Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 27 Pág. 33produzca un cambio en el comportamiento de la concavidad, es decir, los intervalos en los quef ´´(x) sea >0 y en los que f ´´(x) sea < 0, para ello observamos la gráfica de f ´(x) ydeduciremos dónde la función f ´(x) es creciente o decreciente, o lo que es lo mismo, dónde suprimera derivada, f ´´(x), es positiva o negativa:* f ´(x) es creciente en [-4, 0[, luego f ´´(x) > 0, por tanto, f(x) es convexa en [-4, 0[* f ´(x) es decreciente en ]0, 2[, luego f ´´(x) < 0, por tanto, f(x) es cóncava en ]0, 2[* En x = 0, la función f ´(x) presenta un máximo local, y la función f(x) pasa de convexaa cóncava, luego f(x) presenta un punto de inflexión en x = 0.* f ´(x) es constante en ]2, 3[, luego f ´´(x)=0, es decir, f(x) no tiene concavidad en ]2, 3[,o sea, no hay puntos de inflexión ni en x=2, ni en x=3.* f ´(x) es decreciente en ]3, 4[, luego f ´´(x) < 0, por tanto, f(x) es cóncava en ]3, 4[.* f ´(x) es creciente en ]4, 6[, luego f ´´(x) > 0, por tanto, f(x) es convexa en ]4, 6[.* En x = 4, f ´(x) presenta un mínimo local, y la función f(x) pasa de cóncava a convexa,luego f(x) presenta un punto de inflexión en x=4.* f ´(x) es constante en ]6, 7[, luego f ´´(x)=0, es decir, f(x) no tiene concavidad en ]6, 7[,o sea, no hay puntos de inflexión ni en x=6, ni en x=7.* f ´(x) es creciente en ]7, 9[, luego f ´´(x) > 0, por tanto, f(x) es convexa en ]7, 9[. Nopuede haber más puntos de inflexión.SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-(1) Sí es posible determinar una circunferencia conociendo las coordenadas de dos puntosdiametralmente opuestos, ya que las coordenadas el centro de la circunferencia las podemosobtener calculando las del punto medio del segmento que determinan los dos puntosdiametralmente opuestos. El radio de la circunferencia se obtendría mediante la distancia entrelos dos puntos diametralmente opuestos y dividiéndola por dos, o también mediante la distanciadel centro a uno de los puntos diametralmente opuestos.(2) Sea C(a, b) el centro de la circunferencia, nos dan los puntosA(1, 2) y B(3, 4) diametralmente opuestos.Los puntos A y C determinan un vector que es igual que el que→ →determinan los puntos C y B, es decir: AC = CB .AC → = ( a, b ) − ( 1, 2 ) = ( a − 1,b − 2 )CB → = (3 , 4 ) − ( a, b ) = ( 3 − a,4 − b )→ →a − 1= 3− a ⇒ a = 2AC = CB ⇒ ( a −1, b − 2) = ( 3− a,4 −b)⇒b − 2 = 4 −b ⇒ b = 3El radio de la circunferencia es:→r = dist(A,C) = AC = 2 2( 2 − 1) + ( 3− 2)= 1+ 1 = 2luego la ecuación de la circunferencia es:22 2 2 2 2 2 2 2 2x + y − 2ax − 2by + a + b − r = 0 ⇒ x + y − 4x − 6y+ 2 + 3 − 2 = 0 ⇒2 2x + y − 4x − 6y+ 11=0( )