Transformada Z

Transformada ZJose Salvador Cánovas PeñaNovember 13, 2007

Contents0.1 Ecuaciones en diferencias finitas................................. 30.2 Definiciónypropiedadesbásicas ................................ 40.3 TransformadaZinversa ..................................... 60.4 Aplicaciónalaresolucióndelaecuaciónendiferencias ................... 60.5 Funcionesdetransferencia. ................................... 70.1 Ecuaciones en diferencias finitasEl interés del estudio de la transformada Z es debido a que es la análoga a la transformada de Laplace pararesolver ecuaciones en diferencias finitas. Estas ecuaciones aparecen en ingeniería al modelizar sistemaselectrónicos cuyas entradas y salidas son una sucesión de datos discretos. Para fijar ideas, consideremosel siguiente ejemplo.Este dispositivo está formado por dos elementos. El primero de ellos, marcado con una S, es un elementoque suma o resta datos, que a su vez vendrán modulados por números reales. El denotado por una D esun aparato que produce un retardo de una unidad temporal en la sucesión. La figura representa el tipomás sencillo de retroalimentación de una señal. Los datos de entrada vienen dados por la sucesión x k ylos de salida porEn el proceso, los datos intermedios r k vienen dados por la expresióny k+1 = r k . (0.1)r k = x k − ay k , (0.2)donde a es un número real. Combinando (0.1) y (0.2) obtenemos la ecuación en diferencias de orden unoy k+1 + ay k = x k .3

4Si complicamos el dispositivo, como se muestra en la figura,se obtiene una ecuación de orden dos. Aquíy k+1 = v k ,v k+1 = r k ,r k = x k + by k − av k ,de donde se obtiene la ecuacióny k+2 + ay k+1 − by k = x k .El uso de la transformada Z permite afrontar con ciertas garantías de éxito la resolución de estasecuaciones. Por ejemplo supongamos la ecuación½yk+2 + y k+1 − 2y k =1;y 0 =0,y 1 =1.Vamos a ver cómo la transformada Z nos permite obtener la solución de la ecuación anterior transformandodicho problema en un problema algebraico.0.2 Definición y propiedades básicasConsideremos una sucesión de números complejos x k .Sedefine la transformada Z delamismacomolaserie∞X x nZ[x k ](z) =z n . (0.3)n=0Nótese que (0.3) es una serie de Laurent con parte regular x 0 y parte singular P ∞n=1 x nz −n ,yqueportanto convergerá en un disco de convergencia de la formaA(0,r,+∞) ={z ∈ C : |z| >r}donde r es el radio de convergencia de la serie de potencias P ∞n=1 x nz n .Por ejemplo, si δ =(1, 0, 0, 0, ...) entonces su transformada Z esZ[δ](z) =1definida en todo el plano complejo. Si x k =(1, 1, 1,...), entoncessiempre que |z| > 1.Propiedades básicas.Z[1](z) =∞Xn=01z n = 11 − 1 z= zz − 1 ,

5• Linealidad. Dadas las sucesiones x k e y k y α, β ∈ C, severificaZ[αx k + βy k ](z) =αZ[x k ](z)+βZ[y k ](z)para todo z en el dominio de definición de Z[x k ](z) y Z[y k ](z).Demostración. Basta calcularZ[αx k + βy k ](z) == α∞Xn=0∞Xn=0αx n + βy nz nx ∞ nz n + β X y nz n = αZ[x k](z)+βZ[y k ](z).n=0• Dada la sucesión x k ,definimos la nueva sucesión y k = x k+1 . EntoncesZ[y k ](z) =Z[x k+1 ](z) =zZ[x k ](z) − zx 0 .En general, si k 0 ∈ N ydefinimos y k = x k+k0 , tenemos la fórmulaDemostración. CalculamoskX0 −1Z[x k+k0 ](z) =z k 0Z[x k ](z) − x n z k0−n .Z[x k+1 ](z) == z= z∞Xn=0∞Xn=0∞Xn=0x n+1z nn=0∞x n+1z n+1 = z X x nz nn=1x nz n − zx 0 = zZ[x k ](z) − zx 0 .• Dada la sucesión x k y a ∈ C \{0}, severificaDmostración. CalculamosZ[a k x k ](z) =∞Xn=0Z[a k x k ](z) =Z[x k ](z/a).a n x nz n =∞Xn=0x n(z/a) n = Z[x k](z/a).Por ejemplo, si x k =(1, 2, 2 2 , 2 3 ,...), setienequeZ[2 k ](z) =∞Xn=0• Dadas las sucesiones x k y k m , m ∈ N, se verifica2 nz n = 11 − 2 z= zz − 2 .Z[k m x k ](z) =[−z d dz ]m Z[x k ](z),donde por −z d dzse entiende la operación derivada y luego multiplicación por −z.

