Vol. 2
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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 35 Pág. 135UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍAPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADL.O.G.S.E.MATEMÁTICAS IIInstrucciones: a) Duración: 1 HORA y 30 MINUTOS.b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la OpciónA o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica),pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados debenestar suficientemente justificados.MODELO 35 DE EXAMENOpción AEJERCICIO 1. [2´5 PUNTOS]. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábolay = x 2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual área mediante una recta y = a. Halla el valor de a.22xEJERCICIO 2. Sea f la función definida para x … 1 por f ( x ) =x − 1(a) [1 PUNTO]. Determina las asíntotas de la gráfica de f .(b) [1 PUNTO]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremosrelativos de f.(c) [0´5 PUNTOS]. Esboza la gráfica de f.EJERCICIO 3. [2´5 PUNTOS]. De las matricesA = ⎛ B y⎝ ⎜ ⎞⎟ = ⎛ ⎠⎝ ⎜ ⎞⎟ = ⎛ ⎛ 1 2 3 ⎞1 21 2 3⎠ ⎝ ⎜ 1 1 ⎞, , C ⎟ D =⎜0 1 2⎟3 44 5 63 3⎠⎜ ⎟⎝ 0 0 1 ⎠determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichasinversas.EJERCICIO 4. [2´5 PUNTOS]. Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasapor el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es tangentea la recta de ecuación x + y = 1.Opción BEJERCICIO 1. Sea f : ú 6 ú la función definida por
L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 136⎧ 5x+ 10 si x ≤ −1f ( x ) = ⎨ 2⎩ x − 2x + 2 si x > −1(a) [1 PUNTO]. Esboza la gráfica de f .(b) [1´5 PUNTOS]. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisasy la recta x = 3.EJERCICIO 2. [2´5 PUNTOS]. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula⎛ xlimx→ x − − 1 ⎞⎜⎟1 ⎝ 1 Ln( x)⎠⎛ 1 −2 −3⎞ ⎛1⎞EJERCICIO 3. Considera A =⎜0 a 2⎟, B =⎜0⎟, y⎜⎟ ⎜ ⎟⎝a−1 a − 2⎠⎝1⎠⎛ x⎞X =⎜y⎟⎜ ⎟⎝ z⎠(a) [1 PUNTO]. Determina el rango de A en función del parámetro a.(b) [0´75 PUNTOS]. Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, A X = B(c) [0´75 PUNTOS]. Resuelve A X = B en los casos en que sea compatible indeterminado.EJERCICIO 4. Considera los puntosA(1, 0, 3), B(3, -1, 0), C(0, -1, 2) y D(a, b, -1).Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta quepasa por C y D.SOLUCIONES Opción ASOLUCIÓN EJERCICIO 1.-Representemos en primer lugar la gráfica de la función elemental y = x 2 , que es una parábola,y la de la función y = 1, que es una recta paralela al eje deabscisas. Los puntos de corte de ambas funciones son:yy==2x ⎫⎪x⎬ x⎭⎪ ⇒ 2= ⇒ ⎧ = 1 ⇒ (1, 1)1 ⎨1⎩ x = −1⇒ ( −1, 1)La gráfica de ambas funciones están representadasal lado. El problema es dividir el recinto que delimitanen dos regiones de igual área mediante la recta y = a.-111y = x2y = 1
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L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 136⎧ 5x+ 10 si x ≤ −1f ( x ) = ⎨ 2⎩ x − 2x + 2 si x > −1(a) [1 PUNTO]. Esboza la gráfica de f .(b) [1´5 PUNTOS]. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisasy la recta x = 3.EJERCICIO 2. [2´5 PUNTOS]. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula⎛ xlimx→ x − − 1 ⎞⎜⎟1 ⎝ 1 Ln( x)⎠⎛ 1 −2 −3⎞ ⎛1⎞EJERCICIO 3. Considera A =⎜0 a 2⎟, B =⎜0⎟, y⎜⎟ ⎜ ⎟⎝a−1 a − 2⎠⎝1⎠⎛ x⎞X =⎜y⎟⎜ ⎟⎝ z⎠(a) [1 PUNTO]. Determina el rango de A en función del parámetro a.(b) [0´75 PUNTOS]. Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, A X = B(c) [0´75 PUNTOS]. Resuelve A X = B en los casos en que sea compatible indeterminado.EJERCICIO 4. Considera los puntosA(1, 0, 3), B(3, -1, 0), C(0, -1, 2) y D(a, b, -1).Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta quepasa por C y D.SOLUCIONES Opción ASOLUCIÓN EJERCICIO 1.-Representemos en primer lugar la gráfica de la función elemental y = x 2 , que es una parábola,y la de la función y = 1, que es una recta paralela al eje deabscisas. Los puntos de corte de ambas funciones son:yy==2x ⎫⎪x⎬ x⎭⎪ ⇒ 2= ⇒ ⎧ = 1 ⇒ (1, 1)1 ⎨1⎩ x = −1⇒ ( −1, 1)La gráfica de ambas funciones están representadasal lado. El problema es dividir el recinto que delimitanen dos regiones de igual área mediante la recta y = a.-111y = x2y = 1
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