Guía de Logaritmos (1)

LMDEAlgebraEjercicios Logaritmos (1)DefiniciónI. Previo.1) ¿Qué valor de x es solución de la ecuación 2 x = 32 ?. Respuesta. x = 5, ya que 2 5 = 32 .xNotar que, en la ecuación 2 = 32la variable es el exponente.2) ¿Qué valor de x satisface la ecuación 2 = 25 ?.Solución. Como 2 4 = 16 y 2 5 = 32 , luego el valor de x que satisface la ecuación 2 = 25debe ser un número entre 4 y 5.Usando calculadora, se puede obtener un valor aproximado de x , completando tabla de valores:xx2 xx24 16 4,61 ≈ 24,4204,1 ≈ 17,148 4,62 ≈ 24,5904,2 ≈ 18,379 4,63 ≈ 24,7614,3 ≈ 19,699 4,64 ≈ 24,9334,4 ≈ 21,112 4,65 ≈ 25,1074,5 ≈ 22,627 Luego: x toma un valor4,6 ≈ 24,251 entre 4,64 y 4,654,7 ≈ 25,992Por lo tanto x = 4,64………Luego: x toma un valor entreNotar que 2 64 ≈ 24,9334,6 y 4,7Completando una nueva tabla, se encuentra que x toma un valor entre 4,643 y 4,644; esdecir, una solución más aproximada es x = 4,643 ………., etc.Notación.•xAl número x tal que 2 = 25 se denota log 225 y se lee “logaritmo de 25 en la base 2”.Luego log 225 ≈ 4,643.....x• Al número x tal que 2 = 32Notar que log 232 = 5.se denota log 232 y se lee “logaritmo de 32 en la base 2”.II. Definición. El logaritmo de un número M en una base a , denotado log aM es el exponente allog Mque se debe elevar la base a para obtener M. Es decir a a= M .Nota: La base a es un número real positivo, distinto de 1.Luego:log ( M ) x si y solo si a x = Ma=Ejemplos1) log 232 = 5 , ya que 2 5 = 322) Como 3 2 = 9,luego log 39 = 21

3) Como 16 1 / 2 = 16 = 4 , luego4) Calcule log 381.1log 16(4) = .2Solución. Una manera de calcular log 381 es como sigue: Sea log 381 = x . Luego,x3 = 81. Como481 = 3 , luego = 4x . Por lo tanto log 381 = 4.5) Calcular a) log 16(8)b) log 390Solución.xa) Sea log 16(8) = x . Se debe encontrar x tal que 16 = 8 , equivalente a33Resolviendo la ecuación 4 x = 3 se obtiene x = . Luego log 16(8) = .444 x 32 = 2xb) Sea log 390 = x . Luego, se debe resolver 3 = 90 . Como 3 4 = 81 y 3 5 = 243,luego x es un número entre 4 y 5, por lo tanto x = 4,......Como ejercicio, calcule unvalor aproximado de x con dos decimales.6) ¿Existe log 2( − 8)?. Justifique.xSolución. Sea log 2( − 8)= x . Luego, se debería resolver 2 = −8.x¿Existe un valor de x tal que 2 = −8?.7) ¿Existe log 421 ?. Justifique su respuesta.Solución. Sea log 421 = x . Luego, se debería resolver 42 x = 1. Verifique que x = 0es solución de esta ecuación. Luego log 421 = 0.8) ¿Existe log 40 ?. Justifique.Solución. Sea log 40 = x . Luego, se debería resolver 4 x = 0 .¿Existe un valor de x tal que 4 x = 0 ?.9) Ejercicio. ¿Existe cada uno de los siguientes logaritmos?. Escriba una conclusión.a) log 2( − 32)b) log 4( − 64)c) log 1/2( − 16)d) log(− 100).III. Logaritmos en una base especial: base 10 , es decir a = 10 .El logaritmo de un número M en la base 10, usando la notación dada anteriormente quedaríalog10M .Sin embargo, el logaritmo de M en base 10, se denota usualmente log(M ), o simplementelog M , sin escribir explícitamente la base 10.Luego, cuando en una expresión con logaritmo no aparece anotada la base, significa que labase es 10. Así:log M = x si y solo si 10x = MEjemplos1) log( 100) = 2 , ya que 10 2 = 100.2) Como 10 3 = 1000,luego log 1000 = 3.−3) Como 10 1 = 0, 1, luego log( 0,1) = −1.Nota. Las calculadoras científicas tienen una tecla especial para calcular logaritmos en base 10.La tecla es log2

IV. Ejercicios1) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta:a) log 3243 b) log 5125 c) log 636 d) log 497 e) log 84⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞f) log 927 g) log 3 ⎜ ⎟ h) log 2( 0,125)i) log 4 ⎜ ⎟⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠2) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta:5454a) log3 (3 ) b) log3 (9 ) c) log9 (3 ) d) log 9(27)e) log9(27 )44f) log1 / 9(3) g) log 16(4)h) log 27(81)i) log1 / 9(3) i) log 25(125)3) Verifique cada afirmación, y escriba el exponente usando notación de logaritmo:a) 3 7 − 1= 2187 b) 4 5 = c) 123 0 = 1 d) 10000 1 / 2 = 100e) 4 1 , 5 = 810244) Calcule cada expresión:loga) 3 9log 323 b) 2 2logc) 5 125log(1000)5 d) 105) Calcule cada logaritmo, ¿qué concluye?a) log 3(1)b) log 51(1)c) log 1 / 7(1)d) log 123(1)6) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta:a) log( 10000)b) log 10c) log 0, 001⎛ 1 ⎞4d) log 1e) log ⎜ ⎟ f) log1/ 9(3)⎝10000⎠745g) log(10 )h) log100 (1000 )i) log (10 )j) log 100(10)k) log 100(1000)l) log 1(100)7) Use calculadora para estimar cada logaritmo. Compruebe, calculando una potencia:⎛ 1 ⎞a) log( 5)b) log 2 c) log 25 d) log 50 e) log ⎜ ⎟⎝ 5 ⎠f) log( 450)g) log( 315)h) log( 31,5)i) log( 3,15)8) Para cada valor de M = C ⋅ D , calcule log(M ) , y verifique usando calculadora, que:log( C ⋅ D)= logC+ log Da) M = 2 ⋅ 5b) M = 25⋅ 40c) M = 25⋅ 7d) M = 123⋅ 325e) M = 45,5⋅ 375f) M = 376,27⋅100000t9) Para cada valor de M = C , calcule log(M ) , y verifique usando calculadora, que:a)d)5M = 2b)15M = 13e)log(C t)=t ⋅ logCM12c)5= 25M = 0,1f)0 ,10 ,M = 10 −2M = 62510) Sean A , B,C n os reales positivos tales que log A = 3, 102 , log B = 103, 237 , logC= −23, 108calcular:5−10a) log( A⋅ B)b) log( A⋅ C)c) log( A ) d) log( C )3 −72 3712 0e) log( A ⋅ B ) f) log( A ⋅ B ⋅ C)g) log( ( B ⋅ C) ) h) log( A ⋅ B )1/ 23