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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 35 Pág. 137Esta nueva situación la tenemos representada allado. Los puntos de corte de esta recta y la de la funcióny = x 2 son:2y = x ⎫⎪x a a⎬ x ay = a ⎭⎪ ⇒ 2 = ⇒ ⎧ = ⇒ (1, )⎨⎩ x = − a ⇒ ( −1, a )En el dibujo podemos observar las dos regionesdiferentemente rayadas y que han tener igual área.Calculemos el área encerrada por la curva y = x 2 y-1 - a1a1y = x2y = 1y = ala recta y = 1, para ello integramos la función diferencia entre -1 y 1:113( )( 1 )1 1 32 ⎡ ⎤1 211 1 2 2 4− = ⎢ −3 3 3 3 3 3 3 31⎣ ⎦⎥ = − − ⎛− − − ⎞⎜ ⎟ = − ⎛⎜ − + ⎞⎟ = −⎝⎛ ⎜ − ⎞x dx xx⎟ =∫ ⎠ ⎝ ⎠−⎝ ⎠−1Calculemos ahora el área encerrada por la curva y = x 2 y la recta y = a, que será la mitad2del área anterior, es decir, ; procederemos de forma análoga:3aa3⎡ x ⎤( a ) ⎛ ( a )( a − x ) dx = ⎢ax− ⎥ = a a − − − a a − − 33⎞2∫ ⎜⎟ =⎣ 3 ⎦3⎝3⎠− a− aa a a a= a a − + a a − =⎛⎜1− + −⎞⎟ a a = a3 3 ⎝ 3 1 1 43⎠3a2pero como dijimos antes esta área es igual a , por tanto:34 213 1 3 1a a = ⇒ a a = ⇒ a = ⇒ a =3 3224⇒ a =314.SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-(a) Asíntotas Verticales.Para que existan asíntotas verticales se ha de satisfacer que: lim f ( x ) = ±∞x→x0Comprobemos si existen; en principio, hay que buscarlas entre los valores que anulenal denominador, x - 1 = 0 Y x = 1. Veámoslo.22xlimY Hay un asíntota vertical: x = 1.x→ x − = 2− = 2= ∞1 1 1 1 0Estudiemos la posición de la gráfica de f respecto de la asíntota vertical22x2 2lim =x→x −= = − ∞ ⎫−1− 1 1 − 1 − 0 ⎪La función f(x) tiende a -4 cuando x sex < 1⎪ acerca a 1 por la izquierda, y a +4 cuando2⎬ ⇒2x2 2lim =+x→x − += = + ∞⎪ lo hace por la derecha.11 1 − 1 + 0⎭⎪x > 1
L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 138- Asíntotas horizontales.Para que exista asíntota horizontal se ha de satisfacer que:Comprobemos si existe.22xxlimlimx→±∞x − = ⎡ ∞ ⎤⎣⎢ ∞ ⎦⎥ = 41= ∞x→±∞1Ylim f ( x ) = b ∈úx→± ∞No existe asíntota horizontal.La indeterminación de infinito partido por infinito se ha destruido aplicando la Regla deL´Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador independientemente el unodel otro.No existe asíntota horizontal, pero se da la condición necesaria para que pueda existirasíntota oblicua.- Asíntotas Oblicuas.Calculemos la ecuación de la posible asíntota oblicua: y = mx + n. Comencemos obteniendoel valor de m y después el de la n:22x2 2f ( x )m = lim lim xxx= − 1 22= lim = limx→∞ x x→∞ x x→∞ x ( x − ) x→∞x 2= 21− xCalculemos ahora n:2 2 2n= lim( f ( x ) ⎛ 2xx x x x− mx)= lim lim limx x xx→ ∞ → ∞ −− ⎞− +⎜⎝ 1 2 2 2 2 2⎟ =⎠ x→ ∞ x − 1=x→ ∞ x − 1 = 2La asíntota oblicua, es: y = 2 x + 2.Estudiemos la posición de la gráfica de f respecto