Modelo de diseño unifactorial completamente aleatorizado

Nivel Observaciones Totales Promedios1 y 11 y 12 ··· y 1n y 1· ȳ 1·2 y 21 y 22 ··· y 2n y 2· ȳ 2·. ········· ··· ···a y a1 y a2 ··· y an y a· ȳ a·y··ȳ··La idea es descubrir cómo se reparte la variabilidad total de la muestra. Una posiblemedida de variabilidad total es la suma de cuadrados, denominada total, o suma total decuadrados corregida:dondeSCT =aXi=1ȳ·· = 1n · anX(y ij − ȳ··) 2Se puede desomponer en dos partes esta suma total de cuadrados:= nSCT =aXi=1nX(y ij − ȳ··) 2 =j=1aX(ȳ i· − ȳ··) 2 +i=1= SCTra + SCE.aXi=1j=1aXi=1aXi=1nXj=1y ijnX((ȳ i· − ȳ··)+(y ij − ȳ i·)) 2 =j=1nX(y ij − ȳ i·) 2 =j=1ya queaX nX2 (ȳ i· − ȳ··)(y ij − ȳ i·) == 2i=1j=1aX(ȳ i· − ȳ··)i=1j=1nX(y ij − ȳ i·)peronX(y ij − ȳ i·) =nȳ i· − nȳ i· =0j=1y así los dobles productos se hacen 0.Las diferencias entre los promedios observados de los tratamientos y el promedio general,da una medida de las diferencias entre los tratamientos.5

Las diferencias de las observaciones dentro de los tratamientos con respecto al promediodel tratamiento, se considera error aleatorio.Grados de libertad.Se tiene un total de a · n observaciones y de a tratamientos.SCT tiene (an − 1) grados de libertad.SCTra tiene (a − 1) grados de libertad.SCE tiene a(n−1) grados de libertad, porque hay n réplicas dentro de cada tratamiento,esdecir,setienen(n− 1) grados de libertad para estimar el error experimental. Altener a tratamientos, se tiene un total de a(n − 1) grados de libertad.Observaciones.Se tiene que"aX nXaX nX#SCE = (y ij − ȳ i·) 2 = (y ij − ȳ i·) 2 .i=1 j=1i=1 j=1Si el término entre paréntesis se divide entre n − 1, se obtiene la cuasivarianza deltratamiento i :s 2 i = 1n − 1nX(y ij − ȳ i·) 2 .j=1Se puede estimar la varianza poblacional combinando dichas varianzas por grupos:"aX nX#(y ij − ȳ i·) 2(n − 1)s 2 1 +(n − 1)s 2 2 + ···+(n − 1)s 2 a i=1 j=1==(n − 1) + (n − 1) + ···+(n − 1)aX(n − 1)donde N = a · n.= SCEN − aSi no hay diferencias entre los a tratamientos, se puede estimar la varianza poblacionali=1σ 2 comoSCTraa − 1= naX(ȳ i· − ȳ··) 2i=16a − 1

cuando las medias de los tratamientos son iguales, ya que el términoaX(ȳ i· − ȳ··) 2i=1a − 1sería un estimador de la varianza de la media muestral: σ 2 /n.Se dispone, así de dos posibles estimadores de σ 2 :MCTra = SCTraa − 1MCE = SCEN − aCuando no existen diferencias entre las medias de los tratamientos, las estimacionesdeben ser similares.Si consideramos las medias de cuadrados anteriores, entonces, se puede demostrar,sustituyendo, queE(MCE) = σ 2E(MCTra) = σ 2 + n P ai=1 τ 2 i.a − 1De este modo, si para algún τ i 6=0, entonces E(MCTra) >σ 2 .La idea básica es diseñar un contraste que tenga en cuenta estas diferencias entre losdos estimadores de σ 2 .Como los errores ε ij se distribuyen independientemente entre sí, según una N(0,σ),entonces, por el lema de Fishersiempre que τ i =0, ∀i.SCEσ 2 ∼ χ 2 N−aSCTraσ 2 ∼ χ 2 a−1NOTA: Teorema de Cochran:7

Sea z i ∼ N(0, 1) independientes entre sí, para i =1, 2,...v y seavXzi 2 = Q 1 + Q 2 + ···+ Q si=1donde s ≤ v ycadaQ i tiene v i grados de libertad (i =1, 2,...s), entoncesQ 1 ,Q 2 ,...,Q s son v.a. independientes distribuidas como una chi cuadrado conv 1 ,v 2 ,...,v s grados de libertad respectivamente, si y sólo siv = v 1 + v 2 + ...+ v sSi se aplica el teorema de Cochran, se tiene que SSEσ 2lo que si τ i =0, ∀i, entoncesy SSTraσ 2son independientes, porF 0 =SCTraa−1SCEN−a= MCTraMCEse distribuye como una F de Snedecor, F a−1,N−a .Si algún τ i6=0, entonces E(MSTra) >σ 2 entonces el valor del estadístico F 0 esmayor, obteniéndose una región crítica superior, de modo que se rechaza, a nivel α, lahipótesis nula de igualdad de tratamientos, siF 0 >F α,a−1,N−aResumen: Tabla ANOVA.H 0 ≡ τ 1 = τ 2 = ···τ aH 1 ≡ τ i 6=0, ∃iF. Variación S. Cuadrados gl M. Cuadrados F 0PFactor SCTra = n a (ȳ i· − ȳ··) 2 a − 1 MCTra = SCTra Fa−1 o = MCTraMCEi=1PError SCE = a nP(y ij − ȳ i·) 2 N − a MCE = SCETotalSCT = a Pi=1 j=1i=1 j=1nP(y ij − ȳ··) 2 N − 1n−aSe rechaza H 0 anivelα cuando F 0 >F α,a−1,N−a .8

