Solución - IqTMA-UVa

FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009APELLIDOS ____________________________________ NOMBRE ________________________CRITERIOS DE PUNTUACIÓN:Nota =PuntosMáximo(36.6)1. El sistema que se muestra en la figura corresponde a dos discos paralelos horizontales, cuyo diámetro esmucho mayor que la distancia inicial que los separa (δ o ). El espacio intermedio está ocupado por un líquidoviscoso. El proceso se inicia con el desplazamiento descendente del disco superior, a una velocidad constante V,que obliga al líquido comprendido entre los discos a salir por los bordes.VVδ ozr(a) Admitiendo flujo laminar, proceso isotérmico y propiedades físicas constantes, simplifique las ecuaciones decontinuidad y movimiento que se dan a continuación, aplicadas al espacio comprendido entre los dos discos.Señale en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, anotando bajocada uno de ellos el número correspondiente de la relación numerada. Encuadre finalmente los términos que nose anulan. (5 Puntos).Ecuación de Continuidad:Ecuación de Movimiento:∂ρ 1 ∂ 1 ∂ ∂+ ( ρ rvr) + ( ρ vθ) + ( ρ vz) = 0∂t r ∂r r ∂θ ∂z1 2⎛2∂vr ∂vr vθ ∂vr vθ ∂v ⎞r ∂p⎛ 1 ∂ 1 ∂τrθ τθθ∂τrz⎞ρ + vr + − + vz = − − ( rτ rr ) + − + + ρg⎜rt r r r z ⎟ ⎜ ⎟⎝∂ ∂ ∂θ ∂⎠∂r ⎝r ∂r r ∂θ r ∂z⎠2 245⎛∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ vrvθ ∂v ⎞θ 1 ∂p⎛ 1 ∂ 2 1 ∂τθθ ∂τθz⎞ρ + vr + + + vz = − − ( r τ )2rθ+ + + ρg⎜⎜ ⎟t r r r z ⎟⎝∂ ∂ ∂θ ∂⎠r ∂θ ⎝r∂r r ∂θ ∂z⎠23 4 3 4 5⎛∂vz ∂vz vθ∂vz ∂vz ⎞ ∂p⎛ 1 ∂ 1 ∂τθz∂τzz⎞ρ ⎜ + vr + + vz ⎟ = − −⎜ ( rτ rz)+ + ⎟ + ρgz⎝ ∂t ∂r r ∂θ ∂z ⎠ ∂z ⎝r ∂r r ∂θ ∂z⎠34θ1. Fluido incompresible.2. Análisis del perfil de velocidad: v(, trz , ) v(, trz , ) v θ = 0z∂3. Simetría cilíndrica: = 0, p θ = 0∂θ4. Análisis de esfuerzos cortantes (ver APÉNDICE): τ rθ =τ zθ = 0 τrr, τθθ, τzz, τ rz( r , )5. Discos horizontales: g = = 0rg θrFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 1

(b) Condiciones límite para integrar la ecuación (2 Puntos).t = 0 → v = 0 v = 0z = 0 → v = 0 v = 0z =δ −Vt → v = 0 v =−Vo r z∂vr∂vzr = 0 → = 0 = 0∂r∂r∂vr ∂vz ∂vrr = R → τ . n = 0 → = 0= −∂r ∂r ∂zr = R , z = δ −Vt → p = pdisco o atmrrzz(c) Calcule, a partir del perfil integrado de presión y velocidad, la fuerza que debe ejercer el disco superior.(3 Puntos)La fuerza se ejerce en dirección z:R 2π⎛ ∂vz⎞Fz = ∫ ( τ zz + p)dS = 2 p rd drz=δo−Vt∫ ⎜− μ + θ0 ∫0∂z⎟⎝⎠Sz=δ −Vto2. El secado de sólidos en un lecho fluidizado tiene las ventajas deproporcionar un buen contacto entre las fases gas--sólido, y operar encondiciones de alta uniformidad de temperatura. En la figura se muestra elesquema de un lecho fluidizado, que opera en régimen estacionario, en el quese ponen en contacto una corriente de partículas húmedas (F s kmol/s) a latemperatura T s , y una corriente de de aire seco caliente (F a kmol/s), a latemperatura T a . El aire, con la humedad evaporada, abandona el lecho por laparte superior arrastrando las partículas que ya están completamente secasDATOS: Y 0 = humedad inicial de las partículas, kmol H2O /kmol sólido húmedo ,SólidohúmedoF sd p = diámetro de una partícula sólida, m.Se facilitan también la ecuaciónes de correlación de los coeficiente detransferencia:0.5 0.330.5 0.33Nu = 2.0 + 0.69Re PrNuAB= 2.0 + 0.69Re Scy y aTay H2Oy H2OAirecaliente(a) Dibuje sobre los siguientes diagramas los perfiles de temperatura y concentración (agua y aire) en el entornode una partícula. (2 Puntos)F aSólido seco +Aire húmedoRrRrFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 2

