Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 31 Pág. 71xx⎡/1/2 t tF(x) = ( 2t + t ) dt = ( 2t + t ) dt = ⎢2 +∫ ∫ ⎢ 2 300⎣⎢2Determinemos ahora F (1)F (1) = 12 3 2⎤⎥⎥⎦⎥23 1 /1 2 5+ = + = .3 32 3 2x0x/ 2 3/2= ⎡ 2 2 3 2t + t ⎤ 2= x + x⎣⎢ 3 ⎦⎥ 30(b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) en el punto de abscisa x=1 yordenada F (1) =5/3, es:y - F (1) = F´ (1) · (x - 1)Calculemos F´ (x).F ′( x ) = 2x + x ⇒ F ′ (1) = 2•1+ 1 ⇒ F ′ (1) = 3La ecuación de la recta tangente será:5y − = 3 x − 1 ⇒ y = 3x − 3 + 5 4( )⇒ y = 3x−333SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Construyamos la función superficie que queremos minimizar, es decir, la lateral y la de labase del vaso, dicha función será:2S( r ) = π r + 2πr h[1]donde r representa el radio de la base del vaso y h la altura del mismo. Expresemos la altura hen función de r, para lo cual tendremos en cuenta la capacidad del vaso que es de 250 c.c.:2 2250V = πr h ⇒ 250 = πr h ⇒ h =2πrSustituyamos este valor de h en la expresión [1]:2 250 2 500S( r ) = π r + 2πr⇒ S( r ) = π r +π2rrEl dominio de esta función superficie es (0, 4), ya que el radio sólo puede tomar valoresestrictamente mayores que cero. En consecuencia la función S(r) será continua y derivable endicho dominio, pues el único valor donde no lo sería es en el cero (valor que anula aldenominador), pero éste no pertenece al dominio de definición de la función, y es además elúnico punto en donde la función derivada tampoco existe.El mínimo absoluto deberemos buscarlo entre los mínimos relativos:500500S ′( x ) = 2πr− ⇒ 2πr− = 0 ⇒2 2rr32πr− 5003= 0 ⇒ 2πr− 500 = 0 ⇒2r3 500 3 250 250r = ⇒ r = ⇒ r = ≈ 4′301272π π πComprobemos si este único valor que anula a la función primera derivada, es un máximoo un mínimo relativo, igualmente estudiaremos la monotonía de la función:3