Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 114x = 0 Y y = -1 Y (0, -1)2.- Puntos de corte con el eje de abscisas:y = 0 Y x =-1; x =1 Y (-1, 0) y (1, 0)3.- Coordenadas del vértice V:x = -b/(2a) = 0/(-2) = 0 Y y = -1 Y V(0, -1)La gráfica de la función f (x) es:-1-111-11(b) Esta función al ser el valor absoluto de una función polinómica, que es continua, estambién una función continua en todo su dominio que es ú.Estudiemos la derivabilidad.El trozo de función definido para los valores de x < -1 es una función derivable por seruna función polinómica, ya que las funciones polinomicas lo son en todo ú, luego f es derivablepara valores de x < -1, siendo la función derivada, 2x.El trozo de función definido para los valores de -1 < x < 1 es una función derivable poridénticas razones a las anteriores, luego f es derivable para valores de -1 < x < 1, siendo lafunción derivada, -2x.El trozo de función definido para los valores de x > 1 es una función derivable pordénticas razones a las anteriores, luego f es derivable para valores de x > 1, siendo la funciónderivada, 2x.El problema estaría en los puntos, -1 y 1, por haber un cambio en el comportamiento dela función.Obtengamos una primera aproximación de la función derivada, para todos aquellos valoresde x donde ya sabemos que es derivable:⎧ 2xsi x < −1⎪f ′( x ) = ⎨ −2xsi − 1 < x < 1[1]⎩⎪ 2xsi 1 < xVeamos si es derivable en el punto x = -1. La derivada por la izquierda es:por la derecha:−( )f ′ − 1 = lim f ′ ( x ) = lim ( 2 x)= − 2+( )−−x→−1 x→−1x < −1f ′ − 1 = lim f ′ ( x ) = lim ( − 2 x)= 2++x→−1 x→−1x > −1las derivadas laterales no coinciden, luego no es derivable en el punto x = -1.Estudiemos la derivabilidad en el punto x = 1, sabiendo que es continua en dicho punto ypudiendo por tanto ser derivable.Para que la función f sea derivable en el punto, x = 1, las derivadas laterales debencoincidir. Calculémoslas: