquierdo G., (1996), p. 43Actividad: Escribir un comentario de la lectura…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Anexos 152

ANEXO Nº 5¡DESPIERTE, HOY HACE UN NUEVO SER!LecturaAutor: Segundo Farinango Yacelga¡Despierte, levántese! Hoy es un nuevo día, hoy nace un nuevoser, un ser lleno de esperanzas que nace para alcanzar el éxito yno para el fracaso; un nuevo ser ha nacido y ese nuevo ser esusted.Usted no nació para una vida de ociosidad, usted nació paraestudiar y trabajar. Usted nació para triunfar, no para inclinarsu cabeza en señal de derrota. Nació para saborear las victorias,no para gemir y lamentarse.¡Basta! Que ese antiguo ser pesimista, negativo e irresponsablemuera para siempre, porque ha llegado el momento de estudiar,de superarse, de conquistar a un gran enemigo suyo, ustedmismo.Si, usted ha sido su gran enemigo, por no valorarse y no tenerfé en usted mismo, por haber desperdiciado gran parte de suvida en cosas vanas, por haber dejado muchas tareasimportantes para mañana pudiendo hacerlo hoy, porque ha sidoun ser acomplejado y lleno de temor frente a circunstanciasadversas a las cuales debería y debe enfrentar.Hoy debe ser un gran día, porque usted ha decididorevolucionar su vida, ha decidido derrumbar su viejo sistemade vida por ser obsoleto y una gran traba para cumplir con susaspiraciones.Anexos 153

Hoy comienza una nueva vida, una nueva era para ser dueño deusted mismo, dueño de su voluntad, dueño de su propiodestino. Ya no se lamentará más, ya no desperdiciará su tiempoy energía en cosas vanas y no provechosas; porque al fin hadecidido, lleno de gusto, interés y valentía, coger el caminolento, difícil, pero seguro para llegar a conseguir el gran éxitodespués, su felicidad a través de la preparación y superación.Actividad: Escribir un comentario sobre la lectura………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ANEXO Nº 6EL NOGAL APALEADOFábulaAutor: Joaquín Víctor Gonzáles(1863-1923), jurista, político y escritor argentino.En cierto pueblo de la montaña, unos paisanos tenían un nogalcorpulento y frondoso, el cual les daba para vivir un año con lasuficiencia de los pobres.Ningún cuidado, a no ser un escaso y tardío riego, dispensabanal generoso y paciente árbol; y además, para cosecharle sufruto, se armaban de largos garrotes con los cuales castigabansus gajos y hacían caer en confusión, junto con las nueces, lasramas extremas y más lozanas.Anexos 154

En uno de esos años comenzó a notarse una gran merma en lahabitual abundancia de la cosecha, y creyendo los dueños queella se debía a que no lo castigaban bastante, la emprendieroncon él a palos con tal furia, que no tardó el nogal en quedarconvertido en un esqueleto.Fue entonces cuando, por una de sus heridas abiertas, les gritó,entre doliente e irritado:-Pero, bárbaros, ¿por qué me apaleáis de este modo? ¿Así mepagáis el alimento y la sombra que hace años os regalo.Y ante la sorpresa y el espanto de sus verdugos, al oírle hablar,el árbol concluyó:- Si al que trabaja y produce para vuestro sustento y comodidadlo maltratáis, y creéis por la violencia arrancarle mayorrendimiento, sois unos ignorantes y unos perversos, porque nilos hombres libres, ni los esclavos, ni los animales han dadonunca más por ser castigados.Todos tenemos una vida y un alma que necesitan el cuidado delamor y de la ciencia. Si no nos tratáis bien por amor y caridad,como iguales, hacerlo por vuestra conveniencia, y seréis asímás justos y felices.Actividad: Según su criterio, escriba la moraleja de la fábula………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………Anexos 155

Anexo Nº 7VUELVE A EMPEZARLecturaAunque sientas el cansancio,aunque el triunfo te abandone,aunque un error te lastime,aunque un negocio quiebre,aunque una traición te hiera,aunque una ilusión se apague,aunque el dolor que tus ojos,aunque ignoren tus esfuerzos,aunque la ingratitud sea la paga,aunque la incomprensión corte tu risa,aunque todo parezca nada…Vuelve a empezarFuente: Abril, M.,(2000),p.113Actividad: Escribir un comentario sobre la lectura………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Anexos 156

