Teorıa de Colas
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COMUNE DI CIVITAVECCHIAProvincia di RomaVice Segreteria GeneraleAA.GG. Politiche <strong>de</strong>l WelfareUfficio Pubblica IstruzioneGARA A PROCEDURA APERTAPER APPALTO DEL SERVIZIOREFEZIONE SCOLASTICAAnni Scolastici 2013/2014-2014/2015-2015/2016-2016/2017ai sensi <strong>de</strong>l Combinato disposto dagli artt.20 e 27 <strong>de</strong>l DLgs 163/06 e s.m.i. –Servizi di cui agli allegati II BCAPITOLATO SPECIALEC.I.G. 5086541A69OGGETTO DELL’APPALTO – DURATA – VALORE PRESUNTO –MODALITA’ DI SVOLGIMENTO DEL SERVIZIOIl presente appalto ha per oggetto la:Art. 1 - OGGETTO DELL’APPALTOGESTIONE DEL SERVIZIO DI REFEZIONE SCOLASTICAconsistente:- nella gestione <strong>de</strong>lle attrezzature <strong>de</strong>i Centri di Cottura comunali;- nella produzione e preparazione di pasti presso i Centri Cottura;
Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>: ejemplos• personas esperando por un servicio (bibliotecas, bancos, gasolineras, urgenciasen hospital, . . . ),• máquinas esperando por una reparación, piezas <strong>de</strong> un producto esperando aser ensambladas,• programas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nador esperando a ser ejecutados por un procesador,• información <strong>de</strong> internet esperando en un nodo para ser transferida a su <strong>de</strong>stino,• aviones esperando a <strong>de</strong>spegar o aterrizar,IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 2
Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>Introducción.Elementos y relaciones en un sistema.Mo<strong>de</strong>lo M/M/1.Mo<strong>de</strong>lo M/M/s.Mo<strong>de</strong>lo M/M/1/k.Aplicaciones.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 4
IntroducciónLas líneas <strong>de</strong> espera generan malestar, ineficiencia, retraso y otros problemas,lo que origina un coste <strong>de</strong> tiempo y económico.Es muy importante evaluar el balance entre el aumento <strong>de</strong>l nivel <strong>de</strong> servicio y eltamaño <strong>de</strong> las colas <strong>de</strong> espera.Por tanto, es necesario enten<strong>de</strong>r la relación entre el número <strong>de</strong> servidores en unsistema (o eficacia <strong>de</strong> los mismos) y la cantidad <strong>de</strong> tiempo gastado en la cola (ocantidad <strong>de</strong> clientes en la misma).En sistemas <strong>de</strong> colas sencillos dichas relaciones se pue<strong>de</strong>n encontrar analíticamente.En sistemas más complejos se pue<strong>de</strong>n analizar mediante simulación.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 5
Introducción: tipos <strong>de</strong> sistemasLas variaciones en un sistema <strong>de</strong> colas pue<strong>de</strong>n ser múltiples. Sólo se pue<strong>de</strong>nresolver <strong>de</strong> forma analítica un conjunto reducido <strong>de</strong> sistemas.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 7
Elementos <strong>de</strong> un sistema: LlegadasPue<strong>de</strong>n existir una o varias fuentes.Se suele asumir in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia entre llegadas.Intervalos entre llegadas: <strong>de</strong>terministas o aleatorios.Tasa <strong>de</strong> llegadas: λ ≡ número medio <strong>de</strong> clientes que acce<strong>de</strong>n al sistema porunidad <strong>de</strong> tiempo.Tiempo medio entre llegadas: 1 λ .IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 8
Introducción: ClientesPue<strong>de</strong>n ser impacientes.Por tanto, los clientes se pue<strong>de</strong>n per<strong>de</strong>r, bien porque no entran en el sistema,bien porque abandonan tras un tiempo en el sistema.También, los clientes pue<strong>de</strong>n percibir un ritmo más acelerado en una coladistinta y por tanto <strong>de</strong>cidir cambiarse.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 10