Estimación de los parámetros.Dado el modeloy ij = µ + τ i + ε ijdonde i =1,...,a; j =1,...,n, se pueden estimar los parámetros µ y τ i por el métodode los mínimos cuadrados, de modo que no se necesita suponer normalidad de los erroresε ij .la suma de los cuadrados de los errores esL =aX nXε 2 ij =i=1 j=1aX nX(y ij − µ − τ i ) 2 ,i=1 j=1de modo que los estimadores de µ y τ i son los valores ˆµ y ˆτ i que minimizan el funcionalL.Derivando respecto cada uno de los parámetros, se obtiene un total de (a +1)ecuaciones:se obtiene∂LaX∂µ = 0 =⇒−2∂L∂τ i= 0 =⇒−2i=1nX(y ij − ˆµ − ˆτ i )=0j=1nX(y ij − ˆµ − ˆτ i )=0, i =1, 2,...,aj=1N ˆµ + nˆτ 1 + nˆτ 2 + ···+ nˆτ a = ⎧y··nˆµ +nˆτ 1 = y 1·⎪⎨ nˆµ +nˆτ 2 = y 2·⎪⎩. ··· ··· ··· ··· .nˆµ +nˆτ a = y a·Estassedenominanecuaciones normales de mínimos cuadrados. Si se suman las últimasa ecuaciones, se obtiene la primera ecuación, de modo que no forman un sistemaindependiente de ecuaciones y no existe solución única. Para evitar esto, se considera larestricciónaXˆτ i =0,i=19

obteniéndose, entonces, los estimadoresˆµ = ȳ··ˆτ i = ȳ i· − ȳ··para i =1, 2,...,a.Si se asume que los errores están distribuidos según una normal, entonces cada ȳ i· ∼N (µ i ,σ 2 /n) . De este modo, cuando σ 2 es desconocida un intervalo de confianza al 100(1−α)% es "De la misma manera, "Diseño desequilibrado.ȳ i· ± t α 2 ,N−a rMCEn(ȳ i· − ȳ··) ± t α 2 ,N−a r2MCEnSi el número de observaciones es diferente según cada tratamiento i: n i donde i =1, 2,...,a, las expresiones previas son iguales salvo que se sustituye n por n i :SCT =SCTra =aX Xn i(y ij − ȳ··) 2 =i=1j=1aX Xn i(ȳ i· − ȳ··) 2 =i=1j=1SCE = SCT − SCTra#.i=1#.aX Xn iyij 2 − y2··NaXi=1j=1yi·2 − y2··n i NPararesolverlasecuacionesnormalesseconsideralarestricciónaXn iˆτ i =0i=1y se resuleve del mismo modo.Si el diseño es no balanceado o desequilibrado, aumenta la sensibilidad del análisisunifactorial a la falta de igualdad entre las varianzas de cada grupo (heterocedasticidad).10

Ejemplo 1Un ingeniero de desarrollo de productos está interesado en maximizar laresistencia a la tensión de una nueva fibrasintéticaqueseemplearáenlamanufacturade tela para camisas de hombre. El ingeniero sabe por experiencia que la resistenciaestá influida por el porcentaje de algodón presente en la fibra. Además, sospecha que elcontenido de algodón debe estar aproximadamente entre un 10 y 40 % para que la telaresultante tenga otras características de calidad que se desean (como la capacidad derecibir un tratamiento de planchado permanente). El ingeniero decide probar muestras acinco niveles de porcentaje de algodón: 15, 20, 25, 30 y 35 %. Asimismo, decide ensayarcinco muestras a cada nivel de contenido de algodón. Las 25 observaciones deben asignarseal azar. Para ilustrar la forma en que puede aleatorizarse el orden de ejecución, supóngaseque las observaciones se numeran como sigue:%algodón15 1 2 3 4 520 6 7 8 9 1025 11 12 13 14 1530 16 17 18 19 2035 21 22 23 24 25Ahora se elige al azar un número entre 1 y 25. Supongamos que es el 8, entonces laobservación 8 a se ejecuta primero (es decir, a un 20 % de algodón). A continuación seelige un número al azar entre 1 y 25, quitando el 8. Supongamos que es el 4, entonces laobservación 4 a se ejecuta en segundo lugar (a un 15 % de algodón). Se repite el procesohasta completar las 25 observaciones.Esta secuencia de prueba aleatorizada es necesaria para evitar que los resultados secontaminen por los efectos de variables desconocidas que pueden salir de control duranteel experimento. Para ilustrar esto, supóngase que se ejecutan las 25 muestras de pruebaen el orden no aleatorizado original (esto es, las 5 muestras con un 15 % de algodón seprueban primero, luego las 5 muestras con un 20 % de algodón, y así sucesivamente). Si lamáquina que prueba la resistencia a la tensión presenta un efecto de calentamiento tal que11

a mayor tiempo de funcionamiento menores lecturas de resistencia a la tensión, entoncesdicho efecto contaminará los datos de resistencia e invalidará el experimento.Supóngase ahora que el ingeniero ejecuta la prueba en el orden aleatorio que hemosdeterminado. Las observaciones obtenidas acerca de la resistencia a la tensión son:%dealgodón Observaciones Suma Media15 7 7 15 11 9 49 9.820 12 17 12 18 18 77 15.425 14 18 18 19 19 88 17.630 19 25 22 19 23 108 21.635 7 10 11 15 11 54 10.8376 15.04Representamos el diagrama de dispersión para la resistencia frente al porcentaje dealgodón, y.el diagrama de cajas para la resistencia a la tensión a cada nivel de porcentajede algodón.diagrama de dispersión252219161310252219161310observacionesmedias715 20 25 30 35porcentaje de algodón712

Diagrama de cajas25observaciones2219161310715 20 25 30 35porcentaje de algodónAmbas gráficas indican que la resistencia a la tensión aumenta con el contenido dealgodón hasta el 30 %. Mas allá del 30 % ocurre un notable decrecimiento en la resistencia.No hay una fuerte evidencia que sugiera que la variabilidad en la resistencia alrededorde la media dependa del porcentaje de algodón. Se sospecha, no obstante, que el porcentajede algodón influye en la resistencia a la tensión.Se disponen los datos en una tabla como esta:Observaciones Sumas Mediasy 11 , ··· ,y 1n1 y 1· ȳ 1·.. .y I1 , ··· ,y InI y I· ȳ I·y··ȳ··A) Hipótesis del modeloLas principales hipótesis del modelo son:—Normalidad:ε ij sigue una distribución normal.— Linealidad: E(ε ij )=0— Homocedasticidad: Var(ε ij )=σ 2 13