Anexo Nº 8LOS SIETE SABIOS DE GRECIALecturaTales de MiletoTales de Mileto (625- 546 a.C.), filósofo griego nacido enMileto (Asia Menor). Fue el fundador de la filosofía griega, yestá considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Talesllegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomíadespués de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayodel 585 a.C. Se dice también que introdujo la geometría enGrecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas esel agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez.Tales no dejó escritos, sin embargo, no de sus aportes que se leatribuye se refiere a los ángulos inscritos en alsemicircunferencia, es decir, los ángulos que tienen su vérticeen al circunferencia y cuyos lados pasan por los extremos deldiámetro son ángulos rectos.PitágorasPitágoras (582-500 a.C.), filósofo y matemáticogriego nacido en la isla de Samos, cuyasdoctrinas influyeron mucho en Platón.Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primerosfilósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes ycomo en todos los griegos de su época, en su educación sepreocuparon del cultivo del cuerpo y del espíritu para queadquieran así una buena formación física e intelectual.Al promedias su vida se vio obligado a abandonar su patria y seradicó en Crotona, ciudad situada al sur de Italia. En Crotonafundó la llamada escuela pitagórica, en donde todas susdoctrinas giraban alrededor del postulado fundamental: ―Losnúmeros son el principio de las cosas‖. El gran descubrimientode esta escuela el teorema de la hipotenusa, conocido comoAnexos 157

teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de lahipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados. En la astronomía losdiscípulos de Pitágoras, llamados pitagóricos, marcaron unimportante avance en el pensamiento científico clásico, ya quefueron los primeros en formular la teoría de que la tierra es unaesfera que gira en torno al sol.HeráclitoHeráclito (540- 475 a.C.), filósofo griego, quien sostenía que elfuego era el origen primordial de la materia y que el mundoentero se encontraba en un estado constante de cambio. Nacióen Éfeso, una antigua ciudad griega en Asia Menor, que ahorapertenece a Turquía. Debido a su vida solitaria, y a la oscuridady misantropía de su filosofía, es llamado algunas veces eloscuro. En cierto sentido, Heráclito fue uno de los iniciadoresde la metafísica griega, aunque sus ideas se derivan de las de laescuela jónica de la filosofía griega. Consideraba el fuegocomo la sustancia primordial o principio que, a través de lacondensación y rarefacción, crea los fenómenos del mundosensible. Heráclito incorporó a la noción de "ser" de suspredecesores el concepto de "devenir" o flujo, al que consideróuna realidad básica subyacente a todas las cosas, incluso a lasmás estables en apariencia. Para aclararlo, afirmaba que unapersona no podía bañarse dos veces en el mismo río.En ética, Heráclito introdujo un nuevo énfasis social,manteniendo que la virtud consiste en la subordinación delindividuo a las leyes de una armonía razonable y universal.Aunque su pensamiento estaba influido por la teología popular,atacó los conceptos y ceremonias de la religión popular de sutiempo.Sólo una obra, De la Naturaleza de las cosas, se puede atribuira Heráclito, aunque algunos autores sostienen que tambiénAnexos 158

escribió un libro sobre las leyes. Numerosos fragmentos de suobra fueron preservados por escritores posteriores y se puedenencontrar recopilaciones de estos fragmentos en diversasediciones modernas.SócratesSócrates (470 a.C- 399 a.C.), filósofo griego,considerado el fundador de la filosofía moral oaxiología, que ha tenido gran peso en laposterior historia de la filosofía occidental porsu influencia sobre Platón.Modificó en profundidad el pensamiento filosófico occidental através de su influencia en su alumno más famoso, Platón.Sócrates pensaba que toda persona tiene conocimiento pleno dela verdad última contenida dentro del alma y sólo necesita serestimulada por reflejos conscientes para darse cuenta de ella.Aunque fue un patriota y un hombre de profundas conviccionesreligiosas, Sócrates sufrió sin embargo la desconfianza demuchos de sus contemporáneos, a los que les disgustaba sucrítica hacia el Estado ateniense y la religión establecida. En el399 a.C. su actitud le costó su sentencia de muerte. Aunque susentencia sólo logró una escasa mayoría cuando, de acuerdocon la práctica legal de Atenas, Sócrates hizo una réplicairónica a la sentencia de muerte que le había sido impuesta(proponiendo pagar tan sólo una pequeña multa dado el escasovalor que tenía para el Estado un hombre dotado de una misiónfilosófica), enfadó tanto a los miembros del tribunal que éstedecidió repetir la votación, en la que la pena de muerte obtuvoesa vez una abultada mayoría. Sus amigos planearon un plan defuga, pero Sócrates prefirió acatar la ley y murió por ello. Pasósus últimos días de vida con sus amigos y seguidores y durantela noche cumplió su sentencia, bebiendo una copa de cicutasegún el procedimiento habitual de ejecución.Anexos 159