Elementos <strong>de</strong> un sistema: Cola o canal <strong>de</strong> esperaPue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong> uno o varios canales.Pue<strong>de</strong> existir interferencia entre canales.Pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong> capacidad limitada.Disciplina <strong>de</strong> la cola: or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> selección en el servicio (FIFO, LIFO, aleatorio,or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> prioridad, etc.).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 11
Análisis <strong>de</strong> sistemas <strong>de</strong> colas• Notación <strong>de</strong> Kendall: las características <strong>de</strong>l sistema se especifican por lossímbolos:A/B/s/k/t/d/don<strong>de</strong> A y B <strong>de</strong>notan las distribuciones <strong>de</strong> los tiempos entre llegadas y <strong>de</strong> servicio,respectivamente.s <strong>de</strong>nota el número <strong>de</strong> servidores en paralelo o canales, k <strong>de</strong>nota la capacidad<strong>de</strong>l sistema, t <strong>de</strong>nota el tamaño <strong>de</strong> la fuente <strong>de</strong> entrada, y d es la disciplina <strong>de</strong>la cola.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 14
Análisis <strong>de</strong> sistemas <strong>de</strong> colas• La distribución pue<strong>de</strong> serMDE kGExponencialConstante o <strong>de</strong>terministaErlang <strong>de</strong> parámetro kGenérica e in<strong>de</strong>pendiente• La disciplina pue<strong>de</strong> serFCFSLCFSSIROGDFirst come, first servedLast come, first servedService in random or<strong>de</strong>rGeneral disciplineIO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 15
Análisis <strong>de</strong> sistemas <strong>de</strong> colasPor ejemplo, un sistema que se <strong>de</strong>scribe comoM/M/1/∞/∞/FCFS<strong>de</strong>nota un sistema abierto que contiene un único servidor con tiempos <strong>de</strong> llegaday servicio exponenciales, capacidad infinita y disciplina primero que entra,primero que se sirve.Sólo un número pequeño <strong>de</strong> sistemas se pue<strong>de</strong> resolver analíticamente.Mo<strong>de</strong>los sencillos: M/M/1/, M/M/s/, M/M/1/k.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 16
DistribucionesEn los sistemas <strong>de</strong> colas normalmente se asume que tanto las llegadas <strong>de</strong> clientescomo los tiempos <strong>de</strong> servicio son aleatorios.Es usual suponer que los tiempos entre llegadas y los <strong>de</strong> servicio se distribuyan<strong>de</strong> forma exponencial. En este caso, la probabilidad instantánea <strong>de</strong> ocurrencia<strong>de</strong> un suceso en las siguientes t unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> tiempo es:don<strong>de</strong> λ <strong>de</strong>nota la tasa <strong>de</strong> llegadas.f(t) = λe −λt para t ≥ 0,Esta distribución es útil ya que tiene la propiedad <strong>de</strong> falta <strong>de</strong> memoria y estacionariedad(el sistema se comporta, transcurrido un plazo, <strong>de</strong> forma estable ein<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> las condiciones iniciales).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 17
DistribucionesUna distribución exponencial <strong>de</strong> los tiempos entre llegadas implica una distribución<strong>de</strong> Poisson para las llegadas, es <strong>de</strong>cir, el número <strong>de</strong> llegadas en el intervalo(0, t] es una Poisson. Una distribución <strong>de</strong> Poisson <strong>de</strong>scribe la probabilidad <strong>de</strong>que lleguen n clientes en las siguientes t unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> tiempo:P (X t = n) = e −λt(λt)nn!para n = 0, 1, . . .En la práctica, se habla <strong>de</strong> llegadas Poisson y tiempos <strong>de</strong> servicio exponencial.En general se supone que el sistema se encuentra en estado estacionario (estabilidadin<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>l tiempo).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 18
