Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 31 Pág. 75Estudiemos ahora la continuidad en el punto 1.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.lim f ( x ) = lim 0 = 0⎫−−x→1 x→1⎪x < 11lim f x = lim⎛⎜ 1x x3 1 2 3 2− +⎞ ⎪( ) ⎟ lim f x lim f x f (1)+ + ⎝x→ x→ ⎠ = − + = 03⎬ ⇒ ( ) = ( ) = = 0− +1 13 3⎪ x→1 x→1x > 1⎪f ( 1)= 0⎭⎪Luego f(x) es continua en el punto 1.En definitiva, la función f(x) es continua en ú, luego puede ser derivable en su dominioEstudiemos ahora la derivabilidad..Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para quelo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe sercontinua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad; en estecaso se ha visto y demostrado que es continua.- Para valores de x 1, f es derivable, por ser una función polinómica, siendo la funciónderivada, x 2 - 1.Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable es⎧ 2x − 1 si x < −2⎪f ′( x ) = ⎨ 0 si − 2 < x < 1⎪ 2⎩x − 1 si 1 < x- El problema está inicalmente en el punto -2.En el punto -2 será derivable, si las derivadas laterales coinciden ya que es continua endicho punto.−2f ′ ( − 2 ) = lim ( x − 1)= 4 − 1 = 3 ⎫−x→−2x < −2⎪ ⎧ 3 ≠ 0 ⇒+⎬ ⇒ ⎨ − +f ′ ( − 2 ) = lim 0 = 0⎪ ⎩ f ′ ( − 2 ) ≠ f ′ ( − 2 )+x→−2x⎭⎪> −2luego la función f(x) no es derivable en x = -2.- Estudiemos la derivabilidad en el punto 1.En el punto 1 será derivable, si las derivadas laterales coinciden, ya que es continua.−f ′ ( 1 ) = lim 0 = 0 ⎫−x→1x < 1⎪ ⎧ 0 = 0 ⇒+2 ⎬ ⇒ ⎨ − +f ′ ( 1 ) = lim ( x − 1)= 0 ⎪ ⎩ f ′ ( 1 ) = f ′ ( 1 )+x→1⎪x > 1⎭luego la función f(x) es derivable en x = 1.