(b) Simplifique el siguiente balance macroscópico de materia, aplicado al agua, y calcule con él la concentraciónde agua en la corriente gaseosa de salida (y H2O ). Tome como volumen de control las paredes del reactor. (2Puntos)d M ( m)itot , =−Δ W i + W i+ R i itot , = 12 , ,...,ndtComo el régimen es estacionario, y no hay flujo a través de las paredes del sistemareacción ( R itot , = 0) :( m)i( W = 0) ni−Δ W H 2 O = 0Es decir, todo el agua que entra con el sólido húmedo sale evaporado en la corriente gaseosa:yFY F yF YH2Os 0s 0 = a ⇒ H2O=1− yH2O Fa+FsY0(c) Simplifique también el balance macroscópico de energía y calcule la temperatura de la corriente de salida (T).(2 Puntos)⎡3dE⎛ˆ ˆ 1 v ⎞ ⎤totˆ( m)=−Δ ⎢⎜U + PV + +Φ ⎟w⎥+ Q + Q−Wdt ⎢⎜2 v ⎟ ⎥⎣⎝⎠ ⎦Como el régimen es estacionario, no se intercambia trabajo (W=0) y no hay flujo a través de las paredes( m)del sistema ( Q = 0) ; si además se admite que el aislamiento permite despreciar las pérdidas de calorpor las paredes (Q=0), y se desprecian por su valo valor las contribuciones de las energías cinética ypotencial, se obtiene:−Δ ( Uˆ+ PVˆ) = −Δ H = 0Calculando las entalpías de las corrientes de entrada y de la corriente de salida:( ) ( )Fc + FYc T + Fc T = Fc + FYc + Fc T+ FYΔHs p, s s 0 p, H2 O s a p, a a s p, s s 0 p, H2 O a p, a s 0 vap, H2O, donde T s es la temperatura de entrada de la corriente de sólido, y Δ H vap , H 2 O la entalpía de vaporizacióndel agua (kJ/kmol H2O ) a la temperatura T.(d) Conocidas las variables anteriores, y la masa de partículas en el interior del lecho (m L ), indique como calcularíala temperatura en la superficie de las partículas (T*). (4 Puntos).Se calcula a partir del coeficiente de transmisión de calor, teniendo en cuenta que el calor necesario paraevaporar el agua sobre la partícula debe suministrarlo el aire:FY s 0ΔHFY s 0 Δ Hvap= hST ( −T*) ⇒ T*= T−hSEl coeficiente se calcula a partir de la correlación:kNu0.5 0.33h = = 2.0 + 0.69Re PrdLa superficie (S) se calcula a partir de la masa de partículas en el lecho (m L ):pπ ⎫m = d ρ N m6⎪⎬ ⇒ S =2dS dpρ=π pN⎪p ⎭3L p p p 6 L, siendo ρ p la densidad de las partículas, y N p el número de partículas en el lecho.pvapFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 3

(e) Explique ahora cómo calcularía la masa de partículas en el interior del lecho (m L ), suponiendo conocida latemperatura en la superficie de las partículas (T*). Nota: en la práctica los apartados (d) y (e) se resuelven deforma simultánea. (4 Puntos).La velocidad de evaporación del agua (W H2O kmol/s) se puede calcular por un balance de materia ytambién a partir del coeficiente de transferencia de materia (k x ), para el caso de capa estancada:k SW F Y ( y y )x *H2O= s 0 =* H2O−H2O1−yH2O, siendo k x el coeficiente de transferencia de materia, y H2Ola fracción molar de agua en la fase global*gaseosa (calculada en el apartado b), e y la fracción molar de agua en la interfase.H2O[1]El coeficiente se calcula con la ecuación de correlación:cDABNuAB 0.5 0.33 PTkx= = 2.0 + 0.69Re Sc , c =DRTpLa fracción molar en la interfase se calcula por la ley de Raoult:oyo* pH2OH2OPT= , donde la presión de vapordel agua ( p H2O) se debe calculas a la temperatura de la interfase (T*). La presión total es P T .Con la ecuación [1] se calcula la superficie total de partículas, y con ella la masa de partículas:π ⎫m d N SdS3L =6p ρ p p ⎪ p ρ⎬ ⇒ mpL =26=πdpN⎪p⎭3. Considere una partícula esférica de catalizador, sobre cuya superficie tiene lugar la reacción en fase gasA⎯⎯→←⎯ 2B. La reacción es fuertemente exotérmica y muy rápida, pudiéndose admitir que se alcanza el equilibriode forma instantánea. Admítase régimen estacionario.(a) Dibuje sobre los siguientes diagramas los perfiles de temperatura y concentración (A y B) en el entorno de lapartícula. (2 Puntos).y Ay By ATy BRrRrFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 4