Notación universal• Objetivo: dados los siguientes parámetros (se suelen estimar estadísticamente)λ ≡ tasa <strong>de</strong> llegadas.µ ≡ tasa <strong>de</strong> servicio.s ≡ número <strong>de</strong> servidores.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 19
Notación universalse calculaρ = λsµ≡ factor <strong>de</strong> utilización <strong>de</strong>l sistema o intensidad <strong>de</strong> tráfico (proporción<strong>de</strong> tiempo esperado en el que los servidores están ocupados). Si ρ < 1 entoncesel sistema se estabiliza. En otro caso el número <strong>de</strong> clientes en el sistemase incrementa sin límite.L ≡ valor esperado <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> clientes en el sistema (la variable se <strong>de</strong>notapor N).L q ≡ valor esperado <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> clientes en cola (la variable se <strong>de</strong>nota porN q ).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 20
Notación universalyW ≡ tiempo medio <strong>de</strong> espera en el sistema (la variable se <strong>de</strong>nota por T ).W q ≡ tiempo medio <strong>de</strong> espera en la cola (la variable se <strong>de</strong>nota por T q ).p n ≡ probabilidad <strong>de</strong> que n clientes estén en el sistema (en estado estacionario).¯c ≡ número medio <strong>de</strong> clientes en servicio.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 21
Relaciones básicas: Mo<strong>de</strong>lo general• Fórmula <strong>de</strong> Little: L = λW y L q = λW q .A<strong>de</strong>más, W = W q + 1 µ .De estas tres fórmulas se <strong>de</strong>duce: L = L q + λ µ .IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 22
Relaciones básicas: Mo<strong>de</strong>lo generalSi resolvemos las ecuaciones anteriores para p i se obtienep 1 = λ 0µ 1p 0p 2 = λ 1λ 0µ 2 µ 1p 0p 3 = λ 2λ 1 λ 0µ 3 µ 2 µ 1p 0· · · = · · ·p n = λ n−1 · · · λ 1 λ 0µ n · · · µ 2 µ 1p 0 .Para calcular p 0 (prob. <strong>de</strong> que el sistema esté vacío), se utiliza:p 0 + p 1 + p 2 + · · · + p n + · · · = 1.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 24
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1En este caso, λ n = λ, µ n = µ, ρ = λ µ< 1 para todo n. Entonces,p n = ρ n p 0 , p 0 = 1 − ρ,por lo que p n = ρ n (1 − ρ).Por tanto,L = E(N) =y <strong>de</strong> la misma forma,∞∑np n =n=0ρ1 − ρ(ejercicio).L q = E(N q ) =∞∑(n − 1)p n = ρ21 − ρn=1(ejercicio).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 25
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1Por la fórmula <strong>de</strong> Little:A<strong>de</strong>más, ¯c = L − L q = ρ.W = E(T ) = L λ = 1µ(1 − ρ)W q = E(T q ) = W − 1 µ =ρµ(1 − ρ) .La probabilidad <strong>de</strong> que haya más <strong>de</strong> k clientes en el sistema es:P (N ≥ k) = 1 −k−1∑n=0p k = 1 −k−1∑n=0ρ n (1 − ρ) = 1 − (1 − ρ)(1 − ρ k )/(1 − ρ) = ρ k .Por tanto,P (N < k) = 1 − ρ k .IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 26
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1: EjemploLa tasa <strong>de</strong> llegadas <strong>de</strong> estudiantes al mostrador <strong>de</strong> una biblioteca es <strong>de</strong> 10por hora. En el mostrador existe una sola persona y atien<strong>de</strong> con una tasa <strong>de</strong> 5minutos por persona. ¿Cuáles son las medidas <strong>de</strong> comportamiento <strong>de</strong>l sistema?• Datos: λ = 10 (tasa <strong>de</strong> llegadas), µ = 60/5 = 12 (tasa <strong>de</strong> servicio), s = 1(número <strong>de</strong> servidores). Se suponen distribuciones exponenciales.• Resultados:L 5 p 0 0.16L q 4.16 p 1 0.14W 0.5 p 2 0.11W q 0.42 p 3 0.09ρ 0.83 p 4 0.08IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 27
