probabilidad de ruina con el modelo clasico de cramer-lundberg ...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LAMIXTECA“PROBABILIDAD DE RUINACON EL MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERGPARA DISTRIBUCIONES DE COLA LIGERA”T E S I SPARA OBTENER ELTÍTULO DE:LICENCIADO EN MATEMÁTICAS APLICADASPRESENTA:ALMA DELIA MALDONADO SANTIAGODIRECTOR:M.C. JOSE DEL CARMEN JIMÉNEZ HERNÁNDEZCO-DIRECTOR:DRA. EKATERINA TODOROVA KOLKOVSKAHUAJUAPAN DE LEÓN, OAXACA, JULIO DE 2011.

Probabilidad de ruina con el modelo clásico deCramer-Lundberg para distribuciones de cola ligera.Maldonado Santiago Alma DeliaJulio de 2011

DedicatoriaA mis padresPedro y Maria.Por que a ellos les debo todo lo que soy.

AgradecimientosMi más sincero agradecimiento es para la Dra. Ekaterina Todorova Kolkovskapor haber compartido conmigo parte de su amplio conocimiento en la realizaciónde esta tesis, por todo su apoyo y paciencia.Deseo agradecer al M.C Jose Del Carmen Jiménez Hernández por toda su dedicación,apoyo incondicional y enseñanzas que me brindo a lo largo del presentetrabajo.A mis padres Pedro y Maria les agradezco sus consejos, su guía y su confianzaen la realización de mis sueños. Soy afortunada por contar siempre con su amor,comprensión y ejemplo.A mis hermanos Victor y Miguel por que me han dado lecciones importantesde vida e inspirado a lograr grandes cosas aún sin darse cuenta, me han amadoy llenado de felicidad.A mis mejores amigos Cristian, Fredy, Estela y Luis por ser unos amigos increíblesy con quienes he compartido momentos maravillosos que siempre llevaréen mi corazón, ustedes han enriquecido mi vida con su cariño y alegría.Gracias por recordarme que hay personas valiosas en el mundo y gracias porestar en el mio.A mis sinodales M.C. Vulfrano Tochihuitl Bueno, M.C. Marisol López Cerinoy Dra. Virginia Berron Lara por su tiempo y comentarios para mejorar estetrabajo. Muy en especial a la Dra. Virginia por no ser solamente una profesorasino una amiga incondicional, una consejera y una aliada en todo lo quenecesitaba.Al CIMAT, por que sin conocerme me brindaron todo su apoyo, durante misestancias profesionales y durante la realización del presente trabajo.

Índice generalPrefacioVI1. Introducción 11.1. Riesgo y su relación con las compañías aseguradoras . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Algunos conceptos de seguros y finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Modelo de riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Conceptos Preliminares 72.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Variables aleatorias multivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Procesos de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Teoría de renovación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6. Distribuciones de Cola Ligera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. Modelo clásico de Cramer-Lundberg y probabilidad de ruina 253.1. Modelo clásico de Cramer-Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Aproximación de Cramer-Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1. Caso exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Transformadas de Laplace y fórmula de Pollaczek-Khinchin . . . . . . . . . . . 403.4. Fórmula recursiva de Panjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. Cotas para la probabilidad de ruina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474. Aproximaciones numéricas y simulaciones 534.1. Cálculos numéricos y exactos de la probabilidad de ruina . . . . . . . . . . . . 534.1.1. Reclamos que son mezcla de exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2. Reclamos que se distribuyen de acuerdo a una gamma . . . . . . . . . . 594.2. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1. Caso exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2. Caso gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Conclusiones 67A. Cotas bilaterales 69v

viB. Fórmulas de Cardan 73Bibliografía 75

viiPrefacioEl riesgo, es un término al que diariamente se enfrenta el ser humano, existen distintasformas de considerar el riesgo, dependiendo el área o el enfoque en el cual se esté considerando.La palabra riesgo se emplea para describir sucesos o eventos desconocidos con cierto grado deincertidumbre, dicha incertidumbre puede ser negativa o positiva.Es difícil encontrar un solo campo de actividades humanas donde se pueda tener el controlabsoluto de lo que sucederá en el futuro. Dentro del ámbito financiero esto no es la excepción,constantemente se necesitan hacer predicciones para maximizar los recursos utilizados.Particularmente para las compañías aseguradoras el término riesgo y saber medirlo correctamentees de vital importancia para su supervivencia. Dentro del área de las matemáticas,la rama que se encarga de esta tarea es la teoría de riesgo.Justamente uno de los problemas más estudiados dentro de la teoría de riesgo es la probabilidadde ruina de la compañía. Este problema fue principalmente estudiado en los trabajosde Lundberg y Cramer. Lundberg introdujo un modelo para estudiar el flujo del capital deuna compañía aseguradora conocido como el modelo clásico de riesgo.Esta tesis busca exhibir parte de la teoría de riesgo para distribuciones de probabilidadde cola ligera, basada en el modelo clásico de Cramer-Lundberg.En el primer Capítulo se proporciona una introducción acerca del riesgo, su relación conlas compañías aseguradoras y se describe brevemente las consideraciones hechas en el modelode riesgo.En el segundo Capítulo se muestran conceptos de probabilidad, necesarios para podercomprender el modelo de Cramer-Lundberg, se definen las distribuciones de cola ligera, valoresperado, transformada de Laplace entre otros. También se incluyen algunos teoremas y resultadosútiles de Teoría de renovación.En el tercer Capítulo se describe el modelo clásico de riesgo, así como la aproximaciónde Cramer-Lundberg, la fórmula de Pollaczek-Khinchin que proporciona un forma cerradade la probabilidad de ruina, el algoritmo de Panjer, el cual obtiene distribuciones de proba-

viiibilidad de variables aleatorias de manera recursiva y algunas cotas de probabilidades de ruina.Finalmente en el Capítulo cuatro, con el objetivo de emplear la teoría descrita en losCapítulos anteriores, se muestran algunas aproximaciones de probabilidades de ruina considerandodistribuciones de cola ligera y simulaciones de trayectorias de riesgo.

1Capítulo 1IntroducciónTodos nuestros pensamientos, decisiones y en general todas las acciones humanas conllevanun riesgo, el riesgo se considera como una amenaza para el hombre, ya que no se sabe concerteza que consecuencias ocasionará. Es por ello, que siempre es importante analizar lamagnitud e intensidad de los riesgos a los que diariamente el ser humano se enfrenta.Formalmente el riesgo se define como:La contingencia en la proximidad de un daño, es decir, la incertidumbre que existe deque un hecho negativo o peligroso ocurra.Una medida de pérdida potencial y económica en términos de la posibilidad de ocurrenciade un evento no deseado, aunado con la magnitud de sus consecuencias.Por representar algo negativo para el hombre, éste se ha dado a la tarea de clasificarlos,ya que en todas las ramas de las ciencias se presentan o se tienen contemplados riesgos. Algunosde ellos son los riesgos económicos, sociales, físicos, biológicos, psicológicos y financieros.Particularmente, el riesgo es un concepto importante en economía, debido a que día condía es necesario contar con estrategias y métodos para el buen manejo de nuestros bienes yrecursos, así se han diseñado herramientas para tratar de reducir las perdidas económicas queayuden a la economía de los individuos. Nuestro interés estará particularmente centrado enel riesgo financiero y en el riesgo económico.El riesgo económico hace referencia a la incertidumbre en el rendimiento de la inversióndebido a los cambios producidos en la situación económica de una empresa.A modo de ejemplo, dicho riesgo puede provenir de:La política de gestión de la empresa.La política de distribución de productos o servicios.La aparición de nuevos competidores.La alteración en los gustos de los consumidores.

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓNEl riesgo económico es consecuencia directa de las decisiones de inversión que previamentese determinaron por una empresa.Por otra parte, el riesgo financiero se refiere a la incertidumbre asociada al rendimiento dela inversión debido a que la empresa no puede hacer frente a sus obligaciones financieras. Esdecir, es la posibilidad de obtener resultados diferentes a los esperados como consecuencia delas distintas variables de inversión.Cuando la empresa que se ve involucrada es una compañía aseguradora se habla de un riesgoactuarial, el riesgo actuarial se refiere a la incertidumbre que existe de que una compañíaaseguradora, sea capaz de cumplir o solventar las reclamaciones de todos sus asegurados.Particularmente la teoría de riesgo se ha centrado en estudiar el manejo de reservas deuna compañía aseguradora y de estimar las posibilidades de ruina de dicha aseguradora.Considerando distintos factores, como el capital inicial, el número de reclamos y el tamañode los reclamos, con el propósito de ponderar las consecuencias del riesgo de interés.1.1. Riesgo y su relación con las compañías aseguradorasA lo largo de la historia siempre han existido tanto accidentes y desastres naturales, situacionesen las que el término riesgo se ve involucrado, puesto que en muchas ocasiones no seestá preparado para tales emergencias y en consecuencia no se pueden solventar económicamente,por tal motivo, se suelen contratar a compañías aseguradoras para prepararse en estassituaciones.De manera general una compañía de seguros opera de la siguiente manera: existe un grupode personas que reconocen estar expuestos a algún tipo de riesgo (algo peligroso) hacia supersona o en sus propiedades y que dichos riesgos pueden causarles consecuencias graves, ensu economía o inclusive la pérdida de sus vidas.Entonces, contratan un seguro donde cada una de estas personas pagan una cantidad dedinero llamada prima a la compañía aseguradora, la que en dicho momento hace la firmepromesa de apoyar monetariamente a todas aquellas personas que sufran algún tipo de daño,en el tiempo de vigencia del seguro. Por lo tanto aunque no se conozca con certeza cuantaspersonas requerirán la protección de la compañía, el capital obtenido de manera colectivadebe ser suficiente para solventar los gastos que se presenten, sin duda alguna la pregunta demayor interés para la compañía aseguradora es la siguiente:¿ Hasta qué punto la compañía aseguradora se puede solventarse?Es decir, ¿cuál es la probabilidad de no ruina en la compañía?, esta interrogante ha hechoque se desarrollen investigaciones acerca de lo lejos o cerca que una compañía de seguros seencuentra de la ruina, empleando de manera formal conceptos matemáticos para describir losmovimientos de la compañía.Las compañías de seguros, aparecieron en el siglo XV en Italia y Holanda. Al principioaseguraban el transporte de bienes por vías marítimas y posteriormente ampliaron su cober-

1.1. RIESGO Y SU RELACIÓN CON LAS COMPAÑÍAS ASEGURADORAS3tura a envíos por rutas a través de continentes, ríos y lagos. Para fijar las primas de seguro,estas compañías evaluaban los riesgos a los que estaban sometidos los envíos, y como resultanatural, a un riesgo mayor le asignaban una prima mayor, de hecho, la prima para envíosmarítimos oscilaba entre 12 % y 15 % del valor de los bienes asegurados, mientras que paralos envíos continentales la prima variaba entre 6 % y el 8 %.Desde hace ya bastante tiempo, la principal característica en una compañía de seguros esla incertidumbre asociada al tamaño de los reclamos que la compañía recibe por parte de susasegurados, en un determinado tiempo. Una de las mejores formas de calcular dicho riesgo oincertidumbre es a través de la teoría de la probabilidad.La probabilidad recientemente se ha dedicado de manera muy formal a estudiar este tipo defenómenos de riesgo, es así que del riesgo actuarial se ha desprendido el estudio de la teoríade riesgo, la cual estudia la vulnerabilidad de una compañía aseguradora a la insolvencia oruina.El punto de partida de la teoría de riesgo fue sin duda el modelo clásico de riesgo introducidoen 1903 por el actuario sueco Filip Lundberg en su tesis doctoral. Desde este año, élproponía algunas fórmulas asintóticas para la probabilidad de ruina de una compañía aseguradoraen la que los siniestros o reclamos de sus asegurados eran pequeños. Este modelo fueestudiado más tarde por el estadístico y probabilista Harald Cramer (1930), introduciendonuevos métodos en teoría de riesgo, para publicar su libro “On the mathematical theory ofrisk”.El modelo clásico fue extendido más adelante para relajar supuestos sobre la distribucióndel tiempo de la inter-demanda, la distribución de los tamaños de los reclamos, etc., en lamayoría de los casos, el objetivo principal del modelo clásico y sus extensiones era calcular laprobabilidad de ruina.Más tarde Cramer (1932) también propuso fórmulas asintóticas para la probabilidad deruina, retomando algunas ideas de Lundberg y dos años mas tarde propone algunas aplicacionesnuméricas a la teoría de riesgo.Una de las fórmulas más famosas dentro del campo de la teoría de riesgo es sin duda lade Pollaczek-Khinchin, la cual surge en el contexto de teoría de colas por N.U. Pabhu (1965),dicha fórmula permite realizar cálculos de probabilidades de ruina para casos generales deacumulación, puesto que en ella no se especifica si los reclamos son grandes (cola pesada) opequeños (cola ligera).La aproximación de Panjer (1980) fue útil para que Gerber empleara aplicaciones por mediodel algoritmo de Panjer, para calcular reaseguros tipo stop-loss. En general dicho algoritmoes bastante famoso en el estudio de la teoría de riesgo, por que proporciona probabilidadesde ruina de forma recursiva, comúnmente la aplicación del algoritmo emplea la fórmula dePollaczek-Khinchin.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓNJ. Abate y W. Whitt (1992) realizan estudios sobre métodos para transformadas de probabilidad,por medio de series de Fourier y transformadas de Laplace, lo que proporcionó unmétodo exacto para calcular la probabilidad de ruina en algunos casos. Taylor (1976) obtuvocotas por arriba y por abajo de las probabilidades de ruina.Se estudian probabilidades de ruina para procesos de riesgo más generales donde se consideranincrementos independientes y estacionarios, al momento de tomar en cuenta la llegadade los reclamos y en donde dichos reclamos se discuten en intervalos finitos e infinitos estudiadospor Dufresne y Gerber, ademas de estos temas, ellos estudiaron distribuciones conjuntasdel tiempo de ruina del surplus antes y el deficit al tiempo de ruina.Los libros de Rolski et al (1999) y Jan Grandell (1991) serán usados en esta tesis parapoder obtener información más completa sobre el modelo clásico de Cramer-Lundberg.1.2. Algunos conceptos de seguros y finanzasPara cumplir con el objetivo de brindar protección a sus asegurados, la aseguradora entraen un proceso para determinar cuanto será el monto de la prima a cobrar y los intervalos detiempo en los que la recibirá, a fin de solventarse. Dentro de esta discusión de asignacionesentran en juego factores tanto deterministas como estocásticos de diversa índole.Entre los factores que tienen un comportamiento estocástico y que se analizarán a lo largo deesta tesis se pueden mencionar los siguientes.Época o periodos de reclamos.Denotados por W 1 , W 2 , ..., son los reclamos que llegan a la aseguradora.Número de llegada de reclamos al tiempo t.Denotado por N(t), donde N(t) = sup{n : W n ≤ t}. Se refiere al número de reclamacionesque llegan a la aseguradora en un determinado periodo de tiempo.Tamaño de los reclamos.Los reclamos ocurridos al tiempo W n tienen un tamaño denotado como Z n .Cantidad de reclamos hasta el tiempo t.Denotado por S(t) = ∑ N(t)i=1 Z i, donde para N(t) = 0, el valor de S(t) será 0.S(t) es el monto que afronta una compañía aseguradora por concepto de reclamacionesdurante un periodo completo de tiempo.

1.2. ALGUNOS CONCEPTOS DE SEGUROS Y FINANZAS 51.2.1. Modelo de riesgoMuchas veces se piensa que los resultados teóricos, son difíciles de aplicar en la vida real.Sin embargo, el cálculo de aproximación y de probabilidades de ruina han sido una fuenteconstante de inspiración en el desarrollo de las matemáticas actuariales.El momento de ruina de una compañía ocurre cuando su capital es negativo, debido a queno fue posible que cumpliera con todas las reclamaciones hechas por sus asegurados. Comoya se ha mencionado existen distintos factores a considerar, pero quizás uno de los mas importantesea el tamaño de los reclamos, es decir, que tan grandes o pequeños son. Con baseen dicha observación se ha hecho una clara división entre suponer reclamaciones grandes ypequeñas, puesto que en una compañía no se sabrá a ciencia cierta que tipo de reclamaciónllegara.Particularmente en este trabajo se asumirá que las reclamaciones son pequeñas, en basea este supuesto se explicará el modelo clásico de riesgo. Básicamente el modelo hace lossiguientes supuestos:i) La llegada de los reclamos a la compañía, son descritos por medio de un proceso puntual,el elegido es el proceso de Poisson.ii) El tamaño de los reclamos se asume que son variables aleatorias independientes e idénticamentedistribuidas.iii) El proceso puntual y las variables aleatorias son independientes.iv) La prima es constante y se recibe por cada unidad de tiempo.En el siguiente Capítulo se estudiarán algunos conceptos básicos de teoría de la probabilidadtales como variable aleatoria, procesos de Poisson, entre otros, los cuales servirán deayuda para entender el modelo clásico de riesgo descrito en el Capítulo 3.

7Capítulo 2Conceptos PreliminaresExiste una gran variedad de fenómenos y experimentos naturales, sociales y de diversaíndole en la que se tiene la característica de obtener resultados u observaciones que son difícilesde pronosticar con certeza, aunque se realice un estudio detallado repetidas veces y bajolas mismas condiciones, como por ejemplo los juegos de azar. Precisamente a la imposibilidadde predecir con exactitud resultados se llama aleatoriedad y a los fenómenos que cumplen conesta característica se les llama fenómenos o experimentos aleatorios.En el siglo XX surge de manera formal la rama de las matemáticas que estudia los fenómenosaleatorios llamada probabilidad, la cual propone modelos con bases matemáticas que ajustantales fenómenos, para posteriormente estudiar sus consecuencias lógicas.En este Capítulo se mencionarán conceptos básicos de probabilidad, los cuales proporcionaránla ayuda suficiente para poder desarrollar el presente trabajo.Experimento aleatorioEl término clave que propicia o impulsa el nacimiento de la teoría de probabilidad es precisamentela observación de un experimento aleatorio.Un experimento aleatorio ε, es un experimento que presenta las siguientes tres características.(i) Tiene al menos dos posibles resultados;(ii) el conjunto de posibles resultados se conoce antes de que el experimento se realice y;(iii) puede repetirse esencialmente bajo las mismas condiciones.Se puede notar que dentro de un experimento aleatorio se observan varios puntos a discutir,se tienen dos o más posibles resultados, por ejemplo, el evento de observar la evaporacióndel agua, no se considera experimento aleatorio, puesto que se sabe que se va a evaporar yes la única posibilidad, sin embargo, lanzar un dado, es un experimento aleatorio por que setienen seis posibles resultados.Dentro de un experimento aleatorio también se hacen supuestos, como se menciona en(ii), es decir, se debe saber exactamente que casos se tendrán contemplados antes de realizar

8 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESel experimento, así, por ejemplo el suceso de observar una bóveda celeste a través de un telescopionuevo, el cual tiene una potencia superior a todos los anteriores, en este caso es difícilinferir que resultados se obtendrán y especificar los posibles resultados que se encontrarán,por lo que este suceso no es un experimento aleatorio.Espacio muestralEl espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados o estados de la naturalezade un experimento aleatorio ε, se denota mediante el símbolo Ω. Los subconjuntos de Ω sonllamados eventos o sucesos y se denota por letras mayúsculas A, B, . . .. Por ejemplo si ε esel experimento aleatorio de lanzar un dado, entonces Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, será el conjunto detodos los valores que se pueden obtener como resultado de arrojar el dado. El subconjuntoA = {1} de Ω es el evento de lanzar el dado y observar el número 1.Medida de probabilidadEl concepto de medida de probabilidad cuantifica la creencia sobre la ocurrencia de los eventosque se encuentran en el espacio muestral.Definición 2.0.1. Sea Ω un espacio muestral y F = {A ∈ Ω}, tal que cumple lo siguiente,a) ∅ ∈ F ,b) Si A n ∈ F, n = 1, 2, 3, . . . ., A i⋂Aj = ∅ con i ≠ j entonces∞⋃A k ∈ F,k=1c) Si A ∈ F entonces A c = Ω/A ∈ F ,(A 1⋃A2⋃A3 ... ⋃ A n ...) n = A c 1⋂Ac2⋂...⋂Acn⋂... ∈ F .Entonces una medida de probabilidad es una función P : F → [0, 1], la cual satisface losiguiente,(i) P(Ω) = 1,(ii) si {A n } ∞ n=1 es una sucesión inyectiva de eventos en Ω con A n ∩ A m = ∅ para n ≠ m,entonces P ( ⋃ ∞n=1 A n) = ∑ ∞n=1 P(A n).2.1. Variables aleatoriasUna variable aleatoria se define de la siguiente manera:Definición 2.1.1. Supóngase que se tiene un espacio muestral Ω, asociado a un experimentoaleatorio, una función X : Ω → R tal que X −1 = {w ∈ Ω : X(w) ∈ F} para todo −∞ ≤ a ≤b ≤ ∞, es una variable aleatoria.

2.1. VARIABLES ALEATORIAS 9Existen dos tipos importantes de variables aleatorias: discretas y absolutamente continuas,para cada una de ellas se tiene una forma de calcular sus respectivas probabilidades.Distribuciones DiscretasCuando se tiene una variable aleatoria discreta, la probabilidad de que ésta tome todos ycada uno de sus posibles valores se llama función de densidad de probabilidad y se define dela siguiente manera:Definición 2.1.2. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria discretaX, denotada por p(x) o p X (x), se define como p(x) = P(X = x), la cual satisface las siguientespropiedades:p(x) ≥ 0 para todo x.∑xp(x) = 1.Entre las principales variables aleatorias discretas, se pueden mencionar las siguientesDistribución de Probabilidad Bernoulli. Una variable aleatoria X tiene distribución deprobabilidad Bernoulli, si P(X = x) = p x (1 − p) 1−x para x = 0, 1, 0 < p < 1, se denotacomo X ∼ Ber(p).Distribución de Probabilidad Binomial. Una variable aleatoria X tiene distribución deprobabilidad binomial basada ( en n variables aleatorias de Bernoulli, con probabilidadnde éxito p, si P(X = x) = px)x (1 − p) n−x , x = 0, 1, . . . , n, 0 ≤ p ≤ 1; se denotaX ∼ Bin(n, p).Distribución de probabilidad Geométrica. Una variable aleatoria X tiene una distribuciónde probabilidad geométrica si esta definida como P(X = x) = p(1 − p) x−1 , x = 1, 2, . . . ,0 ≤ p ≤ 1, se denota X ∼ Geo(p).Distribución de Probabilidad Binomial Negativa. Una variable aleatoria X igual al númerode la prueba en la cual aparece ( el r-ésimo ) éxito se dice que tiene una distribuciónx − 1binomial negativa si P(X = x) = p r (1 − p) x−r , x = r, r + 1, . . ., 0 ≤ p ≤ 1 y ser − 1denota como X ∼ BN(r, p).Distribución de Probabilidad Hipergeométrica. Una variable aleatoria X igual al númerode ( éxitos )( en una ) muestra de tamaño n, tiene distribución hipergeométrica si P(X = x) =k N − kx(n)− x, x = 0, 1, . . . , x ≤ k, n−x ≤ N −k y se denota como X ∼ Hiper(N, k, n).NnDistribución de Probabilidad de Poisson. Una variable aleatoria X tiene una distribuciónde Poisson si P(X = x) = λx exp(−λ), x = 0, 1, . . . , λ > 0, y se escribe como X ∼x!P oi(λ).

10 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESFunción de distribución acumuladaEsta función como su nombre lo indica acumula todas las probabilidad de que la variablealeatoria X, sea menor o igual que un valor de x dado, formalmente se define a continuación.Definición 2.1.3. La función de distribución acumulada (FDA), de la variable aleatoria Xdenotada por F X (x) o simplemente como F (x), se define como:F X (x) = P{w : X(w) ≤ x} = P{X −1 (−∞, x]}, para todo x ∈ R.Así, se tiene que F X : R → [0, 1] y tiene las siguientes propiedades:a) F X (x) es una función creciente, es decir, si a < b entonces F X (a) ≤ F X (b).b) lím F X(x) = 1, lím F X(x) = 0.x→+∞ x→−∞c) F X (x) es continua por la derecha con límites a la izquierda, esto quieresiempre y cuando exista el limite anterior.lím = F X (a + ),a n→a +Distribuciones absolutamente continuasDefinición 2.1.4. Sea F X (x) la FDA de una variable aleatoria absolutamente continua X,entonces la función de densidad de probabilidad (fdp), denotada como f X (x) o f(x), cumplequef X (x) ≥ 0.∫ ∞−∞ f X(x)dx = 1.(X −1 ([a, b])) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫ ba f X(x)dx.y esta dada porsiempre y cuando la derivada exista.f(x) = f X (x) = ddx [F X(x)] ,Entre las principales distribuciones continuas, se pueden mencionar las siguientes.Distribución Normal. Una variable aleatoria X tiene { distribución de probabilidad normalsi y sólo si, la fdp de X es :f(x) = √ 12πσexp − 1 ( x−µ) } 22 σ; σ > 0, −∞ < µ < ∞,−∞ < x < ∞ y se denota como X ∼ N(µ, σ 2 )

2.1. VARIABLES ALEATORIAS 11Distribución gamma. La variable aleatoria X, tiene distribución ) gamma con parámetrosα y θ, si su fdp está dada por: f(x) = xα−1 exp ( − x θΓ(α)θ αcomo X ∼ gamma(α, θ).; α > 0, θ > 0, x > 0 y se denotaDistribución Exponencial. La variable aleatoria X, tiene distribución exponencial si sufdp está dada por: f(x) = 1 θ exp ( − x θ), x > 0 y se denota X ∼ exp(θ).Distribución Beta. Una variable aleatoria X tiene distribución beta si f(x) = xa−1 (1 − x) b−1B(a, b)∫ 1para todo 0 < x < 1, donde B(a, b) = x a−1 (1 − x) b−1 dx = Γ(a)Γ(b) , y se denota0Γ(a + b)como X ∼ Beta(a, b).Distribución Weibull. Una variable aleatoria X tiene está distribución con parámetrosα y β si y sólo si su fdp está dada por: f(x) = β ( {x β−1 ( } x βexp − se denotaα α)α)como X ∼ W eibull(α, β).Distribución Uniforme. Una variable aleatoria X en un intervalo [a, b], donde a < b tienedistribución de probabilidad uniforme si y sólo si tiene la siguiente fdp:Se denota como X ∼ U(a, b).Valor Esperado⎧⎨ 1para a ≤ x ≤ b,f(x) = b − a⎩ 0 cualquier otro caso.El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tuvo sus orígenes en los juegos de azar,ya que los jugadores deseaban estimar cual era la esperanza de ganar en repetidas ocasionesun juego.El valor esperado de una variable aleatoria X, denotado por E(X), se define de la siguientemanera:∫E(X) =Ω∫x dP =Siempre que la serie (integral) converja.R⎧ ∑⎪⎨ xp(x)x dF X (x) = ∫ x⎪⎩ xf X (x) dxsi X es discreta,si X es continua.Observación

12 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESSi X es una variable aleatoria absolutamente continua no negativa entonces,µ =∫ ∞0[1 − F X (x)] dx.El valor esperado también se denota con la letra griega µ. De manera general para una funciónarbitraria g(x) de x:∫E[g(X)] =R⎧ ∑⎪⎨ g(x)p(x)g(x) dF X (x) = ∫ x⎪⎩ g(x)f X (x) dxsi X es discreta,si X es continua.Si g(x) = X r entonces E(X r ) = µ r , se llama el r-ésimo momento de X con respecto alorigen.VarianzaLa varianza de una variable aleatoria mide el grado de dispersión alrededor de su media.Definición 2.1.5. Sea X una variable aleatoria con µ = E(X) < ∞, la varianza de X,denotada por V (X), se define como,V (X) = E[(X − µ) 2 ].La varianza de un variable aleatoria se denota como σ 2 en lugar de V (X).Función Generadora de MomentosLa función generadora de momentos como su nombre lo indica genera todos los momentosrespecto al origen de una variable aleatoria, formalmente se define de la siguiente manera.Definición 2.1.6. Sea X una variable aleatoria. La función generadora de momentos, denotadapor m X , es la función m X : I → R + definida comom X (s) = E[exp(sX)],donde I = {s ∈ R : m X (s) < ∞} es el intervalo de definición de m X 1 .La importancia de la función generadora de momentos, radica en que si se tienen dos omás variables aleatorias con la misma función generadora de momentos, entonces es posibledemostrar que tienen la misma distribución de probabilidad.1 Algunas veces cuando F es la FDA de X, la función generadora de momentos puede denotarse como m Fen lugar de m X.

2.1. VARIABLES ALEATORIAS 13Función Generadora de probabilidadesEs posible también definir la función generadora de probabilidades para variables aleatoriasque tomen valores sobre los números naturales.Definición 2.1.7. Sea X una variable aleatoria que toma valores en N y con distribución deprobabilidad p(k), la función generadora de probabilidades de X, es una función g X : [−1, 1] →R dada por∞∑g X (s) = p(k)s k .k=0Si {a k , k ∈ N} es una sucesión arbitraria de números reales, no necesariamente una distribuciónde probabilidad, entonces la función generatriz g(z) de {a k }, está dada porg(z) =∞∑a k z k .k=0Transformada de LaplaceDefinición 2.1.8. La transformada de Laplace de la variable aleatoria X, denotada por l X2se define comol X (s) = E[exp(−sX)]l X : J → R + , donde J es el intervalo donde l X ésta definida.Observacionesm X (s) = l X (−s), s ∈ I.En general, si se tiene una función C : R ↦→ R + , entonces la transformada de Laplacese define como:∫l C (s) = exp(sx)C(x) dx,para los valores de s donde l C existe.2 Cuando F es la FDA de X, la transformada de Laplace de X, también se denota como l F (s).

14 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARES2.2. Variables aleatorias multivariadasHasta este momento se han definido conceptos para el caso en el que se tiene solo unavariable aleatoria, pero en la mayoría de los casos o experimentos no solo se ve involucradauna variable aleatoria, por tal razón a continuación se mencionarán los principales conceptospara el caso de n variables aleatorias tanto continuas como discretas.Un vector aleatorio de dimensión n es un vector de la forma (X 1 , X 2 , . . . , X n ) 3 , en dondecada coordenada es una variable aleatoria.Se dice que un vector aleatorio es discreto o continuo si todas sus componentes son variablesaleatorias discretas o continuas, respectivamente. Un vector aleatorio (X 1 , X 2 , . . . , X n )puede considerarse como una función del espacio muestral Ω en R n . Es decir, el vector(X 1 , X 2 , . . . , X n ) evaluado en ω es (X 1 , X 2 , . . . , X n )(ω) = (X 1 (ω), X 2 (ω), . . . , X n (ω)).Distribución de densidad conjuntaDefinición 2.2.1. Sea (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un vector discreto. La probabilidad de que X 1 =x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X n = x n está determinada por la función de distribución de densidad conjuntamultivariada,p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P(X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , . . . , X n = x n ),la función p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) cumple con las siguientes propiedades:a) p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≥ 0.b) ∑ x 1 ,...,x np(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 1.Función de distribución acumuladaPara un vector aleatorio se define la función de distribución acumulada como sigue:Definición 2.2.2. La función de distribución acumulada de un vector (X 1 , X 2 , . . . , X n ), esuna función F : R n → [0, 1], denotada por F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ó F X1 ,X 2 ,...,X n(x 1 , x 2 , . . . , x n ) yse define comoF X1 ,X 2 ,...,X n(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P(X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n ).Función de densidad de probabilidad conjuntaSe dice que la función integrable y no negativa f : R n → [0, ∞) es la función de densidad deprobabilidad conjunta de un vector continuo (X 1 , X 2 , . . . , X n ) si para todo (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈R n se cumple la igualdad:∫ x1∫ x2∫ xnP(X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n ) = · · · f(u 1 , u 2 , . . . , u n ) du 1 du 2 · · · du n ,−∞ −∞ −∞esta función satisface3 Cuando se consideran una o más variables aleatorias X 1, X 2, . . . , X n, se suelen llamar variables aleatoriasmultivariadas.

