Crecimiento econÃ³mico: enfoques y modelos. CapÃtulo 2 - Pontificia ...

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Félix Jiménez/ Crecimiento Económico: Enfoques y Modelosv(15) − = f '(k)− ( n + δ )vTomando logaritmos a la ecuación (14), derivando con respecto al tiempo y multiplicando ydividiendo el primer miembro de la ecuación por c , se obtiene:u''(c)cv(16) c = + ( β − n)u'(c)c vlnu '( c)= lnv+ ( β − n)tCombinando esta última relación con lo hallado previamente, tenemos:(17)c=cf '( k)− ( β + δ )u''(c)− cu'(c)Esta es la llamada Ecuación de Euler. Esta ecuación nos dice que para que el consumidordecida aceptar óptimamente una senda de consumo creciente, se le debe recompensar conun producto marginal superior.La ecuación de Euler también puede ser hallada de la siguiente manera:La Ecuación de Euler será:[ c( t)].dt Max u[ f ( k)− k− ( n δ k]∫u∫ +Max = ) dtukdu− dtk= 0Resolviendo se obtiene:u[ f '(k)− ( n + δ )] + u''c= 0du dcduDonde u k = = u(−1)y k du′dcdc dk= − = −u′′c .dt dc dk⎡ u'(c)⎤= −⎢. ''( )⎥ n⎣c u c ⎦[ f '( k)− ( +δ )]De esta última relación se desprende el siguiente concepto:cc60
Félix Jiménez/ Crecimiento Económico: Enfoques y Modelosu''(c)ε ( c)= −cu'(c)El coeficiente de aversión relativa al riesgo (o Elasticidad de la Utilidad Marginal conrespecto al Consumo) indica la sensibilidad de la utilidad marginal ante cambios en el nivelde consumo. Como en el numerador se encuentra la segunda derivada de la función deutilidad, la elasticidad mide el grado de concavidad de la función de utilidad. Cuanto mayorsea la elasticidad, mayor será la curvatura de la función.Las ecuaciones de movimiento del consumo, también denominada la regla de Keynes-Ramsey de consumo óptimo (17) y el stock de capital (8), conforman un sistema de dosecuaciones diferenciales no lineales:c=cf '( k)− β −δε ( c)k = f ( k)− c − k(n + δ )Si la productividad marginal del capital, neta de depreciación, es superior a la tasa dedescuento, resulta conveniente destinar buena parte del producto al ahorro (o inversión),con lo que el consumo será mayor en el futuro que en el presente. Por lo tanto, latrayectoria temporal del consumo será creciente.Si la tasa de descuento es mayor que la productividad neta de depreciación, la estrategiaóptima será disminuir el ahorro (inversión) para incrementar el consumo presente con locual será menor el consumo futuro. Por lo tanto, la trayectoria temporal del consumo serádecreciente.Finalmente, mientras mayor sea la elasticidad ε (c), es decir, mientras mayor sea laconcavidad de la función de utilidad, la senda óptima del consumo será más estable. Porejemplo, si dicha elasticidad tiende a infinito, la tasa de crecimiento del consumo tenderá acero, y por tanto, el comportamiento del consumo será casi constante. Si su valor tiende acero, la trayectoria del consumo será explosiva.El problema del mercado descentralizado 2Al analizar el problema de manera descentralizada, debe considerarse las decisiones de losconsumidores, de las firmas productoras y la interacción de estas en el equilibrio delmercado.2 JIMÉNEZ, Félix. Macroeconomía: Enfoques y Modelos Tomo 2, Ejercicios resueltos, Capítulo 11.3.ª ed. Lima:Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú. 2006, pp. 509-532.61
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