Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 32 Pág. 109( )31−1Calculemos, finalmente el determinante de la matriz A .−1 3131 −1−1( A ) ( A ) ( A )31= = = ⎛ A⎝ ⎜ 1 ⎞⎠⎟ = ⎛ 1⎜⎞⎟⎝ − 1⎠3131= −1Nos hemos basado en las propiedades siguientes: “la inversa del producto de dos matricescuadradas es igual al producto de las inversas en orden inverso”, pero en este caso al tratarsede la misma matriz se transforma en esta otra: “la inversa de la potencia de una matrizcuadrada es igual a la potencia de la inversa de dicha matriz”; también hemos hecho uso deesta otra: “el determinante de la potencia de una matriz es igual al determinante de la matrizelevado a dicha potencia”; y por último, de la propiedad que dice que: “el determinante de unamatriz cuadrada invertible es igual al inverso del determinante de la matriz inversa”.(b) Calculemos la matriz inversa de A mediante el método de Gauss, consistente en ponera la derecha de la matriz A, la matriz unidad e intentar que aparezca, mediante el uso de diversastransformaciones elementales, la matriz unidad a la izquierda, la parte que quede a la derechaes la matriz inversa de A, A -1 .⎛ 1 0 −2⎜1 1 1⎜⎝ 1 1 0⎛ 1 0 −2⎜0 1 3⎜⎝ 0 1 21 0 0 ⎞⎟0 1 00 0 1 ⎟⎠1 0 0 ⎞⎟−1 1 0−1 0 1⎟⎠Diagonalicemos.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [1ªf.]Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - [1ªf.]Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1… 0.Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - [2ªf.]⎛ 1 0 −2⎜0 1 3⎜⎝ 0 0 −1⎛⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎝1 0 00 1 00 0 −11 0 00 1 00 0 11 0 0 ⎞⎟−1 1 00 −1 1⎟⎠1 2 −2⎞⎟−1 −2 30 −1 1⎟⎠1 2 −2⎞⎟−1 −2 30 1 −1⎟⎠Tomemos como pivote el elemento a 33 = -1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] + 3 · [3ªf.]Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] - 2 · [3ªf.]Multipliquemos la 3ª fila por -1.En la parte de la izquierda hemos obtenido la matriz unidad,por lo que la matriz A tiene inversa, siendo la matriz inversala matriz que queda a la derecha, es decir:⎛ 1 2 −2⎞A -1 = ⎜ −1 −2 3⎟⎜⎟⎝ 0 1 −1⎠