6Demostración. Hacemos la demostración por inducción en m. Sim =1, entoncesZ[kx k ](z) =∞Xn=0nx nz n= ∞Xn=1nx nz n∞X nx n= zz n+1 = z X ∞n=1n=1Ã= z d ∞X−dzn=1d −x ndz z nx nz n != −z d dzÃX ∞!x nz n − x 0 = −z d dz Z[x k](z).Si suponemos el resultado cierto para m, veamosquetambiénloesparam +1.Paraestocalculamosn=0Z[k m+1 x k ](z) = Z[k · k m x k ](z) =−z d dz Z[km x k ](z)= (−z d dz )[−z d dz ]m Z[x k ](z) =[−z d dz ]m+1 Z[x k ](z).Por ejemplo, si x k = k 2 , entoncessi |z| > 1.Z[k 2 ](z) = [−z d dz ]2 Z[1](z) =[−z d zdz ]2 z − 1= −z d µ−z d z= −z d µ −zdz dz z − 1 dz z − 1 + z 2 (z − 1) 20.3 Transformada Z inversa=zz − 1 − 3z2(z − 1) 2 + 2z3(z − 1) 3 ,Es interesante obtener transformadas Z inversas de funciones de variable compleja F (z), es decir, quésucesiones verifican queZ[x n ](z) =F (z),oequivalentementex n = Z −1 [F (z)].Para calcular la transformada Z de una función F (z) basta calcular el desarrollo en serie de Laurentcentrada en cero de manera que tenga un anillo de convergencia de la forma {z ∈ C : |z| >r}, donder ≥ 0. Por ejemplo, si F (z) = 1z−1, entonces desarrollando en serie de Laurentsi |z| > 1. Entonces la sucesión1z − 1 = 1 z11 − 1 z= 1 z∞Xn=0∞1z n = X 1z n+1n=0x k = Z −1 [1/(z − 1)] = (0, 1, 1, 1, ...).0.4 Aplicación a la resolución de la ecuación en diferenciasConsideramos el problema ½yk+2 + y k+1 − 2y k =1;y 0 =0,y 1 =1,obtenido anteriormente. Tomando la transformada Z en la ecuación, usando las propiedades de ésta ytomando en consideración las condiciones iniciales obtenemosZ[y k+2 + y k+1 − 2y k ](z) =Z[1](z),

7y desarrollandoZ[y k+2 + y k+1 − 2y k ](z) = Z[y k+2 ](z)+Z[y k+1 ](z) − 2Z[y k ](z)= z 2 Z[y k ](z) − z + zZ[y k ](z) − 2Z[y k ](z)= (z 2 + z − 2)Z[y k ](z) − z.Por otra parteEntoncescon lo quePasamos a fracciones simplesZ[1](z) =zz − 1 .(z 2 + z − 2)Z[y k ](z) =z + zz − 1 =z2z − 1 ,Z[y k ](z) =z 2(z 2 + z − 2)(z − 1) .Z[y k ](z) =z 2(z − 1) 2 (z +2) = −1(z − 1) 2 − 3z − 1 + 4z +2 ,y calculamos la transformada inversa obteniendo los desarrollos en series de Laurentsi |z| > 2.1z +2 = 1 1z 1 − −2z1z − 1 = 1 z11 − 1 z= 1 z= 1 zn=0∞Xn=0µ n −2=z∞Xn=0si |z| > 1. Finalmente−1(z − 1) 2 = d µ Ã1= d ∞!X 1dz z − 1 dz z n+1 =si |z| > 1. Entoncessi|z| > 2 se tiene que∞Xn=0∞1z n = X 1z n+1n=0∞Xn=0Z[y k ](z) =−1(z − 1) 2 − 3z − 1 + 4z +2=∞X n +1−z n+2 − 3 Xn=0= 1 z − ∞ Xn=0= 1 z + ∞ Xn=0n=0n +1∞z n+2 − Xn=0ddz1∞z n+1 +4 X(−2) nz n+11∞z n+1 = − Xn=03∞z n+2 + X−n − 4+4(−2) n+1z n+2 ,n=0(−2) nz n+14(−2) n+1z n+2n=0n +1z n+2por lo que si k ≥ 2y k =4(−2) k+1 − 4+k.0.5 Funciones de transferencia.La función de transferencia asociada a la transformada Z se definedeformaanálogaalafuncióndetransferencia asociada a la transformada de Laplace. Consideremos en este contexto una ecuación endiferencias finitas de la formaa n y k+n + a n−1 y k+n−1 + ... + a 1 y k+1 + a 0 y k = x k , (0.4)

8siendo a i ∈ R, 0 ≤ i ≤ n. Entonces, suponiendo que y i =0i