de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy grandes, por ejemplo, x = 1000 Y2f (1000) =2•1000= 2002′0020021000 − 1⎫⎪2•1000 + 2 = 2002 ⎬ ⇒ f (1000) > yy asíntotaasíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 +4, va por encima de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy pequeños, por ejemplo, x = -1000 Y2f (-1000) =2•( −1000)−1000 − 11= − 1998001998 ′ ⎫⎪2•( − 1000)+ 2 = −1998⎬ ⇒ f (-1000) < y asíntotay asíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 -4, va por debajo de la asíntota oblicua.(b) Determinemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Hallemos losvalores que anulen a la función primera derivada de f(x).224x( x − 1)− 2x2x− 4x2⎧ xf ′( x) =⇒ f ′( x)=⇒ x − x = ⇒ x x − ⇒ ⎨= 022 2 4 0 2 ( 2)( x − 1)( x − 1)⎩ x = 2Con estos dos puntos, 0 y 2, y con el punto donde la función no existe, 1, los ordenamosy construimos los posibles intervalos de monotonía: (-4, 0), (0, 1), (1, 2) y (2, +4).
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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 35 Pág. 137Esta nueva situación la tenemos representada allado. Los puntos de corte de esta recta y la de la funcióny = x 2 son:2y = x ⎫⎪x a a⎬ x ay = a ⎭⎪ ⇒ 2 = ⇒ ⎧ = ⇒ (1, )⎨⎩ x = − a ⇒ ( −1, a )En el dibujo podemos observar las dos regionesdiferentemente rayadas y que han tener igual área.Calculemos el área encerrada por la curva y = x 2 y-1 - a1a1y = x2y = 1y = ala recta y = 1, para ello integramos la función diferencia entre -1 y 1:113( )( 1 )1 1 32 ⎡ ⎤1 211 1 2 2 4− = ⎢ −3 3 3 3 3 3 3 31⎣ ⎦⎥ = − − ⎛− − − ⎞⎜ ⎟ = − ⎛⎜ − + ⎞⎟ = −⎝⎛ ⎜ − ⎞x dx xx⎟ =∫ ⎠ ⎝ ⎠−⎝ ⎠−1Calculemos ahora el área encerrada por la curva y = x 2 y la recta y = a, que será la mitad2del área anterior, es decir, ; procederemos de forma análoga:3aa3⎡ x ⎤( a ) ⎛ ( a )( a − x ) dx = ⎢ax− ⎥ = a a − − − a a − − 33⎞2∫ ⎜⎟ =⎣ 3 ⎦3⎝3⎠− a− aa a a a= a a − + a a − =⎛⎜1− + −⎞⎟ a a = a3 3 ⎝ 3 1 1 43⎠3a2pero como dijimos antes esta área es igual a , por tanto:34 213 1 3 1a a = ⇒ a a = ⇒ a = ⇒ a =3 3224⇒ a =314.SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-(a) Asíntotas Verticales.Para que existan asíntotas verticales se ha de satisfacer que: lim f ( x ) = ±∞x→x0Comprobemos si existen; en principio, hay que buscarlas entre los valores que anulenal denominador, x - 1 = 0 Y x = 1. Veámoslo.22xlimY Hay un asíntota vertical: x = 1.x→ x − = 2− = 2= ∞1 1 1 1 0Estudiemos la posición de la gráfica de f respecto de la asíntota vertical22x2 2lim =x→x −= = − ∞ ⎫−1− 1 1 − 1 − 0 ⎪La función f(x) tiende a -4 cuando x sex < 1⎪ acerca a 1 por la izquierda, y a +4 cuando2⎬ ⇒2x2 2lim =+x→x − += = + ∞⎪ lo hace por la derecha.11 1 − 1 + 0⎭⎪x > 1
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