— Independencia: ε ij son independientes entre sí.Estas hipótesis son equivalentes a las siguientes:—Normalidad:y ij sigue una distribución normal.— E(y ij )=µ i— Homocedasticidad: Var(y ij )=σ 2— Independencia: y ij son independientes entre sí.B) MetodologíaEn nuestro análisis vamos a seguir los siguientes pasos:— Estimar los parámetros del modelo.—Contrastarsielfactorinfluye en la respuesta, es decir, si los valores medios de Yson diferentes al cambiar el nivel del factor.— Sielfactorinfluye en la variable respuesta, es decir, las medias no son iguales, buscarlas diferencias entre poblaciones (o niveles del factor).— Diagnosis del modelo: comprobar si las hipótesis del modelo son ciertas mediante elanálisis de los residuos.C) Estimación de los parámetrosEn este ejemplo, a =5,n i =5y N =25. Las estimaciones puntuales de los parámetrosson las siguientes:14

ˆµ 1 = ȳ 1· =9,8ˆµ 2 = ȳ 2· =15,4ˆµ 3 = ȳ 3· =17,6ˆµ 4 = ȳ 4· =21,6ˆµ 5 = ȳ 5· =10,8Porejemplo,elintervalodeconfianza para µ 1 , al nivel (1 − α) =0,95, es:" r #MCEȳ i· ± t α 2 ,N−a =n"r #8,06= 9,8 ± t 0,025,20 =5[7,1515, 12,4485]D) Análisis de la varianzaEl contraste de hipótesis que vamos a abordar es el siguiente:⎧⎨ H 0 : µ 1 = ···= µ a (el factor no influye)H 1 : algún factor es diferente (el factor influye)⎩nivel de significación αFV SC GL FTratamiento SCTra = P ai=1 n i(ȳ i· − ȳ··) 2 a − 1 F 0 = SCTra/(a−1)SCE/(N−a)Error SCE = P a P nii=1 j=1 (y ij − ȳ i·) 2 N − aTotal SCT = P a P nii=1 j=1 (y ij − ȳ··) 2 N − 1siendo FV = Fuente de variación, SC = Suma de Cuadrados, GL = Grados de libertad.Las sumas de cuadrados también se pueden calcular de la siguiente forma:SCT = XX y 2 ij − nȳ 2··SCTra = X n i ȳ 2 i· − nȳ 2··SCE = SCT − SCTra15

Cuando sólo hay dos poblaciones (un factor con dos niveles), este contraste es idénticoal contraste de la t para comparar las medias de dos poblaciones normales e idependientescon la misma varianza.Analizamos a continuación la tabla de análisis de la varianza del ejemplo 1SCT = XX y 2 ij − nȳ 2·· == 7 2 +7 2 +15 2 + ... +15 2 +11 2 − 25 × 15,04 2 == 636,96SCTra = X n i ȳ 2 i· − nȳ 2·· == 5(9,8 2 + ... +10,8 2 ) − 25 × 15,04 2 == 475,76La tabla ANOVA es:SCE = SCT − SCTra =636,96 − 475,76 = 161,2F.V. S.C. G.L. M.C. FTratamiento 475.76 4 118.94 14.76Error 161.2 20 8.06Total 636.96 24F 4,20;0,1 = 2,2489F 4,20;0,05 = 2,8661F 4,20;0,01 = 4,4307Por lo tanto, rechazamos H 0 a los niveles anteriores y concluimos que hay diferenciasentre los tratamientos.Ejemplo 2. Analizaremos los siguientes conjuntos de datos:16

Primer casoSumas Medias20 19 20 21 80 2022 22 22 22 88 2224 24 23 25 96 24264 22Segundo casoSumas Medias45 0 10 25 80 208 30 38 12 88 2215 44 2 35 96 24264 22Las medias son iguales en los dos casos, con lo cual la diferencia de medias debería serigual en ambos casos. Los diagramas de puntos, considerando en abscisas los grupos y enordenadas las observaciones, son:25Primer caso2423222120192421 2 3Segundo caso504030201001 2 317

Debido a las diferentes dispersiones (varianzas) que existen en los dos casos, la impresiónvisual es muy distinta. En el segundo caso no se aprecia diferencia entre los tresgrupos (el factor no parece influir), mientras que en el primer caso, la cosa no está tanclara. Entonces, no es suficiente sólo con comparar las medias de cada grupo, la variabilidadtambié influye. Lo que vamos a hacer es comparar la variabilidad entre las mediascon la variabilidad dentro de cada grupo, mediante el análisis de la varianza.Vamos a construir la tabla ANOVA:Caso 1 :SCT =SCTra =aX Xn i(y ij − ȳ··) 2 =36.i=1j=1aX(ȳ i· − ȳ··) 2 =32i=1SCE = SCT − SCTra =36− 32 = 4La tabla ANOVA es:F.V. S.C. G.L. M.C. FTratamiento 32 2 16 36Error 4 9 0.444Total 36 11Como F 2,9;0,05 =4,2565, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el factor influyeen la respuesta.Caso 2 :SCT = XX yij 2 − nȳ 2·· =8692− 12 × 22 2 =2884.SCTra = X n i ȳi· 2 − nȳ 2·· = 5840 − 12 × 22 2 =32SCE = SCT − SCTra =2884− 32 = 2852.La tabla ANOVA es:18

F.V. S.C. G.L. M.C. FTratamiento 32 2 16 0.05Error 2852 9 316.889Total 2884 11Como F 2,9;0,05 =4,2565, no rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el factor noinfluye en la respuesta al nivel α =0,05..19