PlatónPlatón (428- 347 a.C.), filósofo griego nacidoen Atenas, uno de los pensadores másoriginales e influyentes en toda la historia de lafilosofía occidental. Originalmente llamadoAristocles.Platón (apodo que recibió por el significado de este término engriego, ‗el de anchas espaldas‘), uno de los filósofos másfamosos de la antigua Grecia, fue el primero en utilizar eltérmino filosofía, que significa 'amor a la sabiduría'.En el 387 a.C. Platón fundó en Atenas la Academia, institucióna menudo considerada como la primera universidad europea,siendo Aristóteles su alumno más destacado. En su Academiaenvió a colocar un letrero que decía: ―Nadie entra si no sabeGeometría‖. En su pensamiento destaca la teoría de las ideas,que proponía que los objetos del mundo físico sólo se pareceno participan de las formas perfectas en el mundo ideal, y quesólo las formas perfectas pueden ser el objeto del verdaderoconocimiento. El objetivo del filósofo, según Platón, esconocer las formas perfectas e instruir a los demás en eseconocimiento.AristótelesAristóteles (384-322 a.C.), filósofo y científicogriego, nacido en Estagira (actual ciudadgriega de Stavro, entonces perteneciente aMacedonia), razón por la cual también fueconocido posteriormente por el apelativo de ElEstagirita.Alumno de Platón, filósofo de la antigua Grecia, Aristótelescompartía la reverencia de su maestro por el conocimientohumano pero modificó muchas de las ideas platónicas parasubrayar la importancia de los métodos arraigados en laAnexos 160

observación y la experiencia. Aristóteles estudió y sistematizócasi todas las ramas existentes del conocimiento y proporcionólas primeras relaciones ordenadas de biología, psicología, físicay teoría literaria. Además, Aristóteles delimitó el campoconocido como lógica formal, inició la zoología y habló de casitodos los problemas filosóficos principales reconocidos en sutiempo. Conocido por los pensadores medievales como 'elfilósofo', Aristóteles es quizá el pensador más importante y demayor influencia en la historia y el desarrollo intelectual deOccidente.ArquímedesArquímedes (287-212 a.C.), notablematemático e inventor griego, nacido enSiracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría,Egipto. Arquímedes realizó grandescontribuciones a la Matemática.Es famoso por el rigor y la imaginación de su pensamientomatemático para aplicar la ciencia a la vida diaria. Por ejemplo,descubrió el principio que lleva su nombre mientras se bañaba(Principio de Arquímedes: ―un sólido sumergido en un líquidorecibe un empuje vertical hacia arriba igual al peso delvolumen de líquido que desaloja‖). También desarrollómáquinas sencillas como la palanca, la polea o el tornillo sinfin, y las aplicó a usos militares y de irrigación. Durante laconquista de Sicilia por los romanos empleó la catapulta y unsistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba lasembarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. Alser conquistada Siracusa, fue asesinado por un soldado romanoque le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena.Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en lasoperaciones que ofendió al intruso al decirle: ―No desordenesmis diagramas‖, el soldado reaccionó violentamente,Anexos 161

traspasando con su lanza el viejo inventor, y dándole asímuerte inmediata.Fuente: Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004Actividad: Realice un breve comentario acerca de la lectura………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………1) c2) a3) a4) d5) c6) a7) d8) c9) b10) cANEXO Nº 9RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓNDIAGNÓSTICAAnexos 162