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P á g i n a | 7Planteamiento del ProblemaDado un rectángulo arbitrario, es decir con base y altura cualesquiera¿Cómo construir dos cuadrados, cuya resta de sus áreas sea igual al área delrectángulo original?=_La igualdad del dibujo anterior se refiere al área del rectángulo de la izquierda debe serigual a la resta de las área de los dos cuadrados del lado izquierdo.Objetivos del trabajoPartiendo del problema mencionado deducir de manera geométrica la técnica deCompletar Cuadrados, es decir si el polinomio cuadrático es mónico tenemos que latécnica diceSacar raíz del término que está al cuadrado, después poner el signo del término que noestá al cuadrado y poner la mitad del coeficiente del término que no está al cuadrado (sinponer la variable), todo esto elevado al cuadrado y por último se le resta el cuadrado de lamitad del coeficiente del término que no está al cuadrado (sin poner la variable).

P á g i n a | 8Desarrollo del trabajoDado el rectángulo de base b y altura h.Puede suceder por tricotomía:a) La base b del rectángulo sea menor que la altura h, es decir b < h.b) La base b del rectángulo sea mayor que la altura h, es decir b > h.c) La base b es igual a la altura h, es decir b = h.Como se puede ver en el siguiente dibujohhba) b < hbb) b > hhbc) b = hPara el caso a) donde b < h, tenemos que h = b + (h-b), por lo que tenemos que el áreadel rectángulo está dada porA(R) = b⋅h =b⋅[b + (h-b) ] = b²+b⋅(h-b), como se ve en el siguiente dibujoh-bb(h-b)hbh=bb 2bA(R) = bhbA(R) = b 2 +b(h-b)Si seguimos la siguiente secuencia de dibujos tenemos:

P á g i n a | 9h-bbb(h-b)b 2=h-b2h-b2bb(h-b)2b(h-b)2b 2=b(h-b) h-b22b(h-b)2 bb 2=(h-b) 22b(h-b)2b(h-b)2b 2h-b2b_(h-b) 22bA(R) = b 2 + b(h-b)bh-b2 A(R)= b+ (h-b)A(R) = b 2 +b(h-b)+ b(h-b)22bh-b2b 2 2 -(h-b) 2 2Por lo que tenemos:A R = b 2 + b h − b= b 2 + bh − b2+ h − b2= b 2 + 2bh − b2= b +h − b22−h − b22Es decir, el área del rectángulo original se obtiene, con el área del cuadrado de ladob + h−bmenos el área del cuadrado de lado h−b.22Para el caso b) donde b > h, tenemos que b = h + (b-h), por lo que tenemos que el áreadel rectángulo está dada porA(R) = b⋅h = [ h +(b-h)]⋅h = h² + h⋅(b-h), como se ve en el siguiente dibujobh = h b-hhh 2h(b-h)bA(R) = bhA(R) = h 2 +h(b-h)Si seguimos la siguiente secuencia de dibujos tenemos:b-h2b-h2hb-h2h 2 h(b-h) =h(b-h)h h 2 h(b-h)2 2=h 2h(b-h)2=h 2h(b-h)2hb-hhb-h2b-h2h(b-h)2b-h2h(b-h)2_(b-h)22(b-h)22A(R) = h 2 + h(b-h) A(R) = h 2 + h(b-h)+ h(b-h)2 2 A(R)= h+ (b-h)2 2 (b-h)- 2 2

P á g i n a | 11Análisis e Interpretación de resultadosDado un polinomio de 2° grado en una variable sin contar el término independiente, seríade la forma: ax 2 + bx = 0 donde a ≠ 0 (Para que sea de 2° grado)Caso 1) Si no es mónico, es decir a ≠ 1Antes de completar el cuadrado, hay que factorizar el coeficiente a de x 2de la siguiente manera: ax 2 + bx = a x 2 + b axObservar que el polinomio que queda dentro del corchete es un polinomio de 2° grado enuna variable sin contar el término independiente, pero ya resulta ser mónico, yposteriormente aplicamos la técnica de completar cuadrados a lo que se encuentra dentrodel corchetex 2 + b ax = x +b2a2− b2a2Luego, tenemos a x 2 + b abx = a x +2a2−b2a2, que quitando los corchetestenemos ax 2 + bx = a x + b2a2− ab2a2= a x +b2a2−b 24aPor lo tanto ax 2 + bx = a x + b2a2−b 24aCaso 2) Si es mónico, es decir a = 1La expresión se reduce x 2 + bx, y si aplicamos la técnica de completar cuadradodirectamente obtenemos x 2 + bx = x + b 22−bConclusionesTener la visualización geométrica de la técnica de completar cuadrados ayuda mucho,al momento de aplicarla, pues se aplica de manera natural, además el haber creado unApplet interactivo, como parte del Desarrollo Tecnológico del trabajo, donde se puedepracticar la técnica con algunos ejercicios, en los cuales nos responde si se ésta aplicadocorrectamente la técnica o no, nos ayuda mucho a memorizar dicha técnica.22Referencias1) Elena de Oteyza Conocimientos Fundamentales, Matemáticas Álgebra,PEARSON. 20062) Elena de Oteyza Conocimientos Fundamentales, Matemáticas Trigonometría yGeometría Analítica PEARSON. 20073) Pagina Web: http://arquimedes.matem.unam.mx/Arquimedes/