Comparaciones entre mediasUna vez obtenidas diferencias significativas entre los tratamientos, conviene estudiarpor qué se rechaza la igualdad entre medias, comparando todos los pares de medias,porque puede ser que se rechace la igualdad de medias porque haya un par de mediasdiferentes entre sí. Se considera, entonces, los siguientes contrastes:H 0 ≡ µ i = µ j , i 6=jH 0 ≡ µ i 6=µ j , i 6=jLosmétodosgeneralessonlascomparacionesmúltiplesylostestsderecorridostudentizado.Comparaciones múltiples.LSD de Fisher (Least significant difference)Se contrasta µ i = µ j , para todo i 6=j, (i, j =1,...,a).Se tiene que se distribuye como una t de Student:(ȳ i· − ȳ j·) − ¡ ¢µ i − µq j∼ t N−aˆσ 1n i+ 1 n jAsí, un Intervalo de Confianza para ¡ ¢µ i − µ j anivelα es[(ȳ i· − ȳ j·) ± LSD α ]ysedenominasLSD α = t N−a,α ˆσ 1+ 12n i n j1. Si |ȳ i· − ȳ j·| >LSD α =⇒ Se rechaza que µ i = µ j anivelα.2. Si |ȳ i· − ȳ j·|

SiZ 1 ,...,Z a ∼ N(0, 1)U ∼ χ 2 mindependientemente, entonces,Q =máxi6=j|Z i − Z j |qUm= Z (a) − Z (1)qUm∼ q a,mse distribuye con una distribución de recorrido estudentizado de parámetros a y m.Método de TukeySe requiere que n i = n, i =1,...,a. Si esto no se cumple, entonces se toma n =mín i {n i } .q11. Si |ȳ i· − ȳ j·| >q a,N−a;αˆσ =⇒ Se rechaza que µ n i = µ j anivelα.q12. Si |ȳ i· − ȳ j·| t N−a,α ˆσ 1+ 12pn i n jdonde p es el número de comparaciones que se pueden obtener: 1 ≤ p ≤ ¡ a2¢.Se puede aproximar t N−a,α2psiendo z α ∼ N(0, 1).por una normal:t v,α = z α + 1 ¡ ¢z34v α − z α ,21

Ejemplos.En el problema de comparación del porcentaje de algodón en las prendas, las mediasmuestrales eran:Se tiene quea =5n =5N =25ˆσ 2 =8,06N − a =20.ȳ i· ȳ 1· ȳ 2· ȳ 3· ȳ 4· ȳ 5·9,8 15,4 17,6 21,6 10,8— LSD de FishersLSD α = t N−a,α ˆσ 1+ 1 r= t2 20,0n i n 0 025 8,06 · 2j 5 =3,745— Método de Tuckey— Método de BonferroniHSD α = ˆσ √ nq a,N−a,α =r8,065 q 5,20,0 0 05 =1,269 · 4,24 = 5,38Comoµ 5p = =102luego hay 10 posibles comparaciones:sB α = t N−a,α ˆσ 1+ 1 r= t2pn i n 20,0 0 05 8,06 · 2j20 5Comot 20,0 0 0520= t 20,0 0 0025 ≈ z 0,0025 + 1 ¡ ¢z34 · 20 0,0025 − z 0,0025 == 2,81 + 1 ¡2,81 3 − 2,81 ¢ =3,05280luegoB α = t 20,0 0 0520Así la tabla de diferencias es:r8,06 · 25 =3,052 · r8,06 · 25 =5,48.22

(i, j) (ȳ i· − ȳ j·) LSD α =3,745 HSD α =5,38 B α =5,48(1,2) 5,6 6= 6= 6=(1,3) 7,8 6= 6= 6=(1,4) 11,8 6= 6= 6=(1,5) 1,0 = = =(2,3) 2,2 = = =(2,4) 6,2 6= 6= 6=(2,5) 4,6 6= = =(3,4) 4 6= = =(3,5) 6,8 6= 6= 6=(4,5) 10,8 6= 6= 6=Tests de recorrido studentizadoEn estos tests, se requiere que n i = n, i =1,...,a. Si esto no se cumple, entonces setoma la media armónica:µ 1n = a + ···+ 1 −1n 1 n aLos tests principales son:— El test de Duncan— El test de Newman-KeulsEn ambos tests se siguen los siguientes pasos:(i) Se ordenan de manera creciente las medias muestrales a comparar:ȳ (1)· < ȳ (2)· < ···< ȳ (a)·(ii) Se comparan las diferencias entre dos medias separadas por p posiciones con p =a, a − 1,...,2 usando los siguientes puntos críticos:Duncan.d p =ˆσ √ nr p,N−a,αdonde r p,N−a,α se obtiene a partir de la tabla de intervalos significativos deDuncan.23

Newman-Keuls.NK p =ˆσ √ nq p,N−a,αdonde q p,N−a,α se obtiene a partir de la tabla de la distribución de recorridostudentizado.Por ejemplo, para p = a se contrasta sir1|ȳ (a)· − ȳ (1)·| > r a,N−a;αˆσnr1|ȳ (a)· − ȳ (1)·| > q a,N−a;αˆσnPara p = a − 1 se contrasta sir1|ȳ (a)· − ȳ (2)·| > r a−1,N−a;αˆσnr1|ȳ (a−1)· − ȳ (1)·| > r a−1,N−a;αˆσnr1|ȳ (a)· − ȳ (2)·| > q a−1,N−a;αˆσnr1|ȳ (a−1)· − ȳ (1)·| > q a−1,N−a;αˆσn(iii) Se van declarando diferentes o no a las parejas de medias. Si no se declaran diferentes,se conectan con una línea base. Al final sólo se declaran diferentes las medias queno están conectadas por ninguna línea.(iv) Si un grupo de medias no es significativamente diferente, ningún subgrupo de ellaslo es.Se tiene que la relación entre ambas tablas es la siguiente:r p,N−a;α = q p,N−a;1−(1−α) p−1Si comparamos los respectivos puntos críticos con N − a =20, por ejemplo:24

p 2 3 4 5 6 7 8r p,20,0 0 01 4.02 4.22 4.33 4.4 4.47 4.53 4.58q p,20,0 0 01 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84Se observa que r p,20,0 0 01 ≤ q p,20,0 0 01, con lo cual se tiene qued α,p = ˆσ √ nr p,N−a,α

p |ȳ i· − ȳ j·| Newman-Keuls Duncan5 |ȳ 1· − ȳ 4·| =11,8 > 5,38 > 4,124 |ȳ 1· − ȳ 3·| =7,8 > 5,03 > 4,03|ȳ 5· − ȳ 4·| =10,8 > 5,03 > 4,033 |ȳ 1· − ȳ 2·| =5,6 > 4,54 > 3,93|ȳ 5· − ȳ 3·| =6,8 > 4,54 > 3,93|ȳ 2· − ȳ 4·| =6,2 > 4,54 > 3,932 |ȳ 1· − ȳ 5·| =1 < 3,74 < 3,74|ȳ 5· − ȳ 2·| =4,6 > 3,74 > 3,74|ȳ 3· − ȳ 2·| =2,2 < 3,74 < 3,74|ȳ 3· − ȳ 4·| =4 > 3,74 > 3,74Como conclusión, se obtiene que µ 4 >µ i para i =1, 2, 3, 5 de manera significativa segúnambos criterios.Y el resultado es:µ 1 µ 5x______yµ 2 µ 3x______yµ 4Contrastes Ortogonales (método de Scheffé)En general, un contraste entre k medias poblacionales se puede definir como unacombinación linealΨ = c 1 µ 1 + c 2 µ 2 + ···+ c a µ atales que c 1 ,...,c a son constantes de suma nula: P aj=1 c j =0.Un estimador de Ψ esˆΨ = c 1¯x 1· + c 2¯x 2· + ···+ c a¯x a·y la estimación de la varianza de Ψ esˆσ 2 Ψ = MCEµ c21+ ···+ c2 a.n 1 n aEn particular, por ejemplo, la diferencia entre dos medias cualesquiera equivale a uncontrasteˆΨ = c i µ i + c j µ j26

con c i =1y c j = −1 y cero para el resto de términos.El procedimiento se Scheffé seaplicadelasiguienteforma:(i) Especificar Ψ así como los coeficientes que determinan el contraste. Calcular ˆΨ reemplazandolas medias muestrales por las poblacionales.(ii) Estimar ˆσ 2 Ψ y calcular la razónˆΨˆσ Ψ.(iii) Si la razón ¯¯¯ ˆΨ¯¯ q> (a − 1)F a−1,N−a,α ,ˆσ Ψse rechaza la hipótesis H 0 ≡ Ψ =0al nivel α.Ejemplo.Supongamos que se trata de contrastarΨ 1 = µ 1 + µ 3 − µ 4 − µ 5Ψ 2 = µ 1 − µ 4Las estimas sonˆΨ 1 = ¯x 1· +¯x 3· − ¯x 4· − ¯x 5· =9,8+17,6 − 21,6 − 10,8 =5,0ˆΨ 2 = ¯x 1· − ¯x 4· =9,8 − 21,6 =−11,8ˆσ Ψ1 =ˆσ Ψ2 =vut MCEr5Xi=18,06 2 5 =1,8c 2 in i=r8,06 4 5 =2,54ycomoF a−1,N−a,α = F 4,20,0 0 01 =4,43, de modo que p (a − 1)F a−1,N−a,α = √ 4 · 4,43 = 4,21¯ ˆΨ 1¯¯¯= 5,0 =1,97 < 4,21ˆσ Ψ1 2,54se acepta la H 0 .27

¯ ˆΨ 2¯¯¯= 11,8 =6,56 > 4,21ˆσ Ψ2 1,8se rechaza la H 0 .Aunque el método de Scheffé permite plantear muchas posibles comparaciones entremedias, cuando se estudian sólo diferencias entre medias resulta menos eficaz que los testsespecíficos para diferencias de pares de medias.28

Estudio de la adecuación del modeloLa mayor parte de las desviaciones de las hipótesis básicas del modelo, se puedenestudiar a través de los residuos:e ij = y ij − ŷ ijal igual que se hace, habitualmente en Regresión.Así, el dibujo de los errores de modo secuencial a como aparecen las observacionespermite detectar correlaciones entre los mismos y, de este modo, se observa si se cumplela hipótesis de independencia. Si no es así, es un problema difícil de corregir en la práctica,como no sea repitiendo el experimento y aleatorizando de modo conveniente.También se puede considerar la gráfica de los errores frente a los valores predichosŷ ij =ȳ i·, que no debería presentar tendencias en cuanto a su aspecto. Si lo hace, es unsigno de la existencia de varianza no constante o heterocedasticidad.Cuando n i= n, parai =1,...a la existencia de varianzas heterogéneas entre losgrupos, apenas afecta al contraste de la F . Sin embargo, si los tamaños muestrales sondesiguales, la probabilidad de cometer error de tipo I puede ser diferente al valor α prefijado.Para comprobar este supuesto, se puede considerar el test de Levene o el test deBarlett. Sin embargo, la prueba de Levene tiene la ventaja de que no se ve afectada porla falta de normalidad del modelo, y se puede aplicar a tamaños muestrales desiguales.El estadístico de contraste de la prueba de Levene esF 0 =P a P ni¡i=1 j=1 dij − i·¢ ¯d /(N − a)P ai=1 n ¡i ¯di· − ¯d··¢/(a − 1)donded ij = |y ij − ȳ i·| ,P nij=1 ¯d i· =d ij,nP ia P nii=1 j=1 ¯d·· =d ij.N29

Si las varianzas son homogéneas, entonces este estadístico F 0 se distribuye como unaFdeSnedecor,F a−1,N−a,α , siendo α el nivel de significación elegido.Transformaciones para conseguir homocedasticidadCuando se presenta homocedasticidad se debe a menudo a que la varianza cambiacuando lo hace la media. Si µ i es la media del grupo i-ésimo y σ i su desviación típica,entonces σ i = f(µ i ) para alguna función f.ParaestabilizarlavarianzasebuscaunafunciónT tal que T (x) tengavarianzaconstante.En la práctica se usaT (x ij )=½ xλij λ 6= 0log(x ij ) λ =0En particular se suele considerar una función f de la formaf(µ i )=kµ α ide modo queσ i = kµ α iSe puede demostrar que para conseguir la homocedasticidad, se debe usar la transformacióncon parámetro λ =1− α.Para estimar λ se usan los diagramas rango-media. Se asume el ajuste a una ecuacióndel tipo σ = kµ α yasílog(σ) =log(k)+α log(µ)α será la pendiente de la recta que pasa por los puntos del gráfico, esto es, de la correspondienterecta de regresión. Una vez estimado α se calcula λ =1− α.Observaciones(i) Las transformaciones estabilizadoras de la vrainza se definen sólo para conjuntos dedatos positivos. En caso contrario, hay que sumar una constante a los datos.30

