Soluciones Taller 2 - Universidad de Talca

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza MediaLuego:a = 4 cm• Como 4 3 = 64 , luego el volumen de cada cubo de madera es:364cm• Como hay 16 cubos de madera en total, luego, el volumen de los 16 cubos es:364⋅16 = 1124cm• Sea y la altura de la caja, cuyas dimensiones de la base son 16 cm y 8 cmrespectivamente. Luego:16⋅8⋅x = 1124x = 8Por lo tanto, la altura es 8 cm.Solución Problema 5Solución presentada por la estudiante:Lorena Rojas Contreras. Colegio Montessori, Talca.Sea x la cantidad de cubitos iguales que tiene Mario.• 1er intento: Sea y el lado del cuadrado que trata de formar en el primer intento,donde le faltan 7 cubitos para completarlo. Luego:2x + 7 = y• 2do intento: Sea z el lado del cuadrado que trata de formar en el segundo intento,donde le sobran 10 cubitos para completarlo. Luego:2x − 10 = z• Restando las dos relaciones anteriores, resulta:2 2y − z = 17 , equivalente a( y − z)(y + z)= 17• Del problema se tiene que: x , y,z son enteros positivos, siendo y > z . De larelación anterior:el producto ( y − z)(y + z)es 17⎫y + z = 17⎬ ⇒17 es primo ⎭ y − z = 1⇒ y = 9, z = 8• Luego: x = 74.Por lo tanto, la cantidad de cubos que tiene Mario es 74. La respuesta es única.Solución Problema 6Solución presentada por el estudianteClaudio Lagos, Liceo Alianza Francesa, Curicó• La figura construida ensamblando 8 pequeños cubos idénticos con palitos defósforos, compartiendo aristas comunes, tiene en total:En total hay 54 palitos de fósforos.Verticales: 2 ⋅ 3⋅3= 18Horizontales: ( 2 ⋅ 3) ⋅3+(2⋅3)⋅3= 36

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza Media• Se forma un gran cubo ensamblando 1000 pequeños cubos idénticos con palitos defósforos, compartiendo aristas comunes. Este gran cubo tiene 10 cubitos por lado.La cantidad de palitos de fósforos que tiene el gran cubo es:Verticales: 10 ⋅ 11⋅11= 1210Horizontales: ( 10⋅11) ⋅11+(10⋅11)⋅11= 2420En total se usan 3630 palitos de fósforosSolución Problema 7Matías: Tiene x ladrillos cúbicos (todos iguales)Si forma con los x ladrillos un cuadrado: le faltan o le sobran ladrillos.Si forma con los x ladrillos un cubo: le faltan o le sobran ladrillos.Nicolás: Tiene 2 x ladrillos, del mismo tipo.Con los 2 x ladrillos se puede formar un cuadrado perfecto.Gabriela: Tiene 3xladrillos, del mismo tipo.Con los 3 x ladrillos se puede formar un cubo perfecto.Considerando los datos:• 2 x es un cuadrado perfecto. Luego x debe ser el doble de un cuadrado perfecto.2x = 2yLos menores valores de x son:2, 2⋅4, 2 ⋅9,2 ⋅16,etc• 3 x es un cubo perfecto. Luego x debe ser nueve veces un cubo perfecto.2x = 9zLos menores valores de x son:9, 9 ⋅ 8, 9⋅27, 9⋅54,etc• Se debe hallar y, z tal quez = 2 , de donde x = 72 .2 3y = 9 . Una solución de esta ecuación es = 6,2 zLuego, la menor cantidad de ladrillos que tiene Matías es 72.Notar que: 2 ⋅ 72 = 144 es un cuadrado perfecto.3 ⋅ 72 = 216 es un cubo perfecto.Solución Problema 8ySeanx , y,z las dimensiones del “ladrillo”.Se supone que el gran “ladrillo” siempre deja visible una parte fuera del agua.Se obtienen las siguientes relaciones:

Universidad de Talca Taller de Matemática 2009Estudiantes de Enseñanza Media100100100222⋅3= 100⋅3= 100⋅3= 100222⋅6− 6xy⋅5− 5xz⋅ 4 − 4 yz⇒⇒⇒26xy= 3⋅100⎫2⎪5xz= 2⋅100⎬24 yz = 100⎪⎭6x⇒4z= 3⇒x = 2zReemplazando en la segunda ecuación:5(2z) z = 2 ⋅100Se obtiene: z = 20 5 .Reemplazando el valor obtenido para z en las otras ecuaciones, se obtiene x = 40 5 ,y = 255.2Luego, las dimensiones del “gran” ladrillo son:x ≈ 89.44, y ≈ 55.90,z ≈44.72