2.2. VARIABLES ALEATORIAS MULTIVARIADAS 15∫ ∞−∞∫ ∞−∞ · · · ∫ ∞−∞ f(x 1, . . . , x n ) dx n dx n−1 · · · dx 1 = 1.Probabilidad condicionalLa probabilidad condicional de dos variables aleatorias permite conocer la probabilidad deque un evento ocurra dado que previamente se ha observado la ocurrencia de otro evento.Si X y Y son variables aleatorias discretas entonces la distribución de probabilidad deX = x dado Y = y, se denota por p(x|y) y se define para el caso discreto como:p(x|y) =p(x, y)p(y) ,siempre que p(y) ≠ 0, no se define si p(y) = 0Para el caso continuo se denota por f X|Y y está dado por:f X|Y (x | y) =siempre que f(y) ≠ 0, no se define si f(y) = 0.f(x, y)f(y) ,IndependenciaLa independencia de dos o más variables aleatorias indica que la ocurrencia de un evento nodepende de otros eventos, se define de la siguiente manera.Definición 2.2.3. Las variables aleatorias X 1 , X 2 , . . . , X n son independientes, si y sólo si,P(X 1 ≤ a 1 , X 2 ≤ a 2 , . . . , X n ≤ a n ) = P(X 1 ≤ a 1 )P(X 2 ≤ a 2 ) · · · P(X n ≤ a n ),para todo a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R, o equivalentemente,F X1 ,X 2 ,...,X n(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 ), . . . , F Xn (x n ),donde F X1 ,...,X nes la FDA de (X 1 , X 2 , . . . , X n ) y F X1 , F X2 , . . . , F Xn son las FDA de X 1 , X 2 , . . . ,X n , respectivamente.Es importante mencionar que si las variables aleatorias X 1 , X 2 , . . . , X n son independientesy además tienen la misma distribución de probabilidad, se dice que dichas variables sonaleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid).Teorema 2.2.4. Si X 1 , X 2 , . . . , X n son variables aleatorias independientes se cumplem X1 +X 2 +···+X n(s) = m X1 (s) · m X2 (s) · · · m Xn (s).Análogamenten∏l X1 +X 2 +···+X n(s) = l Xi (s).i=1

16 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESLa demostración del teorema anterior es inmediata de la definición de función generadorade momentos y de la definición de transformada de Laplace.ConvoluciónLa convolución de dos variables aleatorias independientes X, Y con FDA dadas por F X yF Y , respectivamente, permite calcular la distribución de probabilidad de la suma de estas.Formalmente la convolución se define de la siguiente manera:Definición 2.2.5. Sean X y Y variables aleatorias con FDA dadas por F X y F Y , respectivamente.La convolución de F X y F Y 4 , denotada por F X ∗ F Y , se define como(F X ∗ F Y )(x) =∫ ∞−∞F X (x − u) dF Y (u), x ∈ R.La n-ésima convolución de F , denotada por F ∗n , se define iterativamente, de la siguientemanera: para n = 0, F ∗0 (x) es la delta de Kronecker, dada por,δ 0 (x) ={ 1 si x ≥ 0,0 si x < 0.Mientras que para n ≥ 1, F ∗n = F ∗(n−1) ∗ F = F ∗ · · · ∗ F (n veces).Definición 2.2.6. Se define la cola de una FDA F X , denotada por F , como F (x) = 1−F X (x),x ∈ R.Para la función de cola de F ∗n se escribirá F ∗n (x) = 1 − F ∗n (x).2.3. Procesos estocásticosUn proceso estocástico es un modelo matemático que analiza el comportamiento de fenómenosno deterministas en cuanto a su evolución en el tiempo.El concepto de proceso estocástico es fundamental en el desarrollo de la teoría financiera,puesto que son ideales para describir conceptos y precios que varían en el tiempo. En otraspalabras un proceso estocástico es una serie de eventos que se mueven a través del tiempo yque se rigen por medio de leyes de probabilidad.Muchas aplicaciones de procesos estocásticos ocurren en la física, las ingenierías, la biología,la medicina, la psicología y otras áreas.Definición 2.3.1. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias {X(t) : t ∈T } parametrizada por un conjunto T , llamado espacio parametral y un conjunto S llamadoespacio de estados.4 Algunas veces se suele decir la convolución de dos variables aleatorias, aunque realmente se realiza laconvolución entre sus FDA.

2.3. PROCESOS ESTOCÁSTICOS 17Un ejemplo de un espacio parametral es el conjunto T = {0, 1, 2, . . .} ó T = [0, ∞), los elementosde cada conjunto con frecuencia suelen ser interpretados como tiempos. En el primercaso se dice que el proceso es a tiempo discreto y se denota como {X(n) : n = 0, 1, 2, . . .},para el segundo caso se dice que es a tiempo continuo, y se denota como {X(t) : t ≥ 0}.El espacio de estados contiene todos los posibles valores del proceso, es decir, en el casodiscreto contiene todos los valores de X(n) y para el caso continuo contiene todos los posiblesde X(t).Mas específicamente, un proceso estocástico se considera como una función X : T ×Ω → Sdonde a la pareja (t, ω) se le asocia el estado X(t, ω). Para cada valor de t en T , el mapeoω → X(ω) se llama trayectoria del proceso.Por ejemplo si A es un conjunto de estados, entonces el evento (X(t) ∈ A) corresponderá alcaso donde al tiempo t el proceso toma algún valor dentro del conjunto A. En particular siX(t) = x indica el evento en donde al tiempo t, el proceso se encuentra en el estado x.Clasificación de los procesos estocásticosExisten distintos tipos de procesos estocásticos de acuerdo a su relación con X(t). A continuaciónse mencionaran algunos de estos:Procesos con incrementos independientesSe dice que un proceso {X(t) : t ≥ 0} tiene incrementos independientes si para cadatiempos 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t n , las variables X(t 1 ), X(t 2 ) − X(t 1 ), · · · , X(t n ) − X(t n−1 )son independientes.Procesos estacionariosUn proceso {X(t) : t ≥ 0} es un proceso estocástico estacionario si para cualesquieratiempos t 1 , t 2 , · · · , t n , la distribución del vector (X(t 1 ), · · · , X(t n )) es la misma que ladel vector (X(t 1 +h), · · · , X(t n +h)) para cualquier h > 0. En particular la distribuciónde X(t) es igual a la distribución de la variable aleatoria X(t + h), h ≥ 0.Procesos con incrementos estacionariosUn proceso {X(t) : t ≥ 0} tiene incrementos estacionarios si para cualesquiera tiemposs < t, y para cualquier h > 0, las variables X(t + h) − X(s + h) y X(t) − X(s) tienenla misma distribución de probabilidad.Procesos de renovaciónUn proceso de renovación es una sucesión T n de variables aleatorias iid que representanlos tiempos de vida de unidades. La primera unidad empieza su ciclo de vida en el cero,y cuando falla al tiempo T 1 es reemplazada inmediatamente por una nueva unidad, lacual posteriormente falla al tiempo T 1 + T 2 y es reemplazada nuevamente por una nueva

18 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESunidad y así sucesivamente, es decir, se van dando o renovando unidades, de ahí que sellamen procesos de renovación. El tiempo de la n-ésima renovación se denotará por W ny está dado por W n = T 1 + T 2 + · · · + T n .2.4. Procesos de PoissonSupóngase que están llegando eventos en tiempos aleatorios, si se denota con {N(t) : t ≥ 0}el número de eventos hasta el tiempo t, entonces se define el proceso de Poisson homogéneode la siguiente manera.Definición 2.4.1. Sea λ > 0 una constante arbitraria dada. Un proceso estocástico {N(t) :t ≥ 0} se llama proceso de Poisson con intensidad λ si satisface las siguientes propiedades:1) P(N(0) = 0) = 1.2) Para toda sucesión 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n , n ≥ 1 de tiempos, las variables aleatoriasN(t 1 ), N(t 2 ) − N(t 1 ), . . . , N(t n ) − N(t n−1 ) son independientes.3) Para todo s > t se tiene que N(t) − N(s) es una variable aleatoria de Poisson deparámetro λ(t − s), es decir,para k = 0, 1, . . ..P(N(t) − N(s) = k) = [λ(t − s)]k exp[−λ(t − s)],k!Observese que la propiedad 2) es la propiedad de incrementos independientes y la propiedad3), la de incrementos estacionarios.Teorema 2.4.2. Los tiempos de llegada W n del proceso de Poisson {N(t) : t ≥ 0}, tienendistribución gamma con fdp f Wn (t) = λn t n−1exp(−λt), n = 1, 2, . . . , t ≥ 0.(n − 1)!En particular W 1 tiene distribución exponencial de parámetro λ.DemostraciónLa FDA de W n , n = 1, 2, . . ., está dada pory la fdp de W n esn−1∑F Wn (t) = P(W n ≤ t) = P(X(t) ≥ n) = 1 −f Wn (t) = d dt F W n(t)= λ exp(−λt)( n−1 ∑ (λt) k−k!k=0= λn t n−1(n − 1)! exp(−λt)k=0n−2∑k=0(λt) k exp(−λt),k!)(λt) kk!

2.4. PROCESOS DE POISSON 19Teorema 2.4.3. Los tiempos entre llegada de eventos S 0 = W 1 , S 1 = W 1 − W 0 , . . . , S n−1 =W n−1 − W n−2 , n ≥ 1 son variables aleatorias iid, con distribución exponencial de parámetroλ.DemostraciónSe probará que la función de densidad de probabilidad conjunta de S 0 , S 1 , . . . , S n−1 , es elproducto de funciones de densidades exponenciales, es decir,f S0 ,S 1 ,...,S n−1(s 0 , s 1 , . . . , s n−1 ) = [λ exp(−λs 0 )][λ exp(−λs 1 )] . . . [λ exp(−λs n−1 )] (2.1)Para el caso de n = 2.Considérese el conjunto de ocurrencia de la siguiente manera s 1 < S 1 < s 1 + ∆s 1 y s 2 < S 2

20 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESF X (x) =∞∑k=0p(k)F ∗kZ (x), (2.2)donde FZ ∗k(x)denota la k-ésima convolución de F Z, es decir, FZ ∗k(x)= P(Z 1+Z 2 +. . .+Z k ≤ x)y se denota como (p(k), F Z ).En efecto,( N)∑p(k) = P(X = k) = P Z i = ki=0(∞∑ m)∑= P Z i = k|N = m P(N = m)==m=0i=1(∞∑ m)∑P Z i = k P(N = m)n=0i=1∞∑q(m)p ∗m (k), (2.3)m=0donde q(m) es la distribución de probabilidad de {Z i }.Definición 2.4.5. Sean {Z n } variables aleatorias iid con FDA F Z y sea {N(t) : t ≥ 0} unproceso de Poisson de intensidad λ, tales que {Z n } y {N(t) : t ≥ 0} son independientes. Elproceso {X(t) : t ≥ 0} definido como X(t) = ∑ N(t)k=1 Z k se llama proceso de Poisson compuestocon parámetros (λt, F Z ).Se puede probar que {X(t); t ≥ 0} tiene incrementos estacionarios e independientes. (Veáse[6], pág 161)2.5. Teoría de renovaciónLos procesos de renovación son procesos de Poisson mas generales, son útiles para describirintervalos de renovación de sucesiones de variables aleatorias.Definición 2.5.1. Sea T 1 , T 2 , . . . una sucesión no negativa de variables aleatorias iid. Lasucesión {W n , n ∈ N} con W 0 = 0 y W n = T 1 + T 2 . . . + T n para n = 1, 2, . . . se llama procesode renovación puntual, donde W n es la n-ésima renovación.Definición 2.5.2. El proceso de conteo de renovación {N(t), t ≥ 0}, donde N(t) = ∑ ∞n=1 I(W n ≤ t) 5 es el número de renovaciones en el intervalo (0, t].5 La función indicadora I : Ω → R, dada por I(A, w) = 1 si w ∈ A y I(A, w) = 0 en otro caso.

2.5. TEORÍA DE RENOVACIÓN 21La relación entre los procesos {W n } y {N(t), t ≥ 0 ≥} está dada porN(t) = n si y sólo si {W n ≤ t < W n+1 }.Definición 2.5.3. El número esperado de renovaciones H(t) = E[N(t)] se llama función derenovación de {N(t), t ≥ 0}.Observación[ ∞]∑H(t) = E I(W n ≤ t) =n=1∞∑E[I(W n ≤ t)] =n=1Definición 2.5.4. Una ecuación de la formag(x) = z(x) +∫ ∞0∞∑F ∗n (t), t ≥ 0.n=1g(x − v) dF (v), (2.4)donde z : R → R + es localmente acotada, z(x) = 0 para x < 0 y F es una función dedistribución acumulada sobre R + , se llama ecuación de renovación.ObservaciónEn algunos casos F es FDA defectiva, esto significa que:lím F (x) < 1.x→+∞Si F es FDA defectiva entonces (2.4) es llamada ecuación de renovación defectiva.La solución a la ecuación de renovación acotada en intervalos finitos es única.Lema 2.5.5. La ecuación de renovación (2.4) tiene una única solución que es acotada sobreintervalos acotados, y se cumple que g(x) = 0 para x < 0. Esta solución está dada porg(x) =∞∑n=0∫ xdonde H 0 (x) = ∑ ∞n=0 F ∗n (x).0z(x − v) dF ∗k (v) =∫ ∞0z(x − v) dH 0 (v) x ≥ 0,Definición 2.5.6. Una FDA F es aritmética, si existe γ tal que para L = {nγ, n = 0, ±1, ±2, . . . }se tiene que P(X ∈ L) = 1.Para h > 0 y z : R → R + se define z(h) y z(h) como,z(h) = hz(h) = h∞∑sup{z(x) : (n − 1) ≤ x ≤ nh},n=1∞∑ínf{z(x) : (n − 1) ≤ x ≤ nh}.n=1