(ii) En general se considera una rejilla de valores de λ y se va probando con múltiplosde 1 2 .(iii) Frecuentemente la transformación no sólo estabiliza la varianza sino que normalizalos datos, cuando estos no se distribuyen como una normal.31

Modelo de efectos aleatoriosSi el número de niveles del factor no está fijado de antemano, sino que es una muestraaleatoria de una población de niveles, entonces se tiene un modelo de efectos aleatorios.El modelo se expresa igual que antesy ij = µ + τ i + ε ijdonde i =1, 2,...,a y j =1, 2,...,n, siendo, en este caso, τ i y ε ij variables aleatorias.Si se asume que τ i y ε ij son independientes, y que τ i tiene como varianza σ 2 τ, entoncesla varianza de una observación dada esVar(y ij )=σ 2 τ + σ 2 .Se denomina a σ 2 τ yaσ 2 como los componentes de la varianza ysesuponequeε ij ∼ N(0,σ 2 )τ i ∼ N(0,σ 2 τ)independientemente entre sí.Ahora carece de sentido contrastar hipótesis basadas en tratamientos individuales, porlo que se contrasta:H 0 ≡ σ 2 τ =0H 1 ≡ σ 2 τ > 0Todos los tratamientos serán iguales si σ 2 τ =0. Sin embargo, si σ 2 τ > 0 existe variabilidadentre los tratamientos.En este caso, si H 0 es cierta, σ 2 τ =0, entoncesF 0 =SCTraa−1SCEN−a= MCTraMCE∼ F a−1,N−a32

Si se consideran los valores esperados de las medias de cuadrados, entonces=Del mismo modo, se obtiene queE [MCTra]= 1a − 1 E [SCTra] =" aX#1a − 1 E yi·2n − y2·· = σ 2 + nσ 2Nτ.i=1E [MCE]=σ 2 .Si la hipótesis alternativa es cierta, entonces el valor esperado del numerador en F 0 esmayor que el esperado del denominador. Así, se rechaza H 0 para valores altos de F 0 , conlo cual, la región crítica es unilateral superior, rechazándose siF 0 >F a−1,N−a,αEl procedimiento de cálculo es igual que en el modelo de efectos fijos, aunque lasconclusiones se aplican a toda la población de tratamientos.Estima de los componentes de la varianzaSi se igualan los valores esperados de las medias de cuadrados con los valores observados,se obtienede dondeMCTra = σ 2 + nσ 2 τMCE = σ 2NOTA:ˆσ 2 = MCEˆσ 2 τ =MCTra− MCEnSi n i , para i =1,...,a son distintos entre sí, se sustituye en la expresión anterior npor" aXn 0 = 1P #ai=1n i −n2 iPa − 1ai=1i=1 n .i33

Ejemplo.Una fábrica de maquinillas de afeitar utiliza una gran cantidad de máquinas en laproducción. Se desea que las máquinas sean homogéneas para producir objetos de lamisma calidad. Para investigar si existen variaciones significativasentrelasmáquinas,se seleccionan 4 al azar y se mide el porcentaje de un cierto componente de la hoja. Elexperimento se realiza con orden aleatorio.y i·Máquina 1 98 97 99 96 390Máquina 2 91 90 93 92 366Máquina 3 96 95 97 95 383Máquina 4 95 96 99 98 388y·· =1527Se obtiene la siguiente tabla ANOVA:F.V. S.C. G.L. M.C. F 0Explicada 89.19 3 29.73 15.68Residual 22.75 12 1.90Total 11.94 15ComoF 3,12,0 0 05 =3,49 < 15,68Se rechaza H 0 ≡ σ τ =0.Estimación de los componentes de la varianza:ˆσ 2 = MCE =1,90ˆσ 2 τ =MCTra− MCEn=29,73 − 1,904=6,96.La estimación de la varianza de cualquier observación de la muestra esˆσ 2 +ˆσ 2 τ =1,90 + 6,96 = 8,86y la mayor parte de la variabilidad se debe a diferencias entre las máquinas.34

Intervalos de confianza para los componentes de la varianzaEl intervalo de confianza para σ 2 al 100(1 − α)% es(N − a)MCEχ 2 N−a, α 2≤ σ 2 ≤(N − a)MCEχ 2 N−a,1− α 2El intervalo de confianza para σ 2 τ no se puede calcular de modo exacto, dado que dependede una combinación lineal de χ 2 ’s. Por tanto se calcula el intervalo para el cocienteσ 2 τ.σ 2 + σ 2 τSe denominaÃl 1 = 1 nÃl 2 = 1 nMCTraMCEMCTraMCE1F a−1,N−a , α 21F a−1,N−a,1−α2− 1!− 1!entonces el intervalo de confianza al 100(1 − α)% esl 11+l 1≤ σ2 τσ 2 + σ 2 τ≤ l 21+l 2.Ejemplo.En el caso de la fábrica de maquinillas de afeitar,F a−1,N−a , α 2F a−1,N−a,1−α2= F 3,12,0,025 =4,47= F 3,12,0,975 =1F 12,3,0,025=0,070.De este modoÃl 1 = 1 nÃl 2 = 1 nMCTraMCEMCTraMCE1F a−1,N−a , α21F a−1,N−a,1−α2− 1!− 1=0,625!=54,88335

de modo quel 1σ 2 τ≤1+l 1 σ 2 + σ 2 τ0,6251, 625 ≤ σ 2 τσ 2 + σ 2 τ≤ l 21+l 2≤ 54,88355,8830,39 ≤σ 2 τσ 2 + σ 2 τ≤ 0,98Esto es, la variabilidad de las máquinas justifica entre el 40 % y el 98 % de la variabilidadtotal.36

