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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 33 Pág. 111UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍAPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADL.O.G.S.E.MATEMÁTICAS IIInstrucciones: a) Duración: 1 HORA y 30 MINUTOS.b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de laOpción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantallagráfica), p e ro t o d o s l o s p rocesos c o n d ucentes a l a obtención deresultados deben estar suficientemente justificados.MODELO 33 DE EXAMENOpción AEJERCICIO 1. [2´5 PUNTOS]. Calcula limx( e − 1)sen xx− xx→0 3 2EJERCICIO 2. Sea f : ú 6 ú la función definida por f ( x ) = x − 1(a) [0´5 PUNTOS]. Esboza la gráfica de f.(b) [1 PUNTO]. Estudia la derivabilidad de f.(c) [1 PUNTO]. Calcula f ( x ) dx.∫20⎛ a 0 −a⎞EJERCICIO 3. Se sabe que la matriz A =⎜0 −1 0⎟verifica que det (A)=1 y sus⎝ b 0 b ⎠columnas son vectores perpendiculares dos a dos.(a) [1´5 PUNTOS]. Calcula los valores de a y b.(b) [1 PUNTO]. Comprueba que para dichos valores se verifica que A -1 = A t donde A tdenota la matriz traspuesta de A.2EJERCICIO 4. Considera los planosπ 1 / 2x + 5 = 0 y π 2 / 3x + 3y - 4 = 0(a) [1´25 PUNTOS]. ¿Qué ángulo determinan ambos planos.(b) [1´25 PUNTOS]. Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendiculara los dos planos dados.
L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 112Opción BEJERCICIO 1. Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la función f :(-1,+4)6údefinida pora ( x − 1)si − 1 < x ≤ 1f ( x ) = { x Ln( x ) si x > 1(a) [1´25 PUNTOS]. Determina el valor de a sabiendo que f es derivable.(b) [1´25 PUNTOS]. Calcula f ( x ) dx .∫02EJERCICIO 2. [2´5 PUNTOS]. Determina la función f : ú 6 ú sabiendo que su derivadasegunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=1es 5x-y-3 = 0.EJERCICIO 3. Considera el sistemamx + y − z = 1 ⎫⎪x − my + z = 4 ⎬x + y + mz = m ⎭⎪(a) [1´5 PUNTOS]. Discútelo según los valores de m.(b) [1 PUNTO]. ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyasecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?3x+ 2y= 0EJERCICIO 4. Sea r la recta de ecuaciones r ≡ { 3x+ z = 0(a) [1´5 PUNTOS]. Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades.(b) [1 PUNTO]. Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el puntoP(1, 2, -1).SOLUCIONES Opción ASOLUCIÓN EJERCICIO 1.-limx→0Calculemos el siguiente límitex0xx( e − 1) sen( x) ( e − 1) sen( 0)e x ( e − 1)x3 2− x=3 20 − 0= ⎡ 0⎣ ⎢ ⎤0 ⎦⎥ =limx→0sen( ) + cos( x)23x− 2x=
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