(b) Indique si los términos que se indican a continuación relativos a los procesos de transferencia en el entorno delas partículas de catalizador, son positivos (+), negativos (-) o nulos (0). (Cada pregunta: +0.20/-0.10 Puntos)+/-/0 A B Total +/-/0 A B Total v 0N ir - + +DN irDt0 0 0*v +*J ir - + 0Dy iDt0 0 0DTDt0n ir - + 0∂T∂r-j ir - + 0 q +(c) Simplifique la ecuación de continuidad que se muestran a continuación aplicada al fluido en el entorno próximode la partícula, indicando en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos,y anotando bajo cada término tachado el número correspondiente. Encuadre finalmente los términos que no seanulan (4 Puntos).∂cA ⎛ ∂cA 1∂cA 1 ∂cA⎞+ ⎜vr+ vθ+ vφ⎟ =∂t ⎝ ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ ⎠1 2 2 2⎛21 ∂ ⎛ 2 ∂cA ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂cA ⎞ 1 ∂ c ⎞A= DAB⎜r + sen θ + R2 2 2 2 2+r ∂r⎜r⎟ ⎜ ⎟⎝ ∂ ⎠ r sen θ ∂θ⎝ ∂θ ⎠ r sen θ ∂φ ⎟⎝⎠3 3 41. Régimen estacionario.2. Análisis del perfil de velocidad: vθ= vφ= v r = 0∂ ∂3. Simetría esférica: = = 0∂θ ∂φ4. No hay reacción en el fluido, sólo en la superficie.A(d) Condiciones límite. (2 Puntos)r = R → c = cr =∞ → c = cAAequilibrioAfase globalAFENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 5

APÉNDICEComponentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas⎡ ∂v2 r ⎤τ rr = −μ⎢2 − ( ∇. v)r 3⎥⎣ ∂⎦1⎡ ⎛ 1 ∂vθvr⎞ 2 ⎤τ θθ = −μ ⎢2 ⎜ + ⎟ − ( ∇. v)⎥⎣ ⎝r∂θ r ⎠ 3 ⎦21⎡ ∂vz2 ⎤τ zz = −μ⎢2 − ( ∇. v)∂z3⎥⎣⎦1⎡ ∂ ⎛vθ⎞ 1 ∂vr⎤τ rθ= τ θr= −μ ⎢r⎜ ⎟ + ⎥⎣ ∂r ⎝ r ⎠ r ∂θ ⎦2 3⎡∂vθ1 ∂vz⎤τ zθ= τ θz= −μ ⎢ +z r⎥⎣ ∂ ∂θ ⎦2 3⎡∂vz∂vr⎤τ zr = τ rz = −μ ⎢ +∂r∂z⎥⎣ ⎦ 1 1 ∂vθ∂vz∇ = + +r ∂r r ∂θ ∂z1∂( . v) ( rvr)Balances macroscópicosdmATOT, ( m)MATERIA A :=− Δw A + wA+ rdtATOT ,⎛ 2u ⎞dP( m)CDMz: =−Δ⎜w ⎟− Δ( pS)+ F + F + mTOTgdt ⎜ u ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞dE. MECANICA : ( K A ) w ( w) ( Gw)B W Edt⎜2u ⎟⎝ ⎠31 uˆ ˆ ( m)TOT + ΦTOT + TOT = −Δ⎜⎟−Δ Φ − Δ + − − v⎛ 31 u ⎞dETOTˆ ˆ ˆ ( m)ENERGIA : =−Δ( Uw) −Δ( pVw) −Δ⎜w ⎟− Δ( Φw)+ Q + Q −Wdt⎜2u ⎟⎝ ⎠Ecuaciones de variación multicomponentes en función de las densidades de flujoCoordenadas rectangulares:∂cNA⎛ ∂N∂⎜Ax+t+∂ ⎝ ∂x∂yAy∂N+∂zAz⎞⎟= R⎠ACoordenadas cilíndricas:∂cA⎛ 1 ∂+ ⎜ rN∂t⎝ r ∂rCoordenadas esféricas:∂cA⎛ ∂+ ⎜ rt2∂ ⎝ r ∂rAθAz( ) + + ⎟ = RA1 2Ar1 ∂Nr ∂θ∂N∂z⎞⎠1 ∂1 ∂NAφ⎞( NAr) +( NAsenθ) +⎟θ= RAr senθ∂θr senθ∂φ⎟⎠FENOMENOS DE TRANSPORTE JUNIO 2009 p. 6