22 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARESLa función z(x) se llama directamente Riemman-integrable si z(h) < ∞ para todo h > 0 y si(z(h) − z(h)) = 0.límh→+0El lema que a continuación se cita da una condición suficiente para que una función seadirectamente Riemann-integrable.Lema 2.5.7. Sea z 1 : R + → (0, ∞) creciente mientras que z 2 : R + → R + es decreciente talquey∫ ∞0z 1 (x)z 2 (x) dx < ∞{lím sup z1 (x + y)}: x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ h = 1.h→0 z 1 (x)Entonces, el producto z(x) = z 1 (x)z 2 (x) es directamente Riemman- integrable.Teorema 2.5.8. Sea z(x) una función directamente Riemman- integrable y F es no aritmética.Entonces para la solución g(x) = ∫ ∞0z(x, v) dH 0 (v) de la ecuación (2.4) se tienelímx→+∞ g(x) = ⎧⎨⎩1µ∫ ∞0z(v) d(v) si µ < ∞,0 si µ = ∞.Para la demostración véase [6]. Este teorema también es conocido como el teorema derenovación.2.6. Distribuciones de Cola LigeraUna FDA F X se puede clasificar, con base en la función generadora de momentos de lavariable aleatoria X, como distribución de cola ligera o de cola pesada.A continuación se dará la definición y propiedades de distribuciones de cola ligera, ya quenuestro interés estará centrado en estas.Definición 2.6.1. Sea F X la FDA de la variable aleatoria X con valores sobre el intervalo[0, ∞). Se dice que F X tiene cola ligera si para algún s > 0,m X (s) < ∞.Ejemplos de distribuciones continuas de cola ligera se encuentran la distribución exponencialy la Gamma.ObservaciónSea X una variable aleatoria tal que m X (s) < ∞ para s > 0, entonces∫ 0m X (s) − 1 = −s F X (y) exp(sy) dy + s−∞∫ ∞0F X (y) exp(sy) dy. (2.5)

2.6. DISTRIBUCIONES DE COLA LIGERA 23En efecto:m X (s) − 1 ===∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ 0= −s= −s= −s−∞∫ 0exp(sx) dF X (x) − 1[exp(sx) − 1] dF X (x)[exp(sx) − 1] dF X (x) +−∞∫ 0 ∫ 0−∞∫ 0−∞∫ ∞1s [exp(s 0) − exp(sx)] dF X (x) + sxexp(sy) dy dF X (x) + sF X (y) exp(sy) dy + s0∫ ∞0[exp(sx) − 1] dF X (x)∫ ∞0∫ ∞ ∫ x001s [exp(sx) − exp(s 0)] dF X (x)exp(sy) dy dF X (x)F X (y) exp(sy) dy.En general es difícil decidir si una distribución es de cola ligera, directamente de la definición.Sin embargo la observación anterior permite obtener una condición suficiente y necesariapara identificar una distribución de este estilo.Lema 2.6.2. Supóngase que m X (s 0 ) < ∞ para algún s 0 > 0. Entonces existe b > 0 tal quepara todo x ≥ 0,1 − F X (x) ≤ b exp(−s 0 x). (2.6)Recíprocamente si (2.6) se satisface, entonces m X (s) < ∞ para todo 0 ≤ s < s 0 .DemostraciónSupóngase que la condición (2.6) se cumple. Entoncesm X (s) − 1s∫ 0= −≤≤−∞∫ ∞0∫ ∞0F X (y) exp(sy) dy +F X (y) exp(sy) dyb exp(−s 0 y) dy= b exp[(s − s ∣0)y] ∣∣∞s − s 0 0b= , 0 ≤ s ≤ s 0 ,s − s 0∫ ∞0F X (y) exp(sy) dyde donde m X (s) es finito para todo 0 < s < s 0 .Si ahora se asume que m X (s) es finito para s = s 0 , entonces para cualquier x ≥ 0,

24 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS PRELIMINARES∞ > m X(s 0 ) − 1==≥=s 0∫ ∞0∫ x0∫ x0∫ x0F X (y) exp(s 0 y) dy −F X (y) exp(s 0 y) dy +F X (y) exp(s 0 y) dy −∫ 0−∞∫ ∞x∫ 0[1 − F X (y)] exp(s 0 y) dy −−∞∫ 0F X (y) exp(s 0 y) dyF X (y) exp(s 0 y) dy −F X (y) exp(s 0 y) dy−∞∫ 0F X (y) exp(s 0 y) dy−∞= [1 − F X (y)] exp(s ∣0y) ∣∣xs − 1 ∫ xexp(s 0 y) dF X (y)0 0 s 0 0− F X(y) exp(s 0 y)∣ ∣∣xs + 1 ∫ xexp(s 0 y) dF X (y)0 −∞ s 0 −∞= − 1 + [1 − F X(x)]exp(s 0 x) + 1 ∫ xexp(s 0 y) dF X (y)s 0 s 0s 0 −∞≥ − 1 + [1 − F X(x)]exp(s 0 x).s 0 s 0Por lo tantoEntoncesm X (s 0 ) − 1s 0≥ − 1 s 0+ [1 − F X(x)]s 01 − F X (x) ≤ m X (s 0 ) exp(s 0 x),exp(s 0 x).F X (y) exp(s 0 y) dyde donde se obtiene el resultadoHasta aquí se han mostrado los conceptos para escribir y entender el modelo clásico deCramer-Lundberg que se describirá en el siguiente Capítulo.

25Capítulo 3Modelo clásico de Cramer-Lundbergy probabilidad de ruinaActualmente la preocupación de mayor interés para las personas y las empresas en cuantoa la administración de sus recursos es la maximización de sus bienes disponibles, lo que dacomo resultado la necesidad de conocer el mayor número de movimientos disponibles parasu capital a través del tiempo, con el propósito de solventar adecuadamente sus gastos. Elprincipal objetivo del estudio de la teoría de riesgo tradicional es analizar el riesgo en el casode una compañía de seguros a fin de calcular la probabilidad de que el capital de la empresabaje de un nivel específico, considerando los siguientes elementos:La llegada de los reclamos.El tamaño de los reclamos.En este Capítulo se explicará el modelo clásico de riesgo de Cramer-Lundberg, el coeficientede ajuste relacionado con la probabilidad de ruina de este proceso, la fórmula de Pollaczek-Khinchin y el algoritmo de Panjer, así como algunas cotas para calcular la probabilidad deruina.3.1. Modelo clásico de Cramer-LundbergPara poder definir el modelo clásico de riesgo se tienen en cuenta aspectos como el capitalinicial de la compañía, el monto que se recibe por unidad de tiempo, el tamaño y el númerode reclamos que llegan a la compañía en determinado tiempo.Supóngase que se tiene una compañía de seguros, con un capital inicial u ≥ 0, lleganreclamaciones en tiempos W 1 , W 2 , . . ., de acuerdo a un proceso de Poisson homogéneo{N(t) : t ≥ 0} de intensidad λ > 0, supóngase también que los tamaños de las reclamacionesZ 1 , Z 2 , . . . , son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una ciertadistribución común F , con F (0) = 0 y E(Z k ) = µ > 0, la compañía recibe de sus asegurados

26CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAuna prima constante c > 0 por unidad de tiempo.Si se denota con X(t), el capital de la compañía al tiempo t entonces,N(t)∑X(t) = u + ct − Z k . 1Donde por definición ∑ 0k=1 Z k = 0 y N(t) es el número de reclamaciones que llegan a lacompañía en el intervalo (0, t]. X(t) se llama modelo clásico de riesgo y tiene incrementosindependientes y estacionarios.La Figura 3.1 muestra una trayectoria del modelo clásico de riesgo empezando con un capitalinicial u, al inicio X(t) va creciendo, por que recibe las primas de sus asegurados, pero al recibirlas primeras reclamaciones, X(t) decrece, debido al desembolso de dinero que la compañía tieneque hacer, para responder las reclamaciones de sus clientes. Al termino del primer periodode tiempo, X(t) empieza a crecer nuevamente posteriormente recibe reclamaciones de susasegurados y el capital de la compañía decrece, y así sucesivamente.k=1Figura 3.1: Trayectoria del modelo de riesgo.Se dice que una compañía aseguradora está en ruina cuando para algún t ≥ 0, X(t) seencuentre por debajo de cero y el momento de ruina está dado por:T = mín{t ≥ 0, X(t) < 0}.Cabe mencionar que aunque el estado de ruina haya llegado no significa que la compañíavaya a quebrar, es importante entender que este estado se utiliza para fijar un límite inferioren los fondos de la compañía que en un momento dado nos ayudará a tomar medidas1 El capital de la compañía en el instante t, es igual al capital inicial más la suma de todas las primasrecolectadas por parte de sus asegurados en ese periodo de tiempo, menos la suma de todas las reclamacioneshechas por sus asegurados, es decir se descuenta los desembolsos que hizo la compañía a causa de los siniestroocurridos en ese tiempo.

3.1. MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG 27contra pérdidas excesivas de recursos. Claramente resulta de interés saber en qué momentosucederá dicho estado y que probabilidad existe de que se llegue a este estado.Si se denota por ψ(u), la probabilidad de ruina de la compañía aseguradora, empezandocon capital inicial u, entoncesψ(u) = P{X(t) < 0, para algún t > 0 | X(0) = u}.Luego la probabilidad de no ruina o de supervivencia de la compañía será denotada porφ(u) = 1 − ψ(u).No siempre están disponibles soluciones explícitas para la probabilidad de ruina, esta dependedel proceso de riesgo, específicamente de las distribuciones escogidas para modelar losmontos y el número de reclamos.ObservacionesLa función φ(u) es creciente.DemostraciónSea u 1 ≤ u 2 entonces para todo t ≥ 0,LuegoAsí para algún t ≥ 0,⎛de dondeN(t)N(t)∑∑u 1 + ct − Z i ≤ u 2 + ct − Z i .i=1i=1⎧ ⎫ ⎧⎨ N(t)⎩ u ∑ ⎬ ⎨2 + ct − Z i ≤ 0⎭ ⊆ ⎩ u 1 + ct −P ⎝u 2 + ct −N(t)∑i=1⎞⎛i=1N(t)∑i=1Z i ≤ 0⎠ ≤ P ⎝u 1 + ct −ψ(u 2 ) ≤ ψ(u 1 ),⎫⎬Z i ≤ 0⎭ .N(t)∑i=1⎞Z i ≤ 0⎠ ,por lo tanto ψ(u) es decreciente y en consecuencia φ(u) = 1 − ψ(u) es crecienteSe puede probar que 2 φ(∞) = 1. (3.1)Para la demostración de este hecho véase [6].2 φ(∞) = lím u→∞(u)

28CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINASi se supone u = 0 y usando la independencia de N(t) y {Z 1 , Z 2 , . . .}, se deduce que⎛ ⎞N(t)∑E[X(t)] = E ⎝ct − Z k⎠ = ct − E(Z k )E[N(t)] = ct − µ · λt = t(c − λµ) ≥ 0,k=1entonces se supondrá de ahora en adelante quec > λµ. (3.2)Esto es por que en caso contrario se tendría que ψ(u) = 1 para todo u ≥ 0. ( Véase [6])Este supuesto es natural ya que indica que la prima que recibe la compañía es mayorque, la intensidad de la llegada de los reclamos por el valor esperado de estos últimos.Esto es adecuado para el buen funcionamiento de una compañía.Definición 3.1.1. La carga de seguridad de la compañía, denotada por ρ, se define comoρ = c − λµλµ> 0. (3.3)Esta condición es necesaria para asegurar la solvencia de la compañía ya que si no secumpliera, es decir, si ρ ≤ 0 significa que c ≤ λµ, lo cual seria contradictorio con (3.2).Definición 3.1.2. Se define la función h : R → Rh(r) =∫ ∞0exp(rz) dF (z) − 1. (3.4)Se asume que existe 0 < r ∞ ≤ ∞ tal que h(r) ↑ +∞ cuando r ↑ r ∞ .Esto significa que para algún r > 0, m Z (r) < ∞, y por lo tanto F es de cola ligera.Observe que h(0) = 0, h es creciente, convexa y continua.3.2. Aproximación de Cramer-LundbergLa aproximación de Cramer-Lundberg está dada porlím exp(Ru)ψ(u) = ρµu→+∞ h ′ (R) − c . (3.5)λDonde R, es llamado coeficiente de ajuste y se definirá mas adelante.Para poder obtener la aproximación antes mencionada, se condicionará sobre el tiempoy sobre el tamaño de la primera reclamación, primero se obtendrá una ecuación integrodiferencialpara φ(u).

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 29Suponiendo que W 1 no es tiempo de ruina se tiene, X(W 1 ) = u + ct − z ≥ 0, de donde0 ≤ z ≤ u + ct y por lo tanto,φ(u) = P(No ruina en [0, ∞] | X(0) = u)===∫ ∞ ∫ ∞0 0∫ ∞ ∫ ∞0 0∫ ∞ ∫ u+ct00P(No ruina en [0, ∞] | W 1 = t 1 , Z 1 = z, X(0) = u)λ exp(−λt) dF (z) dtP(X(t) ≥ 0 para todo t ≥ W 1 | W 1 = t 1 , Z 1 = z, X(0) = u)λ exp(−λt) dF (z) dtP(X(t) ≥ 0 para todo t ≥ W 1 | T 1 = t 1 , Z 1 = z, X(0) = u)λ exp(−λt) dF (z) dt.Como X(t) tiene incrementos independientes y estacionarios, entoncesφ(u) ==∫ ∞ ∫ ∞0∫ ∞00P(X(t) ≥ 0, t ≥ 0 | X(0) = u + ct − z) dF (z)λ exp(−λt) dtλ exp(−λt)∫ u+ct0φ(u + ct − z) dF (z) dt.asíHaciendo el cambio de variable x = u+ct, se tiene t = x − u , x(0) = u, dx = cdt, dx cc = dt,φ(u) =∫ ∞u= λ c exp ( λuc[ ( )] ∫ x − u x( [ x − uλ exp −λφ u + cc 0c) ∫ ∞ (exp −λ x ) ∫ xφ(x − z) dF (z) dx.cu0] )− z dF (z) dxcHaciendoPor lo queg(u) == −∫ ∞u∫ u(exp −λ x c−∞g ′ (u) = − exp(exp(− λuc) ∫ xφ(x − z) dF (z) dx0−λ x ) ∫ xφ(x − z) dF (z) dxc 0) ∫ uφ(u − z) dF.φ(u) = λ ( ) λuc exp g(u)c0

30CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAyφ ′ (u) = λ [ ( ) ∫ λ λu ∞( ) ∫ −λx x( ) ( ) ∫ λu −λu uc c exp expφ(x − z) dF dx − exp expc u c 0c c 0= λ [ ( ) ∫ λ λu ∞( ) ∫ −λx x]c c exp expφ(x − z) dF dx − λ ∫ uφ(u − z) dFccc= λ c φ(u) − λ c∫ u0u00]φ(u − z) dFφ(u − z) dF. (3.6)Por lo tanto,φ(u) = λ ( ) ∫ λu ∞ (c exp exp −λ x ) ∫ xc 0 c 0φ(x − z) dF (z) dtyφ ′ (u) = λ c φ(u) + λ c∫ u0φ(u − z) d(1 − F ). (3.7)Integrando de [0, t] la ecuación (3.6) se obtiene,∫ t0φ ′ (u) du =∣φ(u)∣ t 0= λ c∫ t0∫ t[ λc φ(u) + λ c0φ(u) du + λ c∫ u]φ(u − z) d(1 − F )0∫ t ∫ u00duφ(u − z) d(1 − F ) du.Integrando∫por partes la doble integral de la derecha,t ∫ u∫ t(∫ φ(u − z) d(1 − F ) du = φ(u − z)(1 − F (z)) ∣ u u)− (1 − F (z))φ ′ (u − z) dz du.00000

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 31Entoncesφ(t) − φ(0) = λ c= λ c∫ t− λ cφ(u) du + λ c0∫ t ∫ u0 0∫ t+ λ c0∫ t ∫ t∫ t0{φ(0)(1 − F (u)) − φ(u)[1 − F (0)]} du[1 − F (z)]φ ′ (u − z) dz duφ(u) du + λ ∫ tc φ(0) [1 − F (u)] du − λ c0z[1 − F (z)]φ ′ (u − z) dz du= λ ∫ tc φ(0) [1 − F (u)] du + λ0c= λ ∫ tc φ(0) [1 − F (u)] du + λ0c= λ ∫ tc φ(0) [1 − F (u)] du + λ0c= λ ∫ tc φ(0) [1 − F (u)] du + λ c= λ c∫ t00φ(t − z)[1 − F (z)] dz.De donde haciendo t = u,φ(u) = φ(0) + λ cHaciendo u → ∞ en (3.8) y (3.1),0∫ uφ(∞) = φ(0) + λ c1 = φ(0) + λ c0∫ t0∫ t0∫ t0∫ t0∫ t0∫ tφ(u) du[1 − F (z)] dz φ ′ (u − z) duz[]∣[1 − F (z)] dz φ(u − z)∣ t z[][1 − F (z)] dz φ(t − z) − φ(0)φ(t − z)[1 − F (z)] dz − λ c∫ t0[1 − F (z)]φ(0) dzφ(u − z)[1 − F (z)] dz. (3.8)∫ ∞0∫ ∞0φ(∞ − z)[1 − F (z)] dz[1 − F (z)] dz,dado queEntoncesµ =∫ ∞0[1 − F (z)] dz.1 = φ(0) + λ c µ= [1 − ψ(0)] + λ c µψ(0) = λ c µ.

32CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINADe (3.3) se tiene,ρ = c − λµλµ1 + ρ = cλµ .= cλµ − 1Tomando recíprocos,11 + ρ = λµ c = ψ(0).Así,ψ(0) = 11 + ρ = λµ c . (3.9)Nótese que la probabilidad de ruina no depende de la elección particular de F , solo de sumedia µ. Cuando más grande es el coeficiente de ajuste ρ, más pequeña es la probabilidad deruina ψ(0).Ahora sustituyendo (3.9) en (3.8), se tiene el siguiente desarrollo1 − ψ(u) = φ(u) = φ(0) + λ c= 1 − ψ(0) + λ c∫ u0∫ u∫ u0φ(u − z)[1 − F (z)] dzφ(u − z)[1 − F (z)] dz= 1 − λµ c + λ φ(u − z)[1 − F (z)] dzc 0= 1 − λ { ∫ u}µ − [1 − ψ(u − z)][1 − F (z)] dzc 0= 1 − λ { ∫ u∫ u}µ − [1 − F (z)] dz + ψ(u − z)[1 − F (z)] dzc 00= 1 − λ { ∫ ∞∫ 0∫ u[1 − F (z)] dz + [1 − F (z)] dz +c 0u0= 1 − λ { ∫ ∞∫ u}[1 − F (z)] dz + ψ(u − z)[1 − F (z)] dz .cu0}ψ(u − z)[1 − F (z)] dzPor lo tantoψ(u) = λ c∫ ∞u[1 − F (z)] dz + λ c∫ u0ψ(u − z)[1 − F (z)] dz. (3.10)Obsérvese que (3.10) es una ecuación de renovación defectiva, debido a queλc∫ ∞u[1 − F (z)] dz = λµ c < 1.

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 33Supóngase que existe una constante R > 0 tal que:λc∫ ∞0exp(Rz)[1 − F (z)] dz = 1. (3.11)Cuando esta constante existe, es única y se llama coeficiente de Cramer-Lundberg o coeficientede ajuste, mas adelante se definirá formalmente.Para poder demostrar la aproximación de Cramer-Lundberg, es necesario multiplicar(3.10) por exp(Ru), de donde se obtieneexp(Ru)ψ(u) = λ ∫ ∞c exp(Ru) [1 − F (z)] dz+ λ c∫ uque es una ecuación de renovación del tipo (2.4), donde0uexp[R(u − z)]ψ(u − z) exp(Rz)[1 − F (z)] dz, (3.12)g(u) = exp(Ru)ψ(u) = λ ∫ ∞c exp(Ru) [1 − F (z)] dzu} {{ }z(u)+ λ c∫ u0exp[R(u − z)]ψ(u − z) exp(Rz)[1 − F (z)] dz. (3.13)} {{ } } {{ }g(u−z)f(u)Luego utilizando el Teorema 2.5.8 (Teorema de renovación),∫ ∞ λlím g(u) = 0 c exp(Ru) ∫ ∞u[1 − F (z)] dz∫x→+∞ λ ∞c 0z exp(Rz)[1 − F (z)] dF = c 1, (3.14)c 2donde c 1 = ∫ ∞ λ0 c exp(Ru) ∫ ∞u[1 − F (z)] dz y c 2 = λ ∫ ∞c 0z exp(Rz)[1 − F (z)] dF , son dos constantes.Ahora se darán expresiones más cortas para c 1 y c 2 .Primero se encontrará una ecuación más sencilla para R de (3.11) y usando (2.5) se obtieneAsí,∫c∞λ = exp(Rz)[1 − F (z)] dz0[1 − F (z)] exp(Rz)= ∣ ∞R− 1 0 R= − 1 R + 1 Rcλ = 1 R∫ ∞0[ ∫ ∞0∫ ∞0exp(Rz) dF (z).exp(Rz) dF (z) − 1]= h(R)R .exp(Rz) d[1 − F (z)]

34CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAEntoncesh(R) = cR λ ,y por tanto R es una solución positiva de la ecuaciónh(r) = cr λ . (3.15)Como 0 ≤ u ≤ z ≤ ∞, entonces para c 1 se tiene,c 1 =∫ ∞∫λ∞c exp(Ru) [1 − F (z)] dz0∫ ∞ ∫ zu= λ exp(Ru) du[1 − F (z)] dzc 0 0= λ ∫ ∞[ 1∣ ∣∣[1 − F (z)] dzc 0R exp(Ru) ∞]0= λ ∫ ∞ [ 1c 0 R R]exp(Rz) − 1 [1 − F (z)] dz= λ ∫ ∞exp(Rz)[1 − F (z)] dz − λcR 0cR 0= 1 ( ∫ λ ∞exp(Rz)[1 − F (z)] dz − λ R c 0c= 1 (1 − λ )R c µ = 1 (1 − 1 )R 1 + ρ= 1 ( ) ρ.R 1 + ρ∫ ∞∫ ∞0[1 − F (z)] dz)[1 − F (z)] dzPor (3.4)h ′ (R) =y∫ ∞0z exp(Rz) dF (z) (3.16)∫z exp(Rz) dz = z R exp(Rz) − 1 R∫exp(Rz) dz= z R exp(Rz) − 1 R 2 exp(Rz) = ( zR − 1 R 2 )exp(Rz).

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 35Para c 2 se tiene,∫ ∞c 2 = λ z exp(Rz)(1 − F (z)) dFc 0= λ [ ( z(1 − F (z))cR − 1 )∫ R 2 exp(Rz) ∣ ∞ ∞−0 0= λ [− 1(− 1 ) ∫ ∞( zc R 2 +0 R − 1 )R 2 exp(Rz) dF (z)= λ [ 1c R 2 + 1 ∫ ∞z exp(Rz) dF (z) − 1 ∫ ∞R 0R 2 0− 1 + ∫ ∞0exp(Rz) dF (z) − 1]R 2= λ [ 1c R 2 + h′ (R)R= λ [ 1c R 2 + h′ (R)= λ [ h ′ (R)c R− h(R) ]R 2= λ [ h ′ (R)c R − c ]λR= λ [h ′ (R) − c ]cR λ= λµ c · 1RµSimplificando,Por lo tantoR − h(R) + 1 ]R 2[h ′ (R) − c λ]= 11 + ρ · 1[h ′ (R) − c ].Rµ λc 1c 2===11+ρ · 1Rµ(1 ρR 1+ρ)[h ′ (R) − c λ( zR − 1 )]R 2 exp(Rz) d(1 − F (z))]]exp(Rz) dF (z)]ρRµ(1 + ρ)[ ]R(1 + ρ) h ′ (R) − c λρµh ′ (R) − c .λlím exp(Ru)ψ(u) = ρµu→+∞ h ′ (R) − c . (3.17)λLa fórmula asintótica (3.17) se llama aproximación de Cramer-Lundberg, para el modeloclásico de riesgo.De esta fórmula se sigue que,ρµψ(u) ∼h ′ (R) − c exp(−Ru). (3.18)λNótese que se puede controlar ψ(u) a través de las constantes c, R y u.

36CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINA3.2.1. Caso exponencialA continuación se muestra la aproximación de Cramer-Lundberg considerando la distribuciónexponencial.Suponga que el tamaño de las reclamaciones que llegan a la compañía en un)cierto períodode tiempo sigue una distribución exponencial, es decir, F (x) = 1 − 1 µ(− exp x µ.Entonceslím exp(Ru)ψ(u) = 1u→+∞ 1 + ρ .En efecto de la ecuación (3.6), se obtieneφ ′ (u) = λ c φ(u) − λcµ∫ u0(φ(u − z) exp − z )dz.µHaciendoh = u − z, z = u − h, dh = −dz, h(0) = u, h(u) = 0, se tieneHaciendo h = z,HaciendoEntoncesF ′ (u) =φ ′ (u) = λ c φ(u) + λcµφ ′ (u) = λ c φ(u) − λcµ∫ u− λcµ F ′ (u) = λ0F (u) =∫ u0∫ 0uφ(h)exp(− u − hµ)dh.∫ u(φ(z)exp − u − z )dz .0µ} {{ }F (u)(φ(z)exp − u − z )dz .µ} {{ }f(z,u)− 1 (µ exp − u − z )φ(z) dz + f(u, u)(1) − f(0, u)(0)µ∫ u(φ(z)exp − u − z )dz + φ(u).= − 1 µ 0µ∫ 1 u(φ(z)exp −cµ[ u − zµ 0µ= 1 [ λµ c φ(u) − λ c φ(u) + λcµ 0= 1 [ ( λ λµ c φ(u) − c φ(u) − λcµ∫ u) ]dzφ(z)exp∫ u= 1 µ[ λc φ(u) − φ′ (u)]− λcµ φ(u).0− λcµ φ(u)φ(z)exp(− u − zµ)(− u − zµ]dz)dz− λcµ φ(u))]− λcµ φ(u)

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 37Y por lo tanto;φ ′′ (u) = λ c φ′ (u) +µ[ 1 λ]c φ(u) − φ′ (u) − λcµ φ(u)= λ c φ′ (u) + λ µc φ(u) − 1 µ φ′ (u) − λ µc φ(u) = ( λc − 1 µ)φ ′ (u).AhoraPor lo queHaciendoluegoλc − 1 µ = λµ − ccµλµ(λµ − c)=λµµc(c − λµ)= −λµ 2 · λµ c= − c−λµλµ· λµ µ c= − ρ µ · 1(1 + ρ) = − ρµ(1 + ρ) .φ ′′ ρ(u) = −µ(1 + ρ) φ′ (u).c =ρµ(1 + ρ) y Y = φ′ ,Y ′ (u) = −cY (u),Y ′ (u)Y (u) = −c.Integrando∫ Y ′ (u)Y (u) du = − ∫∫c duln Y (u) = −cu + c 0Y (u) = exp(−cu) exp(c 0 ) = c 3 exp(−cu)φ ′ (u) = Y (u) = c 3 exp(−cu)∫φ ′ (u) du = c 3 exp(−cu)φ(u) = − c 3c exp(−cu) + c 1φ(u) = c 1 − c 2 exp(−cu),

38CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINApor lo que se tiene φ(u) = c 1 − c 2 exp(−cu).Para ρ > 0, por (3.1) y dado que φ(0) = 1 − ψ(0) = 1 − 11 + ρ ,se obtiene,φ(∞) = c 1 = 11 − 11 + ρ = φ(0) = c 1 − c 2 = 1 − c 2c 2 =11 + ρ .Finalmenteφ(u) = 1 − 1 (1 + ρ exp −ρu );µ(1 + ρ)φ(u) = 1 − ψ(u).ψ(u) = 1 − φ(u) = 1 − 1 + 1 (1 + ρ expψ(u) =(11 + ρ exp −ρuµ(1 + ρ)).−ρuµ(1 + ρ));Por otro lado, de (3.4)h(R) = 1 µ= 1 µ= 1 µ∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0(exp(Rz) exp[expexp− z )dF (z) − 1µ( )] 1−zµ − R dF (z) − 1[ (−z 1 − Rµ )]dF (z) − 1.µHaciendo( ) 1 − Rµx = z;µdx = 1 − Rµ dz.µh(R) = − 1∣ ∣∣1 − Rµ exp(−x) ∞0=11 − Rµ − 1 = Rµ1 − Rµ .

3.2. APROXIMACIÓN DE CRAMER-LUNDBERG 39Así de (3.15), se obtiene que R es una solución positiva deEntonces,λµRcR = 1 − Rµ;λµc= 1 − Rµ;λµc − 1 = −Rµ;11 + ρ − 1 = −Rµ;1 − 1 − ρ= −Rµ;1 + ρ−ρ1 + ρ = −Rµ;ρ1 + ρ = Rµ;µR1 − Rµ = cR λ .R =ρµ(1 + ρ) .Además,h(R) =h ′ (R) =µR1 − µR ;µ(1 − µR) − µR(−µ)(1 − µR) 2= µ − µ2 R + µ 2 R(1 − µR) 2 =µ(1 − µR) 2 .Sustituyendo el valor de R,h ′ (R) ===µ[1 − µρµ(1+ρ)µ[1+ρ−ρ(1+ρ)] 2] 2µ1(1+ρ) 2 = µ(1 + ρ) 2 .

40CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAAsí, por (3.17) se obtiene quelím exp(Ru)ψ(u) = ρµu→+∞ h ′ (R) − c λρµ=µ(1 + ρ) 2 − c λ=======ρµ[µ (1 + ρ) 2 − cλµρ(1 + ρ) 2 − 1 λµcρ](1 + ρ) 2 − 1 11+ρρ(1 + ρ) 2 − (1 + ρ)ρ1 + 2ρ + ρ 2 − 1 − ρρρ + ρ 2ρρ(1 + ρ) = 11 + ρ .Obsérvese que para este ejemplo la aproximación de Cramer-Lundberg es exacta.3.3. Transformadas de Laplace y fórmula de Pollaczek-KhinchinLa fórmula de Pollaczek-Khinchin es usada en el estudio de teoría de colas, describe laprobabilidad de no ruina de la compañía aseguradora en donde el número de reclamos sedistribuyen de acuerdo a un proceso de Poisson homogéneo. En esta sección se mostrará enque consiste tal fórmula y en donde radica su importancia.Teorema 3.3.1. Las transformadas de Laplace para ψ y φ denotadas por L ψ (s) y L φ (s) sonL φ (s) =c − λµcs − λ(1 − l F (s)) , s > 0,donde l F (s) = ∫ ∞0exp(−sy) dF (y).L ψ (s) = 1 s − c − λµcs − λ(1 − l F (s)), s > 0, (3.19)

3.3. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y FÓRMULA DEPOLLACZEK-KHINCHIN 41DemostraciónIntegrando de 0 a ∞ y multiplicando la ecuación (3.6) por exp(−su)∫ ∞∫ ∞[ λφ ′ (u) exp(−su) du = exp(−su)c φ(u) − λ ∫ u]φ(u − y) dF (y) du. (3.20)c0Integrando por partes la integral de la izquierda∫ ∞00φ ′ ∣(u) exp(−su) du = φ(u) exp(−su)= −φ(0) + s∫ ∞∣ ∞ 0= −φ(0) + sL φ (s).00∫ ∞+ s exp(−su)φ(u) du0exp(−su)φ(u) duMientras que para el lado derecho, haciendo el cambio de variable u − y = z, u − z = y,Haciendo z = uλc∫ ∞0λc∫ ∞ ∫ ∞0u−zexp(−sy) dF (y)exp[−s(z + y)]φ(z) dz dF (y).∫ ∞sustituyendo en (3.20), las integrales obtenidasde donde0exp(−su)φ(u) du = λ c L φ(s)l F (s),−φ(0) + sL φ (s) = λ c [L φ(s) − L φ (s)l F (s)]cL φ (s) − cφ(0) = λL φ (s)[1 − l F (s)]L φ (s)[cs − λ(1 − l F (s))] = cφ(0),L φ (s) =cφ(0)cs − λ[1 − l F (s)] .Observese que φ(0) = 1 − ψ(0) y por (3.9), se obtiene que φ(0) = c − λµ .cPor lo tantoL φ (s) =La segunda igualdad se deriva de la primeraL ψ (s) =∫ ∞0c c−λµccs − λ[1 − l F (s)] = c − λµcs − λ[1 − l F (s)] .exp(−su)(1 − φ(u)) du = 1 s − L φ(s)

42CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINADefinición 3.3.2. Sea Z una variable aleatoria con FDA F , entonces la cola integrada de F ,denotada por FZ s (y), se define como⎧⎨FZ(y) s =⎩1µ∫ x0F Z (y) dy para x ≥ 0,0 cualquier otro caso.Teorema 3.3.3 (Fórmula de Pollaczek-Khinchin). Para todo u ≥ 0,φ(u) =(1 − λµ c) ∑∞ ( λµcn=1) n(FsZ ) ∗n (u). (3.21)DemostraciónSe demostrará que∫ ∞0exp(−su)φ(u) du =∫ ∞0(exp(−su) 1 − λµ c) ∑∞ ( λµcn=1) n(FsZ ) ∗n (u) du. (3.22)Es decir, por demostrar∫c − λµ∞cs − λ[1 − l F (s)] =0(exp(−su) 1 − λµ c) ∑∞ ( λµcn=1) n(FsZ ) ∗n (u) du.Por lo que 3∫ ∞0(exp(−su) 1 − λµ c) ∑∞ ( λµcn=1) n(FsZ ) ∗n (u) du =3 Para una sucesión de funciones medibles no negativas f n , se cumple que ∫ ∑ ∞n=0 fn dm = ∑ ∞n=0∫fn dm

3.3. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y FÓRMULA DEPOLLACZEK-KHINCHIN 43============(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c(1 − λµ c) ∑∞ ( λµ) ∫ n ∞[(FcZ) s ∗n (u) − 1 ]d[exp(−su)]n=10s) ∑∞ ( λµ) ( [ n 1 ∫−(Fc s)Z) s ∗n (u) exp(−su) ∣ ∞ ∞+0n=1) ∑∞ ( λµ) ( ∫ n 1 ∞exp(−su) d(Fc s)Z) s ∗n (u)n=100]exp(−su) d(FZ) s ∗n (u)) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) ∫ n ∞exp(−su) d(X 1 + X 2 + · · · + X n )s cn=10) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) ∫ n ∞exp(−su) (dX 1 + dX 2 + · · · + dX n )s cn=10) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) ∫ n ∞[exp(−su) dX 1 + exp(−su) dX 2 + · · · + exp(−su) dX n ]s cn=10) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) nE{exp[−s(X1+ X 2 + · · · + X n )]}s cn=1) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) nE[exp(−sX1)]E[exp(−sX 2 )] · · · E[exp(−sX n )]s cn=1) ( )1 ∑ ∞ ( λµ) nlFss c Z(s) · · · l F sZ(s)n=1) ( ) ∞1 ∑ ( λµ) nc l FZ s (s)sn=1) ( ) ( )1 1s 1 − λµ c l FZ s (s)c − λµs[c − λµl F sZ(s)] .Afirmamos quesµl F sZ(s) = 1 − l F sZ(s).

44CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAEn efecto,sµl F sZ(s) = sµ= sµ= s= s= s= 1 −De donde se obtiene∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0exp(−su) d(FZ)(s)s( ) 1exp(−su) dµ F (y)exp(−su)F (u) duexp(−su)(1 − F (u)) duexp(−su) du − s∫c − λµ∞cs − λ[1 − l F (s)] =[− 1 s exp(−su)F (u) ∣ ∣∣∞exp(−su) dF (u) = 1 − l F (s).0(exp(−su) 1 − λµ cn=10 + 1 s∫ ∞) ∑∞ ( λµ) n(Fsc Z ) ∗n (u) du0]exp(−su) dF (u)La serie infinita dada en (3.21) es particularmente útil para consideraciones teóricas, debidoa la dificultad que conlleva su cálculo. Sin embargo es utilizada ampliamente para calcularaproximaciones de probabilidades de ruina, puesto que obsérvese que ( 1−ψ(u) es la distribuciónde una variable aleatoria geométrica compuesta con parámetros λµc Z), F s .En efecto si N es una variable aleatoria geométrica de parámetro p y X = ∑ Ni=1 Z i, tal queZ 1 , Z 2 , ... son variables aleatorias independientes con distribución F Z , entonces:P(X ≤ x) =De donde haciendo p = λµ c∞∑P(X ≤ x|N = n)p(1 − p) n =n=0∞∑p(1 − p) n F ∗n .n=0y reemplazando F Z por FZ s , se obtiene que1 − ψ(u) =∞∑n=1(1 − λµ c) n (λµc) n(FsZ ) ∗n (u).Así, después de discretizar la distribución FZ s , se puede emplear el algoritmo de Panjer,para obtener aproximaciones de probabilidades de ruina, el cual se describe a continuación.3.4. Fórmula recursiva de PanjerCalcular o aproximar la función de distribución de los reclamos acumulados ha sido unode los puntos centrales en matemática de seguros.En esta sección se desarrollará la fórmula recursiva de Panjer para calcular numéricamente las

3.4. FÓRMULA RECURSIVA DE PANJER 45distribuciones de probabilidad de ruina de funciones de distribuciones compuestas en casosútiles en actuaría.Algunos ejemplos para la distribución del número de reclamos de procesos de riesgo son:a) La distribución de Poisson. El proceso de riesgo clásico de Cramer-Lundberg que sedesarrolla en esta tesis supone que los reclamos se dan de acuerdo a un proceso dePoisson.b) La distribución binomial negativa o distribución de Pascal.c) La distribución binomial.Estas distribuciones de probabilidad p 4 k , k = 1, 2 . . . cumplen la relación recursiva de Panjer:(p k = a + b )p k−1 , k = 1, 2, . . . , (3.23)kdonde a < 1 y b ∈ R son constantes fijas.Considérese la variable aleatoria compuestaX =N∑Z i ,i=1donde Z 1 , Z 2 , . . . son variables aleatorias discretas iid, se asume también que la sucesiónZ 1 , Z 2 , . . . es independiente del número de reclamos N. Se asume que los Z i y N tomanvalores en {0, 1, 2, . . .}. Se denotará la distribución de probabilidad de Z 1 , Z 2 , . . . , por q k y ladistribución de probabilidad del número de reclamos por p k , la cual satisface (3.23).En base a estas consideraciones se tiene el siguiente lema.Lema 3.4.1. Para todo j, k ∈ N y n = 1, 2, . . .()n∑E Z 1 | Z i = j = j n , (3.24)yP(Z 1 = k|i=1i=1donde q ∗nkdenota la n-ésima convolución de q k .DemostraciónComo Z 1 , Z 2 , . . . son iid, se tiene que para X =nE(Z 1 |)n∑Z i = j =i=1)n∑Z i = j = q kq ∗(n−1)j−kqj∗n , (3.25)n∑Z i ,i=1n∑E(Z k |X = j) = E[X | X = j] = j,k=14 En esta sección p k denotará p(k) = P(X = k).

46CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAde donde se obtiene (3.24).Debido a que Z 1 , Z 2 , . . . son independientes, se tiene queP(Z 1 = k|X = j) = P(Z 1 = k, Z 1 + ... + Z n = j − k)P(Z 1 + . . . + Z n = j)= P(Z 1 = k)P(Z 1 + ... + Z n = j − k)P(Z 1 + . . . + Z n = j)= q kq ∗(n−1)j−kqj∗n El siguiente teorema muestra un método recursivo para calcular la distribución de probabilidadr j = P(X = j) de la variable aleatoria compuesta X = Z i , donde laN∑distribuciónde N satisface la relación de Panjer. Este método recursivo se llama algoritmo de Panjer.N∑Teorema 3.4.2. Sea X = Z i y supóngase que la distribución de N satisface (3.23),entoncesi=1i=1⎧⎪⎨g N (q 0 ) j = 0,r j =j∑⎪⎩ (1 − aq 0 ) −1 (a + bkj −1 )q k r j−k j = 1, 2, . . . ,k=1donde g N es la función generadora de probabilidades de N.DemostraciónPara j = 0 se tiene de (2.3), quePara j ≥ 1, q ∗0jr 0 = P(X = 0) == p 0 + p 1 F ∗2Z∞∑k=0p k F ∗kZ (0)+ p 2 F ∗3Z + ... =∞∑p k (q 0 ) k = g N (q 0 ).k=0= 0 y utilizando el hecho que N satisface la relación de Panjer, se sigue:∞∑r j = p n qj∗n (x)=n=1∞∑n=1Usando (3.24), para j ≥ 1,[∞∑r j = a + b 1 (Zj E 1 |=n=1(a + b )p n−1 qj ∗n .nn∑i=1[∞∑a + b 1 j∑ (j k P Z 1 = k|n=1k=0) ]Z i = j p n−1 qj∗nn∑i=1) ]Z i = j p n−1 qj ∗n .

3.5. COTAS PARA LA PROBABILIDAD DE RUINA 47Utilizando (3.25),r j ======⎛∞∑⎝a + b 1 j∑j kn=1∞∑n=1∞∑n=1 k=0∞∑ap n−1 q ∗nj +j∑n=1 k=0j∑k=0j∑k=0j∑= aq 0 r j +k=0∞∑⎞q k q ∗(n−1)j−k⎠qj∗n p n−1 qj∗nj∑n=1 k=0ap n−1 q k q ∗(n−1)j−k+(a + bk j(a + bk j(a + bk jj∑k=1= (1 − aq 0 ) −1 j∑)q k ∞ ∑bkj p n−1q k q ∗(n−1)j−k∞∑j∑n=1 k=0)p n−1 q k q ∗(n−1)j−kn=1)q k r j−k(a + bk jk=1(a + bk jp n−1 q ∗(n−1)j−k)q k r j−k)q k r j−k 3.5. Cotas para la probabilidad de ruinabkj p n−1q k q ∗(n−1)j−kEn general es difícil calcular φ(u) por medio de la fórmula de Pollaczek, ya que está dadapor medio de una suma infinita de convoluciones.Debido a esta dificultad es importante conocer cotas y aproximaciones para φ(u), así comoanalizar su comportamiento a lo largo del tiempo para obtener información acerca del riesgointerior en una compañía.En esta sección se definirá el coeficiente de Cramer-Lundberg y obtendrán condicionessuficientes para su existencia, así como cotas bilaterales para la probabilidad de ruina.

48CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINACoeficiente de Cramer-LundbergEl coeficiente de ajuste R, da una medida del riesgo que posee un portafolio 5 como el de lascompañías de seguros. Aunque dicho coeficiente no siempre existe, se sabe que este hechodepende directamente de la distribución usada para modelar el tamaño de las reclamaciones,así, para asegurar la existencia de este coeficiente, la distribución de los montos de reclamacióndeberá ser de cola ligera.Definición 3.5.1. La suma de los reclamos al tiempo t ≥ 0, se denota como S(t) y se definecomoS(t) =N(t)∑i=0La función generadora de momentos de S(t) esZ i − ct.m S(t) = exp{t[λ(m Z (s) − 1) − cs]}.En efecto:⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎫⎨N(t)m S(t) (s) = E {exp [sS(t)]} = E⎩ exp ∑ ⎬⎣s ⎝ Z i − ct⎠⎦⎭i=0{ [ (∞∑n∑)]}= E exp s Z i − ct P [N(t) = n]n=0i=0[ (∞∑n∑)] [(λt) n ]exp(−λt)= exp(−cts)E exp sZ in!n=0i=0∞∑n∏[ (λt) n ]exp(−λt)= exp(−cts) E[exp(sZ i )]n!n=0i=1∞∑ [m Z (s)] n (λt) n= exp(−cts) exp(−λt)n!n=0= exp(−cts) exp(−λt) exp(λtm Z (s))= exp{t[λ(m Z (s) − 1) − cs]}.Definición 3.5.2. Si existe R tal que es la única raíz positiva de la ecuaciónλ(m Z (s) − 1) = cs,entonces R se llama coeficiente de ajuste o coeficiente de Cramer-Lundberg.Si m Z (s 0 ) < ∞ para algún s 0 > 0, entonces la función θ(s) = λ(m Z (s)−1)−cs = λh(s)−cses infinitamente diferenciable en el intervalo (−∞, s 0 ).5 Se denomina portafolio o cartera al conjunto de inversiones, o combinación de activos financieros queconstituyen el patrimonio de una persona o entidad.

3.5. COTAS PARA LA PROBABILIDAD DE RUINA 49A continuación se muestra que existe una sola raíz positiva para esta ecuación, cuandoésta existe.a) Obsérvese que θ ′ (0) = λm ′ Z(0) − c = λµ − c < 0, lo que indica que la función esdecreciente en una vecindad de cero, puesto que se ha supuesto con anterioridad quec > λµ.b) Además, θ ′′ (s) = λm ′′ Z (s) = λE[Z2 exp(sZ)] > 0, el cual muestra que θ(s) es una funciónconvexa.c) También se cumple que θ(0) = 0.Con base en estas tres observaciones se puede concluir que existe algún s 1 ∈ (0, s) tal queθ ′ (s 1 ) = 0,entonces para s > s 1 , θ(s) crece y para s < s 1 , θ(s) decrece.El coeficiente de ajuste existe bajo las siguientes condiciones.Lema 3.5.3. Supóngase que existe una constante s ∈ R ⋃ {∞} tal que m Z (s) < ∞ si s < s ∞y lím m Z (s) = ∞. Entonces existe el coeficiente de Cramer-Lundberg(R) para el proceso des→s ∞riesgo.DemostraciónPor las observaciones hechas anteriormente, es suficiente demostrar que θ(s) tiene a infinito,conforme s → s ∞ .Para s ∞ < ∞, se cumple dada las observaciones anteriores.Para s ∞ = ∞. Considere x ′ > 0 tal que F Z (x ′ ) < 1, entonces,Asím Z (s) ==>∫ ∞0∫ ′ x0∫ ∞x ′= exp(sx ′ )exp(sx) dF Zexp(sx) dF Z +exp(sx ′ ) dF Z∫ ∞∫ ∞x ′exp(sx) dF Zx ′ dF Z = exp{sx ′ [1 − F Z (x ′ )]}.m Z (s) ≥ exp{sx ′ [F Z (x ′ )]},de donde se deduce que θ(s) tiende a infinitoPor lo tanto existe un solo valor s = R > 0 el cual satisface queθ(R) = 0. (3.26)La Figura 3.2 muestra el comportamiento de la función θ(s), lo que explica intuitivamente launicidad del coeficiente de Cramer-Lundberg.