Test de Kruskal-WallisCuando no está justificado asumir normalidad, se puede utilizar la metodología noparamétrica. El test de Kruskal-Wallis propone como hipótesis nula que los a tratamientosson iguales, frente a la hipótesis alternativa de que algunas observaciones son mayores queotras entre los tratamientos. Se puede considerar que este test es adecuado para contrastarla igualdad entre las medias.Procedimiento.Se calculan rangos de cada una de las observaciones y ij de manera creciente y se reemplazapor su rango R ij , donde la menor observación tendría el valor 1. En caso de empates,se asigna a todas las observaciones empatadas el valor medio de sus correspondientes rangos.Se denota como R i· la suma de los rangos del i-ésimo tratamiento de modo que elestadístico esH = 1 S 2 " aXi=1R 2 i·n i−#N(N +1)24donde n i es el número de observaciones que hay en el tratamiento i, N es el número totalde observaciones y" aXS 2 = 1N − 1i=1Xn ij=1R 2 ij −#N(N +1)2.4Se puede observar que S 2 es simplemente la varianza de los rangos. Si no hay empates,entonces S 2 = N(N+1)12y el test se simplifica, quedando el estadísticoH =12N(N +1)aXi=1R 2 i·n i− 3(N +1).Para valores n i > 5, H se distribuye aproximadamente como una χ 2 a−1 si la hipótesisnula es cierta. Por tanto, si H>χ 2 a−1,α serechazalahipótesisnulaaunnivelα.Ejemplo.En el ejemplo de las camisas fabricadas según su porcentaje de algodón, se tenían lossiguientes datos:37

%dealgodón Observaciones15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11Si se calculan los correspondientes rangos, se obtiene:RangosSumaR 1j 2 2 12.5 7 4 27.5R 2j 9.5 14 9.5 16.5 16.5 66R 3j 11 16.5 16.5 20.5 20.5 85R 4j 20.5 25.5 23 20.5 24 113R 5j 2 5 7 12.5 7 33.5Así, calculando" aX#S 2 = 1 Xn iR 2 N(N +1)2ij − =N − 14i=1 j=1¸125 · 262∙5497,79 − =53,03244" aX#H = 1 Ri·2 N(N +1)2− =S 2 ni=1 i 4¸125 · 262=∙52,45 − =19,25.53,034Como H>χ 2 4,0,01 =13,28, entonces se rechaza la hipótesis nula obteniéndose la mismaconclusión que en el caso de usar el test clásico paramétrico.38

Test de aleatorización y test BootstrapSe pueden realizar tests de aleatorización sobre los errores para contrastar medias. Elalgoritmo es1. Calcular el estadístico F 0 del modo habitual sobre los datos originales.2. Calcular el residuo para cada observación, como la diferencia entre cada observacióny la media de todas las observaciones dentro de su grupo correspondiente.3. Asignar aleatoriamente los residuos en los grupos del mismo tamaño sumándolos alasmediasdecadagrupo,ycalcularF 1 , el estadístico de la F de Snedecor obtenidosobre los nuevos datos generados.4. Repetir el paso (3) un número N de veces para generar los valores F 1 ,F 2 ,...,F N5. Declarar que F 0 es significativo a un nivel α si es mayor que el valor correspondienteal percentil (1 − α) de los valores F 1 ,F 2 ,...,F N .Se puede modificar este algoritmo, cambiando el paso (3) remuestreando los residuoscon reemplazamiento para producir nuevos conjuntos de datos. Este método da un testBootstrap de significación que tiene propiedades similares al anterior. Sin embargo, hayuna diferencia entre ambos métodos:El test basado en aleatorización, se basa en la idea de que los residuos aparecen ordenaleatorio, mientras que el método Bootstrap se basa en una aproximación a la distribuciónF de Snedecor que se obtendría remuestreando de las poblaciones de donde vienen los datosoriginales.39

La cantidad Φ 2 está relacionada con el parámetro de centralidad, y se presentan habitualmentecurvas para α =0,05 y α =0,01.El parámetro anterior, depende de1. Los valores τ 1 ,...,τ a obienµ 1 ,...,µ a para los que se consideran medias distintas,ya que obviamente dichos valores no son conocidos previamente.2. El valor de σ 2 , que al ser también desconocido, se suele usar el valor que se obtienemediante una muestra piloto.3. El número de réplicas por tratamiento.Así, fijadoslosvaloresdeτ i y el valor de σ 2 se debe determinar n para que la potenciasea (1 − β). Una manera de hacerlo es buscando en las tablas de curvas características deoperación.Ejemplo.Supongamos que en el ejemplo de las prendas el experimentador está interesado enrechazar la igualdad entre los tratamientos con una probabilidad mínima de 0,9 (error detipo II: β =0,1).Se asumen unas medias poblacionales por grupo igual aµ 1 =11, µ 2 =12, µ 3 =15, µ 4 =18, µ 5 =19de modo que la media total es µ = 11+12+15+18+19 =15.5Supongamos una estimación previa (mediante e.g. una muestra piloto) de ˆσ 2 =9yque el nivel α elegido es 0,01. Se tiene que τ i = µ i − µ, de manera queτ 1 = 11− 15 = −4τ 2 = 12− 15 = −3τ 3 = 15− 15 = 0τ 4 = 18− 15 = 3τ 5 = 19− 15 = 441

EntoncesΦ 2 =n5Xi=15ˆσ 2τ 2 i= n(16+16+9+9)5 · 9Se construye una tabla, dando distintos valores a n :=1,11 · nn Φ 2 Φ g.l. (a − 1,a(n − 1)) β (1-β) Potencia4 4,44 2,11 (4, 15) 0,3 0,75 5,55 2,36 (4, 20) 0,15 0,856 6,66 2,58 (4, 25) 0,04 0,96Por tanto es necesario realizar, al menos, 6 réplicas.Lectura de las Curvas de Operación(i) Se elige la curva de operación. Para ello se calculan los grados de libertad: a − 1=5 − 1=4, y se elige la curva con v 1 =4.(ii) Se fijaelhazdecurvascorrespondientealvalordeα elegido: en el ejemplo, seríaα =0,01.(iii) Se elige la curva correspondiente a v 2 = a(n − 1). Por ejemplo, si n =4, se tomaríav 2 =15.(iv) En el eje X se busca el valor del parámetro Φ ysefija la ordenada para ese valorde Φ que muestra la curva de operación elegida en (iii). Por ejemplo, para n =4,v 2 =15, el valor está cerca de 0,30.(v) El valor de la probabilidad de error de tipo II está en la ordenada. En el ejemplo es0.30, de manera que la potencia es (1 − β) =0,70.A menudo resulta difícil seleccionar las medias para cada tratamiento que se quierenusar, para determinar el tamaño de la muestra. Una alternativa consiste en considerar elvalor de la máxima diferencia posible entre las medias: D.42