Mo<strong>de</strong>lo M/M/sEn sistemas con múltiples servidores (s > 1), la tasa <strong>de</strong> servicio <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>lnúmero <strong>de</strong> clientes en el sistema. En este caso, ρ = λsµ< 1, y se pue<strong>de</strong> probarque1p 0 =y∑ s−1n=0(λ/µ) nn!+ (λ/µ)ss!(1−ρ)p n = (λ/µ)n p 0, si 0 ≤ n ≤ sn!p n = (λ/µ)n p 0, si n > s.s!sn−s IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 28
Mo<strong>de</strong>lo M/M/sA<strong>de</strong>más,L q = (λ/µ)s p 0 ρs! (1 − ρ) 2W q = L qλW = W q + 1 µL = λW = L q + λ µ .Prob. <strong>de</strong> que un nuevo cliente tenga que esperar: p w = ( λ µ )s p 0s! (1−ρ) .IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 29
Mo<strong>de</strong>lo M/M/s: EjemploUn banco dispone <strong>de</strong> 3 ventanillas <strong>de</strong> atención. Los clientes llegan al banco contasa <strong>de</strong> 1 por minuto. El tiempo <strong>de</strong> servicio es <strong>de</strong> 2 minutos por persona.• Datos: λ = 60 (tasa <strong>de</strong> llegadas), µ = 60/2 = 30 (tasa <strong>de</strong> servicio), s = 3(número <strong>de</strong> servidores).• Resultados:L 2.89 p 0 0.11L q 0.89 p 1 0.22W 0.049 p 2 0.22W q 0.015 p 3 0.15ρ 0.67 p 4 0.10IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 30
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1/kEn este caso, si el sistema está lleno (la capacidad es k) no se permite la entrada<strong>de</strong> nuevos clientes al sistema. Por tanto, la tasa <strong>de</strong> llegada efectiva no esconstante y varía con el tiempo (en función <strong>de</strong> si el sistema está lleno o no):λ ef = λ(1 − p k ).En este caso,y no existe estado k + 1.p n = ρ n p 0 ,para n = 0, 1, . . . , kPor tanto,p 0 + p 1 + p 2 + · · · + p k = 1.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 31
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1/kDe la anterior expresión se <strong>de</strong>duce quep 0 =1 − ρ1 − ρk+1, si λ ≠ µp 0 = 1 ,1 + ksi λ = µ.y siempre existe una distribución estacionaria (aunque λ > µ).IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 32
Mo<strong>de</strong>lo M/M/1/kA<strong>de</strong>más, se obtienen las siguientes relaciones:yL = ρ(1 − (k + 1)ρk + kρ k+1 )(1 − ρ)(1 − ρ k+1 , si λ ≠ µ)L = k , si λ = µ.2L q = L − (1 − p 0 )W = Lλ efW q = W − 1 µ .IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 33
Limitaciones <strong>de</strong> los sistemas <strong>de</strong> colas• La resolución analítica <strong>de</strong> los sistemas se complica a medida que los sistemasse hacen más complejos. De hecho, para muchos sistemas no existe resoluciónanalítica.• Ejemplo: un sistema <strong>de</strong> servidores en paralelo y en serie con múltiples canalesy distribuciones generales.• En sistemas <strong>de</strong> colas complejos conviene utilizar simulaciones para estudiarsu comportamiento.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 34
Aplicaciones <strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>Se pue<strong>de</strong>n usar los resultados <strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> para la toma <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisiones:¿Cuántos servidores emplear en el sistema?¿Es mejor usar un único servidor rápido o muchos servidores más lentos?¿Es mejor usar servidores idénticos o servidores específicos?Objetivo: minimizar el coste total = coste <strong>de</strong> servicio + coste <strong>de</strong> espera.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 35
Aplicaciones <strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>• Coste <strong>de</strong> servicio: coste al aumentar la capacidad <strong>de</strong> servicio.La capacidad <strong>de</strong>l servicio se pue<strong>de</strong> aumentar añadiendo más servidores, s ↗,o haciendo servidores más eficientes, µ ↗, etc.Habitualmente, la función <strong>de</strong> coste <strong>de</strong> servicio viene dada por C s s, don<strong>de</strong> C srepresenta el coste por unidad <strong>de</strong> tiempo y servidor.También se utiliza C µ µ, don<strong>de</strong> C µ representa el coste por unidad <strong>de</strong> tiempo yunidad <strong>de</strong> tasa <strong>de</strong> servicio.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 36
Aplicaciones <strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>• Coste <strong>de</strong> espera: coste asociado a la espera <strong>de</strong> los clientes.La espera <strong>de</strong> clientes genera tiempo perdido, pérdida <strong>de</strong> los mismos, etc.Habitualmente, la función <strong>de</strong> coste <strong>de</strong> espera viene dada por C l L(s), don<strong>de</strong> C l<strong>de</strong>nota el coste <strong>de</strong> espera por unidad <strong>de</strong> tiempo y cliente y L(s) es el valoresperado <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> clientes en el sistema para s servidores.También se utiliza C w W (µ), don<strong>de</strong> C w <strong>de</strong>nota el coste <strong>de</strong> espera por unidad <strong>de</strong>tiempo y cliente y W (µ) es el valor esperado <strong>de</strong>l tiempo medio <strong>de</strong> espera en elsistema para una tasa <strong>de</strong> servicio <strong>de</strong> µ unida<strong>de</strong>s.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 37
Aplicaciones <strong>de</strong> Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong>La siguiente figura representa un mo<strong>de</strong>lo típico <strong>de</strong> costes (en euros por unidad<strong>de</strong> tiempo):El coste <strong>de</strong>l servicio aumenta con el incremento en el nivel <strong>de</strong>l servicio pero elcoste por espera disminuye con el nivel.Hay que buscar el nivel <strong>de</strong> servicio que minimiza el coste total.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 38
Ejemplo: ¿cuántos servidores utilizar?Un banco dispone <strong>de</strong> 3 ventanillas <strong>de</strong> atención. Los clientes llegan al banco auna tasa <strong>de</strong> 40 por hora. El tiempo <strong>de</strong> servicio es <strong>de</strong> 3 minutos por persona.El banco se plantea si le conviene aumentar el número <strong>de</strong> ventanillas para satisfacermejor a los clientes.El coste que le supone abrir una nueva ventanilla es <strong>de</strong> 6 euros la hora. El costehorario <strong>de</strong> espera se ha estimado en 18 euros por cliente.• Datos: λ = 40 (tasa <strong>de</strong> llegadas), µ = 60/3 = 20 (tasa <strong>de</strong> servicio), s = 3(número <strong>de</strong> servidores), C s = 6, C l = 18.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 39
Ejemplo: ¿cuántos servidores utilizar?• Resultados:s = 3 s = 4 s = 5L 2.88889 2.17391 2.03980Coste <strong>de</strong> servicio 18.00 24.00 30.00Coste <strong>de</strong> espera 52.00 39.13 36.72Coste total 70.00 63.13 66.72Por tanto, al banco le interesa abrir sólo una ventanilla más.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 40
Ejemplo: ¿un servidor rápido o muchos lentos?En un servidor <strong>de</strong> Internet existen 3 nodos que atien<strong>de</strong>n peticiones a razón <strong>de</strong>50 por minuto. El tiempo medio <strong>de</strong> servicio <strong>de</strong> cada nodo es <strong>de</strong> 3 segundos porpetición.En el servidor se plantean la posibilidad <strong>de</strong> instalar un único nodo con tiempo <strong>de</strong>servicio <strong>de</strong> 1 segundo por petición. ¿Es conveniente esta opción para reducir eltiempo medio <strong>de</strong> espera en el sistema?• Datos: λ = 50 (tasa <strong>de</strong> llegadas), µ = 20 (tasa <strong>de</strong> servicio) con s = 3 (número<strong>de</strong> servidores), y µ = 60 con s = 1.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 41
Ejemplo: ¿un servidor rápido o muchos lentos?• Resultados:s = 3 s = 1W 0.1202 0.1000Por tanto, es más conveniente utilizar un or<strong>de</strong>nador más rápido.IO 06/07 - Teoría <strong>de</strong> <strong>Colas</strong> 42