50CAPÍTULO 3.MODELO CLÁSICO DE CRAMER-LUNDBERG YPROBABILIDAD DE RUINAFigura 3.2: Gráfica del comportamiento de la función θ(s).Teorema 3.5.4. Si se asume que existe el coeficiente de ajuste R de Cramer-Lumdberg delproceso de riesgo clásico. Entonces para todo u ≥ 0dondey x 0 = sup{x : FZ s (x) < 1}.a − exp(−Ru) ≤ ψ(u) ≤ a + exp(−Ru), (3.27)a − = ínfx∈[0,x 0 )a + = supx∈[0,x 0 )exp(Rx) ∫ ∞F Z(y) dy∫ ∞xxexp(Ry)F Z(y) dyexp(Rx) ∫ ∞F Z(y) dyDemostraciónSe usará el Teorema A.0.2 (Véase apéndice A), ya que∫ ∞xxψ(u) = 1 − φ(u).exp(Ry)F Z(y) dySe considera ψ(u), como en (3.21), se aplica el Teorema A.0.2, donde F Z se reemplaza por

3.5. COTAS PARA LA PROBABILIDAD DE RUINA 51F s Z y p = ρ = λµ c, de donde se deduce (3.27), por quem F sZ(s) == 1 ρ ,= 1 µ∫ ∞0∫ ∞esto implica que existe una raíz positiva γ deque es una raíz positiva de (3.26)0exp(sy) dF s Z(y)exp(sy)F (y) d(y)= m X(s) − 1= h(s) por (2.5)sµ sµcsλ=sµ = 1 por (3.15)λµcm F sZ(γ) = 1 ρ ,Naturalmente dicho teorema es válido cuando se ven involucradas distribuciones de colaligera, puesto que como se ha mencionado antes, solo para estas distribuciones se puede asegurarque existe el coeficiente de ajuste.

53Capítulo 4Aproximaciones numéricas ysimulacionesEn este Capítulo se desarrollarán cálculos numéricos, aproximaciones y simulaciones deprobabilidades de ruina empleando distribuciones de cola ligera, mas específicamente se considerala distribución mezcla de exponenciales (para la cual es posible calcular la probabilidadde ruina de manera exacta) y la distribución gamma.Para desarrollar los cálculos numéricos se empleará la transformada de Laplace, pero únicamenteen el caso mezcla de exponenciales, puesto que para esta distribución es posible hallarla inversa de su transformada.Para calcular las aproximaciones se empleará el algoritmo de Panjer, junto con la fórmula dePollaczek-Khinchin, ambos descritos en el Capítulo anterior.Finalmente las simulaciones se harán para analizar el comportamiento de la probabilidad deruina de una aseguradora, suponiendo distintos capitales iniciales, se empleará también ladistribución gamma y la exponencial, para desarrollar las simulaciones.4.1. Cálculos numéricos y exactos de la probabilidad de ruinaLos cálculos numéricos son resultados de las variables de interés que permiten medir elcomportamiento de un proceso, en este caso se harán estos para aproximaciones de ruina,considerando distribuciones de cola ligera.4.1.1. Reclamos que son mezcla de exponencialesA continuación se hará el calculo de la probabilidad de ruina utilizando el algoritmo dePanjer, la aproximación de Cramer-Lundberg y la transformada de Laplace, considerando queel tamaño de los reclamos tienen distribución de probabilidad mezcla de exponenciales.Para este caso, se supondrá que tanto el capital inicial como la intensidad del proceso dePoisson, asociado al número de reclamos es una unidad monetaria, es decir, c = λ = 1, tal

54 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONESque la FDA F (x), del tamaño de los reclamos, está dada por:F (x) = 1 − 1 3 (e−2x + e −3x + e −4x ). (4.1)Obsérvese que como (4.1) es mezcla de distribuciones exponenciales entonces, la mediaestá dada porµ = 1 ( 13 2 + 1 3 4)+ 1 = 1336 .Transformada de LaplaceSe calculará φ(u) de manera exacta a través de la inversa de la transformada de Laplace.Primero se obtendrá L ψ usando (3.19).∫ ∞l F (s) = exp(−sx) dF (x)0∫ ∞{ }1= exp(−sx)03 [2 exp(−2x) + 3 exp(−3x) + 4 exp(−4x)] dx= 1 {}2 exp[−x(2 + s)] 3 exp[−x(3 + s)] 4 exp[−x(4 + s)] ∣∣∣ ∞− − −3 2 + s3 + s4 + s0= 1 [ 23 2 + s + 33 + s + 4 ]4 + s= 1 [9s 2 ]+ 52s + 72.3 (s + 2)(s + 3)(s + 4)Por lo tanto1 − l F (s) = 1 − 1 [9s 2 + 52s + 72]3 (s + 2)(s + 3)(s + 4)= s(3s2 + 18s + 26)3(s + 2)(s + 3)(s + 4) .Luegoc − λµcs − λ(1 − l F (s)) = 23(s3 + 9s 2 + 26s + 24)12s(3s 3 + 24s 2 + 60s + 46) .EntoncesL ψ (s) = 1 s − 23(s3 + 9s 2 + 26s + 24)12s(3s 3 + 24s 2 + 60s + 46)==39s 2 + 243s + 36636(3s 3 + 24s 2 + 60s + 46)1336 s2 + 9 4 s + 6118s 3 + 8s 2 + 20s + 46 . (4.2)3

4.1. CÁLCULOS NUMÉRICOS Y EXACTOS DE LA PROBABILIDAD DERUINA 55Calculando las raíces del polinomio s 3 + 8s 2 + 20 s + 46 3por medio de las ecuaciones deCardan, (Véase Apéndice B) se obtiene que están dadas por⎛ √s 1 = 4 3 cos ⎝ arc cos 1643s 2 = − 4 3 cos ⎛s 3 = − 4 3 cos ⎛⎞⎝ π + arc cos √3⎝ π − arc cos √3⎠ − 8 3 ,164164⎞⎠ − 8 3 ,⎞⎠ − 8 3 .Una vez que las raíces se conocen, es posible escribir L ψ (s) de la siguiente maneraL ψ (s) =As − s 1+Bs − s 2+para algunas constantes A, B, C.Comparando (4.2) y (4.3) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:Cs − s 3, (4.3)1336 = A + B + C94 = (−s 2 − s 3 )A + (−s 1 − s 3 )B + (−s 1 − s 2 )C6118 = s 2s 3 A + s 1 s 3 B + s 1 s 2 C.Haciendo k 1 = −s 2 − s 3 , k 2 = −s 1 − s 3 , k 3 = −s 1 − s 2 , k 4 = s 2 s 3 , k 5 = s 1 s 3 y k 6 = s 1 s 2 seobtienen las soluciones del sistema,Por lo tanto1336C =[k 1(k 5 − k 1 ) − k 4 (k 2 − k 1 )] − 9 4 (k 5 − k 1 ) + 6118 (k 2 − k 1 ),(k 6 − k 4 )(k 2 − k 1 ) − (k 3 − k 1 )(k 5 − k 1 )B = − 1336 k 4 + 6118 + C(k 6 − k 4 ),k 5 − k 4A = 1336 − B − C.de dondeL ψ (s) =As − s 1+Bs − s 2+Cs − s 3,

56 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONESψ(u) = 0.2955835 exp(−1.48513u) + 0.0454190 exp(−2.72235u) + 0.0201058 exp(−3.79251u).(4.4)La expresión (4.4) muestra la probabilidad de ruina de manera exacta. En general, nosiempre es posible aplicar este método, puesto que se necesita calcular explícitamente la inversade la transformada de Laplace ψ.Alternativamente existen otros métodos que permiten hallar aproximaciones de probabilidadesde ruina, como el algoritmo de Panjer y la aproximación de Cramer-Lundberg. Acontinuación se obtendrán estas aproximaciones, para posteriormente hacer una tabla comparativasobre las tres probabilidades de ruina obtenidas.Aproximación de Cramer-LundbergSe calcula la probabilidad de ruina, empleando la aproximación de Cramer-Lundberg.De (3.18) se obtiene una forma aproximada de conocer la probabilidad de ruina,ψ C−L (u) = c1 exp(−Ru), u → ∞, (4.5)c2donde R satisface (3.11). Dado que para este caso λ = c = 1, entonces R ésta definida por13∫ ∞0∫ ∞0exp(Rz)[1 − F (z)] dz = 1{exp[−z(2 − R)] + exp[−z(3 − R)] + exp[−z(4 − R)]} dz = 1[1 13 2 − R + 13 − R + 1 ]4 − R= 1.Observése que para que cada uno de los cocientes anteriores sean positivos, es necesarioque R sea menor que 2, esta observación será útil para elegir una raíz adecuada para el coeficientede Cramer-Lundberg.Simplificando la última ecuación, se obtieneR 3 − 8R 2 + 20R − 46 = 0. (4.6)3Resolviendo (4.6) por medio de las fórmulas de Cardan se obtiene:R 1 = 3.4209423307;R 2 = 2.722799016;R 3 = 1.48492599.

4.1. CÁLCULOS NUMÉRICOS Y EXACTOS DE LA PROBABILIDAD DERUINA 57Debido a que R < 2 entonces la única posible raíz es R 3 .Una vez determinado el coeficiente de ajuste, el siguiente paso es calcular las constantesc 1 , c 2 y ρ,c 1 = 1 ( ) ρ,R 1 + ρρ = cλµ = 2313 ,Pero por (3.16)c 2 =1(1 + ρ)R [h′ (R) − 1].h ′ (R) = 1 [23 (2 − R) 2 + 3(3 − R) 2 + 4](4 − R) 2 .Finalmente se obtiene la aproximación de Cramer-Lundberg:ψ C−L (u) = c1 exp(−Ru) = 0.3030395 exp(−1.48492599u). (4.7)c2Algoritmo de PanjerSe calcularan aproximaciones de probabilidades de ruina utilizando el algoritmo de Panjery el Teorema 3.3.3 (Fórmula de Pollaczek-Khinchin). Dado que la fórmula de Panjer se utilizasolamente para variables aleatorias discretas, se hará una discretización de la función de colaintegrada FZ s , para emplear el algoritmo. La función de cola integrada en este caso esF s Z(x) = 1 µ= 13µ∫ x01[exp(−2y) + exp(−3y) + exp(−4y)] dy3[− 1 2 exp(−2x) − 1 3 exp(−3x) − 1 13exp(−4x) +4 12Se dividirá el intervalo [0, ∞) en subintervalos de longitud 11000 y se aproximará F Z s sobrelos intervalos [ k1000 , 1000) k+1 , k = 0, 1, 2, . . . con una distribución qk de una variable aleatoriadiscreta Y , donde(q k = P Y =k ) ( ) ( )k + 1k= FZs − FZs , k = 0, 1, . . .1000 1000 1000En las Tablas 4.1 y 4.2 se muestran los cálculos numéricos para las aproximaciones de ruina(φ(u) C−L ) que se obtuvieron, así como la fórmula exacta(φ(u)) y los resultados obtenidos delalgoritmo de Panjer (φ(u) P anjer ), empleando distintos capitales(iniciales, también se muestran)los errores relativos para la fórmula de Cramer-Lundbergy para la fórmula de Panjer(Error P anjer = ψ(u) P anjer−ψ(u)ψ(u)∗ 100].Error C−L = ψ(u) C−L−ψ(u)ψ(u)∗ 100).

58 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONESu 0 0.25 0.5 0.75 1ψ(u) P anjer 0.36047254 0.23425208 0.15501462 0.10387948 0.07021934ψ(u) 0.36111100 0.23469585 0.15532818 0.10410319 0.07037981ψ(u) C−L 0.30303950 0.20906217 0.14422869 0.09950110 0.06864424Error P anjer -0.1768038 -0.2018671 -0.1890836 -0.2148935 -0.2280097Error C−L -16.08134341 -10.92208437 -7.14583138 -4.42070524 -2.46601050Tabla 4.1: Probabilidad de ruina para el caso mezcla de exponenciales.u 1.25 1.5 1.75 2 2.25ψ(u) P anjer 0.04775115 0.03260713 0.02233047 0.01532379 0.01053075ψ(u) 0.04786657 0.03269023 0.02239031 0.01536685 0.01056172ψ(u) C−L 0.04735658 0.03267055 0.02253890 0.01554923 0.01072717Error P anjer -0.2411340 -0.2542272 -0.2672737 -0.2802705 -0.2932205Error C−L -1.06545474 -0.06019931 0.66362828 1.18681437 1.56651561Tabla 4.2: Probabilidad de ruina para el caso mezcla de exponenciales.Figura 4.1: Gráfica comparativa.Obsérvese que en las Tablas 4.1 y 4.2, el algoritmo de Panjer proporciona mejores aproximacionesque el método de Cramer-Lundberg para capitales iniciales ≤ 1, sin embargo, laaproximación de Cramer-Lundberg arroja datos cercanos a ψ exacta, aunque cabe mencionarque cuanto mayor sea el capital inicial, la probabilidad de ruina disminuye.En este caso la probabilidad de ruina en general es pequeña si se mide el capital de la compañíaen unidades.

4.1. CÁLCULOS NUMÉRICOS Y EXACTOS DE LA PROBABILIDAD DERUINA 59En efecto, como lo muestra la Figura 4.1, la línea que representa la aproximación dePanjer, está relativamente cerca de la línea que representa la probabilidad de ruina exacta.Se aprecia también que en cuanto mayor sea el capital inicial, las aproximaciones de Panjer yla de Cramer-Lundberg se aproxima mucho a la probabilidad de ruina exacta.Figura 4.2: Error relativo.El error relativo calculado permite conocer el comportamiento de las aproximaciones alo largo de los distintos capitales y evaluar su optimalidad. En la Figura 4.2, se muestrael comportamiento del error relativo, se puede observar que el error para la aproximaciónde Cramer-Lundberg en valor absoluto disminuye lo que implica que las aproximaciones sonbuenas, mientras que el error de Panjer permanece cerca de cero.4.1.2. Reclamos que se distribuyen de acuerdo a una gammaOtro tipo de variable aleatoria que tiene la propiedad de que su FDA es de cola ligera,es la distribución gamma. Para esta distribución no es posible hallar la inversa de la transformadade Laplace de la probabilidad de ruina, así que solamente se harán aproximacionesde probabilidades de ruina, por medio del algoritmo de Panjer y usando la aproximación deCramer-Lundberg.Algoritmo de PanjerSe Asume en este caso que la intensidad del proceso de Poisson y la prima por unidad detiempo son λ = 1 y c = 3 respectivamente, además de que el tamaño de los reclamos tienen

60 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONESu 0 0.25 0.5 0.75 1ψ(u) P anjer 0.6665555 0.6378430 0.6080636 0.5780875 0.5484917ψ(u) C−L 0.7031345 0.6552037 0.6105402 0.5689213 0.5301395Tabla 4.3: Probabilidad de ruina para el caso gamma.una distribución gamma(2, 1), asíF Z (x) = 1 − [exp(−x) + x exp(−x)], x ≥ 0.Con µ = 2, luego su función de cola integrada esta dada porFZ(x) s = 1 [2 − exp(−x)(x + 2)], x > 0.2Se aplicó el algoritmo de Panjer a FZ s , bajo la misma discretización que en el caso exponencial.Aproximación de Cramer-LundbergDe acuerdo con (3.18), se deduce la ecuación que describe el coeficiente de ajuste,∫ ∞0exp(Rz)[exp(−z) + z exp(−z)] dz = 3de lo anterior se deriva que R < 1, y simplificandoEntonces11 − R + 1(1 − R) 2 = 3,−3R 2 + 5R − 1 = 0.R ≈ 0.232408,y de (3.18) se obtiene la aproximación de Cramer-Lundberg:ψ C−L (u) = 0.7031345 exp(−0.282408u).Las Tablas 4.3 y 4.4 presentan los resultados obtenidos, se observa en general que laprobabilidad de ruina es grande en todos los casos, esto se puede ver en la Figura 4.3. Laaproximación de Cramer-Lundberg decrece más rápido que los resultados obtenidos del algoritmode Panjer

4.2. SIMULACIONES 61Figura 4.3: Gráfica comparativa.u 1.25 1.5 1.75 2 2.25ψ(u) P anjer 0.5196501 0.4917962 0.4650674 0.4395350 0.4152256ψ(u) C−L 0.4940013 0.4603266 0.4289474 0.3997072 0.3724602Tabla 4.4: Probabilidad de ruina para el caso gamma.En general en las Tablas 4.3 y 4.4 se observa que las probabilidades de ruina en el caso quese tenga contemplada una distribución tipo gamma, es mayor que en el caso de la distribuciónmezcla de exponenciales (Tablas 4.1 y 4.2). Cuando se empieza sin capital inicial, es decir,solo con lo recolectado de las primas, la probabilidad de ruina es más de 0.5, al igual queen el caso anterior, entre mayor sea el capital inicial invertido menor será la probabilidad deruina que se tenga. Cabe recalcar que la probabilidad de ruina disminuye más lentamentecomparada con las Tablas 4.1 y 4.2.4.2. SimulacionesLas simulaciones se desarrollan con el objetivo de crear modelos que aproximen aspectossobre la realidad, se usan para crear historias artificiales del sistema, con el propósito depredecir ciertos aspectos del comportamiento de lo que se esté analizando.Se usará el lenguaje de programación R para imitar el comportamiento del capital de unacompañía aseguradora a través del tiempo.

