Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 106SOLUCIONES Opción BSOLUCIÓN EJERCICIO 1.-(a) Determinemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Hallemos losvalores que anulen a la función primera derivada de f (x).f (x) = -2x 3 - 9x 2 - 12x Y f ´ (x) = -6x 2 - 18x - 12 Y -6x 2 - 18x - 12 = 0 Y-x 2 - 3x - 2 = 0 Y x = − 3 ± 9 − 8= − 3 ± 1 −1=2 2 −2Con estos dos puntos, -2 y -1, construimos los posibles intervalos de monotonía:(-4, -2), (-2, -1) y (-1, +4)Sustituyamos un valor intermedio de cada uno de los intervalos, por ejemplo, -3, -1´5 y0, respectivamente, en la función primera derivada y según nos salga mayor o menor que cero,en el intervalo correspondiente la función será creciente o decreciente:⎧2f ′ ( − 3) = −6( −3) − 18( −3) − 12 = −12 < 0 ⇒ decreciente en( −∞,− 2)⎪2⎨ f ′ ( − 1′ 5) = −6( − 1′ 5) − 18( − 1′ 5) − 12 = 1 ′ 5 > 0 ⇒ creciente en ( −2− 1)⎪2f ′ (0) = −6• 0 − 18• 0 − 12 = − 12 < 0 ⇒ decreciente en ( −1,∞)⎩(b) Determinemos los extremos relativos o locales. Éstos sólo se podrán localizar en lospuntos de derivada cero, ya que la función es continua y derivable en todo su dominio que esú por tratarse de una función polinómica.Teniendo en cuenta lo analizado en el apartado anterior podemos asegurar que hay unmínimo local en x = -2, y un máximo local en x = -1.Las ordenadas de estos extremos son:f (-2) = -2 (-2) 3 - 9 (-2) 2 - 12 (-2) = 4 Y Mínimo en (-2, 4).f (-1) = -2 (-1) 3 - 9 (-1) 2 - 12 (-1) = 5 Y Máximo en (-1, 5).Como los extremos relativos son -2 y -1, es decir, α y β, con α < β, luego α = -2 y β =-1.Calculemos ahora la integral definida:∫αβ−13 2∫ ( 2 9 12 )⎡ x x x xf ( x ) dx = − x − x − x dx = − 4 3 2 ⎤ ⎡⎢ − − ⎥ = − 42 9 123 2 ⎤⎢ − 3x− 6x⎥ =⎣4 3 2⎦ ⎣2⎦−2−1⎡= − 4⎤⎢ − −⎣⎦⎥ = ⎛ − − 4⎜⎝− − − − ⎞ ⎛⎟ − − − 4x 3 2 ( 1) 3 2 ( 2)3 2⎞3x6x3( 1) 6( 1) ⎜ − 3( −2) − 6( −2)⎟ =22⎠ ⎝ 2⎠−2−1−292−1−2SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Construyamos la función perímetro, que es de la que me piden el mínimo; tomando comovariable independiente el radio del semicírculo.P(x) = 2x + 2y + π x [1]