Vol. 2

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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 33 Pág. 121Finalmente, la expresión de la función f(x) es:3 2 3f ( x ) = x + 2x−2 2SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-(a) Discutamos el sistema según los valores de m, para ello lo expresamos en formamatricial y usamos el método de reducción de Gauss.⎛ m 1 −11 ⎞⎜⎟1 −m1 4⎜⎝ 1 1 m m ⎟⎠⎛ 1 1 m⎜1 −m1⎜⎝ m 1 −1m ⎞⎟41 ⎟⎠⎛ 1 1 m⎜0 −m− 1 1−m⎜⎝ 0 1−m −1−m⎛ 1 1 m⎜0 −2 m − m + 2⎜⎝ 0 1−m −1−mm ⎞⎟4 − m21−m ⎟⎠2 2m ⎞⎟m − m + 321−m ⎟⎠⎛1 1 mm ⎞⎜22 ⎟0 −2 m − m + 2 m − m + 3⎜3 2 3⎝0 0 − m + 2m − 5m−m− 4m+ 5⎟⎠Intercambiemos entre sí las filas 1ª y 3ªTriangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [1ªf.]Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - m · [1ªf.]Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [3ªf.]Tomemos como pivote el elemento a 22 = -2 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: 2 · [3ªf.] + (1-m) · [2ªf.]El sistema está triangulado, todos los elementos dela diagonal principal son distintos de cero salvo el a 33que puede ser cero o no. Veamos los diferentes casosque pueden presentarse.* Si a 33 = 0 Y -m 3 + 2m 2 - 5m = 0 Y -m(m 2 - 2m + 5)= 0 Y⎧ m = 0⎪⎨ 2m − m + = ⇒ m = − 2 ± 4 − 202 5 0= no tiene solución⎩⎪2Hemos obtenido un sólo valor de m que anula a a 33 , el de m = 0 Y en este caso la últimaecuación es del tipo, 0 = 5, es decir, una ecuación absurda, luego el sistema es incompatible.* Si a 33 … 0 Y -m 3 + 2m 2 - 5m … 0 Y m … 0, en este caso nos queda un sistema de tresecuaciones con tres incógnitas, es decir, un sistema compatible determinado, con solución única.(b) Si m … 0, los tres planos se cortan en un punto, ya que hemos obtenido un sistemacompatible determinado.Si m = 0, los tres planos no tiene ningún punto en común, ya que hemos obtenido unsistema incompatible. No obstante, al salirnos sólo una ecuación absurda y no habiendo planosparalelos dos a dos, entonces los tres planos se cortan de dos en dos siendo las interseccionesrespectivas tres rectas paralelas.

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 122SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Expresemos la ecuación de la recta r en forma paramétrica. Para ello resolveremos elsistema formado por las ecuaciones de la recta que viene dada como intersección de dos planos.⎧3x+ 2y= 0 Expresamos el sistema en forma matricial y lo resolvemos mediante elr ≡ ⎨⎩ 3x+ z = 0 método de reducción de Gauss - Jordan.⎛ 3 2 0⎜⎝ 3 0 10 ⎞⎟0 ⎠⎛ 3 2 0 0 ⎞⎜⎟⎝ 0 −2 1 0 ⎠⎛ 3 2⎜⎝ 0 −20 ⎞⎟−z⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 3 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [1ªf.].El sistema está triangulado, nos sobra una incógnita, la z, la pasamos alsegundo miembro como incógnita no principal o secundaria.Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = -2 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + [2ªf.].⎛ 3 0 −z⎞ El sistema está diagonalizado, la solución es:⎜⎟⎝ 0 −2−z⎠3x = -z ; -2y = -zterminemos de despejar las incógnitas, y a la incógnita secundaria, z, designémosla como unparámetro t.⎧ x1= − t3⎪⎨1y = t⎪ 2⎩⎪z = tUn punto H genérico de la recta tendrá de coordenadas⎛ 1 1⎜ − t, t,t⎞⎟ . Calculemos qué⎝ 3 2 ⎠puntos H son los que su distancia a O(0, 0, 0) es de 7 unidades.dist (O,H) =2 22 2⎛ 1⎜ − −⎞⎝( )3 ⎠⎟ + ⎛ 1⎜⎝− ⎞2 t t 2t 0 t 0⎟ + t − 0 = 7 ⇒ + + t = 49 ⇒2 ⎠9 42 2 2 24t + 9t + 36t 49t2 ⎧ t 6= 49 ⇒ = 49 ⇒ t = 36 ⇒3636⎨= ⎩ t = −6⎛⎝luego obtenemos dos puntos: H 1 = ⎜ − t,t, t ⎟ = ⎜ − , , ⎟ = ( − , , )⎛⎝13131212⎞⎠⎞⎠⎛ ⎝⎛⎝63636 ⎞2 6 ⎠2 3 662H 2 = ⎜ − t, t, t ⎟ = ⎜ − − , − , − 6⎟ = ( 2, − 3,− 6)⎞⎠(b) Si el plano es perpendicular a r, el vector de dirección de r es el normal al plano,Sustituyamos los coeficientes A, B y C de la ecuación general del plano por lascoordenadas del vector normal a dicho plano:1 1Ax + By + Cz + D = 0 Y − x + y + z + D = 03 2Este plano al pasar por el punto P(1, 2, -1), verificará lo siguiente:1 11− + + + = 0 ⇒ − + − + = ⇒ = ⇒ − + + = −3 23 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1x y z D • • D D x y z3 3 2 3

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punto

fila

matriz

sistema

recta

valores

derivable

pivote

elemento

puntos

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