62 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONES4.2.1. Caso exponencialPara este caso se supone que el tamaño de las reclamaciones se distribuyen exponencialmentecon parámetro λ = 0.9, c = 1 y µ = 1, el número de periodos que se analizaron fueronn = 50.a) Considerando el capital inicial u = 0.Figura 4.4: Simulación de los reclamos para el caso exponencial.En la Figura 4.4, se muestran trayectorias simuladas, correspondientes al proceso deriesgo, en la cual se puede observar que dado que no se invirtió capital inicial, la mitadde las trayectorias simuladas están por debajo del cero.b) Con un capital inicial de 8 unidades, en las simulaciones obtenidas en la Figura 4.5,se observa que al invertirse un mayor capital inicial, las trayectorias resultantes en sumayoría se encuentran por arriba del cero.A continuación se mostraran las simulaciones obtenidas con los mismos parámetros usados enla sección 4.1.1, es decir, µ = 1336, λ = c = 1, asumiendo que u = 0 y u = 2 respectivamente.Obsérvese que en la Figura 4.7 las trayectorias de riesgo simuladas, tienen un comportamientotentativamente creciente a lo largo del tiempo y los procesos de riesgo simulados se encuentranpor arriba del cero.

4.2. SIMULACIONES 63Figura 4.5: Simulación de los reclamos, caso exponencial u=8.4.2.2. Caso gammaEn las simulaciones mostradas a continuación se supone que el tamaño de los reclamos sedistribuye con una distribución gamma(2, 1), con µ = 1, λ = 1 y c = 2 unidades (mismosdatos que los considerados en la sección 4.1.2).a) Con capital inicial igual de 1 unidad, en la Figura 4.8 se ven los procesos de riesgosimulados, se observa que la mitad de las trayectorias obtenidas para un tiempo de 30periodos se encuentran por arriba del cero.b) Ahora con un capital inicial de 2.25 unidades, las simulaciones obtenidas se muestranen la Figura 4.9, se observa que la mayoría de los procesos de riesgo que simulan elcomportamiento de la compañía se encuentran por arriba del cero, al igual que en elcaso anterior.Aunque en general no se puede decir con certeza a partir de las trayectorias simuladas cualserá la probabilidad de ruina, estas proporcionan un panorama general del comportamientode los procesos de riesgo.

Figura 4.6: Simulación reclamos exponencial u=0.Figura 4.7: Simulación reclamos exponencial u=2.

4.2. SIMULACIONES 65Figura 4.8: Simulación reclamos gamma, u=1.Figura 4.9: Simulación reclamos gamma u=2.25.

66 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONES

4.2. SIMULACIONES 67ConclusionesLa incertidumbre a la que las compañías de seguros se enfrentan es de gran interés dentrodel área de probabilidad, motivo por el cual en este trabajo se mostraron métodos paracalcular la probabilidad de ruina de una compañía de seguros, en el caso en que el tamaño delos reclamos son de cola ligera.Se hizo una revisión de conceptos básicos de probabilidad, como variables aleatorias compuestas,procesos estocásticos, transformada de Laplace, entre otros, con el propósito de entenderel modelo de Cramer-Lundberg.Se describió el modelo clásico de riesgo, así como la aproximación de Cramer-Lundbergen la cual se emplean distribuciones de cola ligera. Se pudo observar que el coeficiente deajuste es de gran importancia dentro de esta aproximación, ya que en base a este coeficientese puede manipular la probabilidad de ruina. En el caso de distribuciones de cola ligera, unade las ventajas que se tiene es que se pueden establecer cotas para las probabilidades de ruina.Estos resultados teóricos construyen la base del comportamiento de las distribuciones de colaligera.Además de la aproximación de Cramer-Lundberg, se describió el algoritmo de Panjer queproporciona otra técnica para calcular aproximaciones de probabilidades de ruina.Una vez estudiados estos métodos, se analizaron casos en los cuales el tamaño de los reclamoses mezcla de exponenciales y gamma. Para el primer caso fue posible encontrar demanera exacta la probabilidad de ruina, lo que permitió hacer comparaciones con los resultadosobtenidos por medio del algoritmo de Panjer y la aproximación de Cramer-Lundberg. Sepudo observar que la aproximación de Panjer dio mejores resultados que la aproximación deCramer-Lundberg.Para el caso gamma debido a que no es posible obtener una fórmula exacta para la probabilidadde ruina, solo se pudieron obtener aproximaciones de la probabilidad de ruina,similarmente por ambos métodos (Panjer y Cramer-Lundberg). Estas aproximaciones sonmuy buenas en este caso y mejoran cuando el capital inicial crece.Se hicieron simulaciones de trayectorias del proceso de riesgo, las cuales muestran algu-

68 CAPÍTULO 4. APROXIMACIONES NUMÉRICAS Y SIMULACIONESnos posibles comportamientos sobre el capital de la compañía a lo largo de un cierto periodo,usando distintos capitales iniciales y considerando la distribución mezcla de exponenciales y lagamma. Una de las ventajas de las simulaciones es que permiten observar el comportamientodel capital de una compañía a lo largo del tiempo, en base a ellas se pueden hacer estimacionessobre el comportamiento de los procesos de riesgo, puesto que crean comportamientosartificiales del capital de la compañía.Finalmente cabe mencionar que a pesar de que el modelo descrito usado en este trabajo,no toma en cuenta muchos aspectos realistas en cuanto al funcionamiento de una aseguradora,sirve como modelo para estudio en muchos casos reales.

69Apéndice ACotas bilateralesSe obtendrán cotas bilaterales para F X (x) = P(X > x), se asumirá que X es una variablealeatoria geométrica compuesta X = ∑ Ni=1 Z i, donde las Z i ’s son iid con FDA F , tal que Fes de cola ligera, además de que la sucesión Z 1 , Z 2 , . . . y N son independientes.Geométrica CompuestaDefinición A.0.1. Una variable aleatoria X es geométrica compuesta de parámetros (p, F X ),si es una variable aleatoria compuesta y N tiene una distribución geométrica de parámetro p.Su FDA es:F X (x) =∞∑(1 − p)p k FZ ∗k (x),Si se escribe la ecuación (A.1), separando el primer término se obtienede dondek=0F X (x) = (1 − p)δ 0 +∞∑(1 − p)p k+1 F ∗(k+1) (x)k=0∑∞= (1 − p)δ 0 + pF Z (1 − p)p k FZ ∗k (x)k=0= (1 − p)δ 0 + pF Z ∗ F X ,Z(A.1)F X (x) = (1 − p)δ 0 + pF Z ∗ F X .(A.2)Se puede demostrar (Véase [6]) que esta ecuación tiene una única solución acotada enintervalos finitos. Reemplazando la distribución F X del lado derecho de la igualdad (A.2) porel término (1 − p)δ 0 + pF Z ∗ F X e iterando este procedimiento, se obtiene queF X (x) = límn→∞ F n(x), x ≥ 0,(A.3)

70 APÉNDICE A. COTAS BILATERALESdonde F n está dada porF n = (1 − p)δ 0 + pF Z (x) ∗ F n−1 ,n ≥ 1 y F 0 es una distribución inicial arbitraria sobre R + .Se asume adicionalmente que F Z es tal que la ecuaciónm Z (γ) = 1 p ,(A.4)tiene una solución γ ≥ 0, la cual es usualmente llamada Coeficiente de Ajuste.Si se sabe que (A.4) tiene una solución γ > 0, entonces esta solución es única y m Z (s) < ∞para todo s < γ.Dadas estas condiciones se pueden encontrar cotas para la cola de la distribución compuestaF X llamadas Limites de Lundberg.Considerando X 0 = sup{x ∈ R : F Z (x) < 1}, se tienen las siguientes cotas bilaterales paraF Z , llamadas cotas de tipo Lundberg.Teorema A.0.2. Si X tiene una distribución geométrica compuesta con parámetros (p, F Z )tal que (A.4), admite una solución positiva γ, entoncesdondea − = ínf x∈[0,x0 )a + = sup x∈[0,x0 )Demostracióna − exp(γx) ≤ F X (x) ≤ a + exp(γx), x ≥ 0,∫exp(γx)F Z (x)∞0 exp(γy) dF Z(y)∫exp(γx)F Z (x)∞0 exp(γy) dF Z(y)Primero se obtendrá el límite superior. Nuestro objetivo es encontrar una distribución inicialF 0 , tal que para n = 1, la distribución correspondiente F 1 = (1 − p)δ 0 + pF U ∗ F 0 satisfagaF 1 (x) ≥ F 0 (x).(A.5)Se puede probar por inducción que F Z ∗F 1 (x) ≥ F Z ∗F 0 (x) y que F n+1 (x) ≥ F n (x), x ≥ 0,n = 0, 1, . . . para todo x ≥ 0.De (A.3) se sigueF X (x) = 1 − F X (x) = 1 − límn→∞ F n(x)= límn→∞ (1 − F n(x))≤límn→∞ (1 − F 0) = F 0 (x).

71Por lo tantoF X (x) ≤ F 0 (x), x ≥ 0.(A.6)Sea F 0 = 1 − a exp(−γx), donde a ∈ (0, 1]. Dado que x ≥ 0, se tiene δ 0 (x) = 1, entoncesF 0 (x) = 1 − a exp(−γx) = δ 0 (x) − aδ 0 + a − a exp(−γx) = (1 − a)δ 0 + a[1 − exp(−γx)].Definase G(x) = 1 − exp(−γx). Luegopara x ≥ 0. AsíF 0 (x) = (1 − a)δ 0 + aG(x),F 1 (x) = (1 − p)δ 0 (x) + p(F Z ∗ F 0 )(x)= (1 − p)δ 0 + pF Z ∗ [(1 − a)δ 0 + aG] (x)[∫ x]= (1 − p)δ 0 (x) + p (1 − a)F Z (x) + a G(x − y) dF Z (y)0[∫ x]= 1 − p + p (1 − a)F Z (x) + a {1 − exp[−γ(x − y)]} dF Z (y) .Se busca a tal que cumpla (A.5), entonces[ ∫ x]1 − p + p F Z (x) − a (1 − exp[−γ(x − y)] dF Z (y))a exp(−γx) − a exp(−γx)[a exp(−γx) 1 − p(a 1 − p0∫ x0∫ x0∫ xUtilizando el hecho de que m Z (x) = 1 p, se tienede donde1 − p1 = p∫ x∫ xEntonces (A.7) es equivalente a0ap000≥ 1 − a exp(−γx) x ≥ 0;exp(−γy) dF Z (y) ≥ p − pF Z (x);]exp(−γx) dF Z (y) ≥ p(1 − F Z ) = pF Z (x);)exp(−γy) dF (y) ≥ p exp(−γx)F Z (x). (A.7)exp(γy) dF Z (y) + pexp(γy) dF Z (y) = p∫ ∞x∫ ∞x∫ ∞xexp(γy) dF Z (y),exp(γy) dF Z (y), x ≥ 0.exp(γy) dF Z (y) ≥ p exp(γx)F Z (x);a≥exp(γx)F Z (x)∫ ∞x exp(γy) dF Z(y) .

72 APÉNDICE A. COTAS BILATERALESHaciendo a = a + se obtiene (A.5) y de (A.6) se deduce que F X (x) ≤ F 0 (x). Por lo tantoF X (x) ≤ a + exp(−γx), x ≥ 0,que es la cota superior del teorema que se desea probar.Similarmente se obtiene la cota inferior buscando a de tal forma que F 1 (x) ≤ F 0 (x) para todox ≥ 0Corolario A.0.3. Supóngase que F Z es exponencial con parámetro δ. Entonces γ = δ(1 − p),a − = a + = p y en consecuenciaDemostraciónF X (x) = p exp[−(1 − p)δx]Dado que F Z es exponencial F Z (x) = ∫ x0δ exp(−δy) dy = 1 − exp(−δx), x ≥ 0.Entonces resolviendo 1 p = m Z(γ) =δδ−γ .Además, se tiene[ ∫e γx ∞−1F Z (x) exp(γy) dF Z (y)]= p.Del Teorema (A.0.2)xp exp[−sδ(1 − p)] ≤ F X (x) ≤ p exp[−sδ(1 − p)],y por lo tanto F X (x) = p exp[−sδ(1 − p)], para todo x ≥ 0

73Apéndice BFórmulas de CardanSea la ecuación cúbica x 3 +ax 2 +bx+c = 0, donde el coeficiente de x 3 es 1 (de lo contrario sepuede dividir toda la ecuación entre dicho coeficiente). Si a, b y c son números reales, entoncesel polinomio tiene tres raíces reales, o bien, una real y dos complejas conjugadas.El procedimiento para encontrar dichas raíces consiste en evaluar:t 1 =3b − a2ab − 3c, t 2 = − a396 27 , t 3 = t 3 1, t 4 = t 2 2 + t 3 .Si t 4 ≥ 0, entonces evaluar:t 5 = √ t 4 , t 6 = 3√ t 2 + t 5 , t 7 = 3√ t 2 − t 5y entonces el polinomio tiene una raíz real y dos complejas conjugadas:x 1 = t 6 + t 7 − a (y x 2,3 = − t 6 + t 7− a ) √3± (t 6 − t 7 )32 32 i.Pero si t 4 < 0, entonces evaluar√t 5 = signo(t 2 )− t2 2t 3, t 6 = arc cos (t 5 ), t 7 = 2 √ −t 1 ,y entonces el polinomio tiene tres raíces reales:( )t6x 1 = t7 cos − a ( ) π ∓3 3 ,x t62,3 = −t 7 cos − a 3 3 .Las soluciones anteriores son llamada fórmulas de Cardan, en honor al matemático italianoGirolamo Cardan y son de gran ayuda para resolver ecuaciones de tercer grado.

74 APÉNDICE B. FÓRMULAS DE CARDAN

BIBLIOGRAFÍA 75Bibliografía[1] Asmussen S. “Ruin Probabilities”. Advanced Series on Statistical Science & AppliedProbability. Vol. 2. World Scientific. 2000.[2] Dickson David C. M. “Insurance Risk and Ruin”. International Series on Actuarial Science.Cambridge University Press. 2006.[3] Jan Grandell. “Aspects of Risk Theory”. Springer-Verlag. 1991.[4] Luis Rincón. “Introducción a la Teoria de Riesgo”. UNAM. 2010.[5] R Development Core Team , R: A language and environment for statistical computing. RFoundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, URL http://www.R-project.org,2011.[6] Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. “Stochastic Processes for Insurance andFinance”. John Wiley & Sons 1999.[7] Sheldon M. Ross. “Simulation”. Academic Press. 2002.[8] Taylor, Howard M., Karlin, Samuel. “An introduction to Stochastic Modeling”. ThirdEdition. Academic Press. 1998.