Se puede demostrar que el valor mínimo de Φ 2 esΦ 2 = D2 n2aσ 2 .Como es el valor mínimo, entonces se obtiene el tamaño muestral adecuado para obtenercomo mínimo la potencia especificada.Modelo de efectos aleatoriosEn este modelo, se contrastaH 0 ≡ σ τ =0H 1 ≡ σ τ > 0En este caso, si H 1 es cierta, entoncesF 0 = MCTraMCE∼ F a−1,N−ade manera que se pueden usar las tablas habituales de la F de Snedecor para determinarel tamaño muestral.También se pueden usar curvas de operación característica, donde aparecen las gráficasdel error de tipo II, frente al parámetrorλ = 1+ nσ2 τσ 2Los términos σ 2 τ y σ 2 al ser desconocidos se fijan dependiendo de la sensibilidad deseadapara el experimento.43

Aplicación con RSe puede usar la librería Rcmdr de R, y ejecutar las siguientes sentencias en la ventanade arriba de Rcmdr:library(Rcmdr)Datos

lmedias

Para comparaciones múltiples se pueden considerar el test de LSD, el de Bonferroni y eltest de Tukey. El test de LSD hay que programarlo:# test de LSDn1

Aplicación con SASoptions ls=75 nodate nonumber;title 'ANOVA UNIFACTORIAL DE EFECTOS FIJOS';data ano1;input grupo medida;cards;1 71 71 151 111 92 122 172 122 182 183 143 183 183 193 194 194 254 224 194 235 75 105 115 155 11;proc anova;class grupo;model medida=grupo;means grupo /duncan snk lsd tukey;run;ANOVA UNIFACTORIAL DE EFECTOS FIJOSThe ANOVA ProcedureClass Level InformationClass Levels Valuesgrupo 5 1 2 3 4 5Number of observations 2547

Dependent Variable: medidaSum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 4 475.7600000 118.9400000 14.76 Fgrupo 4 475.7600000 118.9400000 14.76

Duncan's Multiple Range Test for medidaNOTE: This test controls the Type I comparisonwise error rate, not theexperimentwise error rate.Alpha 0.05Error Degrees of Freedom 20Error Mean Square 8.06Number of Means 2 3 4 5Critical Range 3.745 3.931 4.050 4.132Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N grupoA 21.600 5 4B 17.600 5 3BB 15.400 5 2C 10.800 5 5CC 9.800 5 149

Student-Newman-Keuls Test for medidaNOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate under thecomplete null hypothesis but not under partial null hypotheses.Alpha 0.05Error Degrees of Freedom 20Error Mean Square 8.06Number of Means 2 3 4 5Critical Range 3.7454539 4.5427095 5.0256316 5.3729604Means with the same letter are not significantly different.SNK Grouping Mean N grupoA 21.600 5 4B 17.600 5 3BB 15.400 5 2C 10.800 5 5CC 9.800 5 1Tukey's Studentized Range (HSD) Test for medidaNOTE: This test controls the Type I experimentwise error rate, but itgenerally has a higher Type II error rate than REGWQ.Alpha 0.05Error Degrees of Freedom 20Error Mean Square 8.06Critical Value of Studentized Range 4.23186Minimum Significant Difference 5.373Means with the same letter are not significantly different.Tukey Grouping Mean N grupoA 21.600 5 4AB A 17.600 5 3BB C 15.400 5 2CD C 10.800 5 5DD 9.800 5 150

options ls=75 nodate nonumber;title 'ANOVA UNIFACTORIAL DE EFECTOS ALEATORIOS';data ano1;input caja peso;cards;1 481 492 462 492 493 513 503 503 523 494 514 514 524 535 525 505 536 506 506 516 49;proc glm;class caja;model peso=caja;random caja/ test;proc varcomp method=type1;class caja;model peso=caja;run;ANOVA UNIFACTORIAL DE EFECTOS ALEATORIOSThe GLM ProcedureClass Level InformationClass Levels Valuescaja 6 1 2 3 4 5 6Number of observations 2151

Dependent Variable: pesoSum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 5 36.69285714 7.33857143 5.21 0.0057Error 15 21.11666667 1.40777778Corrected Total 20 57.80952381R-Square Coeff Var Root MSE peso Mean0.634720 2.361750 1.186498 50.23810Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > Fcaja 5 36.69285714 7.33857143 5.21 0.0057Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > Fcaja 5 36.69285714 7.33857143 5.21 0.0057SourcecajaType III Expected Mean SquareVar(Error) + 3.4476 Var(caja)Tests of Hypotheses for Random Model Analysis of VarianceDependent Variable: pesoSource DF Type III SS Mean Square F Value Pr > Fcaja 5 36.692857 7.338571 5.21 0.0057Error: MS(Error) 15 21.116667 1.407778Variance Components Estimation ProcedureClass Level InformationClass Levels Valuescaja 6 1 2 3 4 5 6Number of observations 21Dependent Variable: peso52

Type 1 Analysis of VarianceSum ofSource DF Squares Mean Squarecaja 5 36.692857 7.338571Error 15 21.116667 1.407778Corrected Total 20 57.809524 .Type 1 Analysis of VarianceSourceExpected Mean SquarecajaVar(Error) + 3.4476 Var(caja)ErrorVar(Error)Corrected Total .Type 1 EstimatesVariance Component EstimateVar(caja) 1.72026Var(Error) 1.4077853