Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 68SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-Resolvamos la ecuación matricial: A 2 · X = 2 B, siendoA =⎛ 1 −1⎞⎜y B⎝ −⎟ =2 3 ⎠Diagonalicemos.Tomemos como pivote el elemento a 11 = -1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 4 · [1ªf.]Tomemos como pivote el elemento a 22 = -1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + 2 · [2ªf.]⎛⎜⎝Multipliquemos la 1ª y 2ª fila por -1.1 −1 40 −3 1Calculemos en primer lugar A 2 :2 2 2A = A •A ⇒ A =⎛ 1 −1⎞⎛ 1 −1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ A =⎛ −1 2•⎞⎜ ⎟⎝ 2 −3⎠⎝ 2 −3⎠⎝ −4 7 ⎠Veamos si esta matriz, A 2 , que hemos calculado tiene inversa. Lo haremos mediante elmétodo de Gauss, consistente en poner a la derecha de la matriz A 2 , la matriz unidad e intentar,mediante el uso de diversas transformaciones elementales, que aparezca la matriz unidad a laizquierda, la parte que quede a la derecha es la matriz inversa de A 2 , (A 2 ) -1 .⎛ −1 2⎜⎝ −4 7⎛ −1 2⎜⎝ 0 −1⎛ −1 0⎜⎝ 0 −1⎛ 1 0⎜⎝ 0 11 0 ⎞⎟0 1 ⎠1 0 ⎞⎟−4 1⎠−7 2 ⎞⎟−4 1⎠7 −2⎞⎟4 −1⎠En la parte de la izquierda hemos obtenido la matriz unidad, por loque al no salirnos ninguna fila de ceros, la matriz A 2 tiene inversa,siendo la matriz inversa la matriz que queda a la derecha, es decir:( A 2 )− 1 −=⎛ 7 2 ⎞⎜ ⎟⎝ 4 −1⎠Multipliquemos por la izquierda en cada miembro de la ecuación por la matriz ( A 2 )−1( A 2 )−1 ( A 2 )−1 ( A 2 )−1 ( A 2 )−1A 2 · X = 2 B Y ·A 2 · X = · 2 B Y I · X = · 2 B Y X = · 2BX =⎛ 7 −2⎞ ⎛ 1 −1 4 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎛ 7 −2⎞ ⎛ 2 −2 8 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎛ 14 −2 52• 2• •⎞⎜⎟⎝ 4 −1⎠ ⎝ 0 −3 1 ⎠ ⎝ 4 −1⎠⎝ 0 −6 2 ⎠ ⎝ 8 −2 30 ⎠⎞⎟⎠.SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-Si el punto P(-1, 2, 1) es el más próximo al origen O(0, 0, 0), el vector que determinanambos puntos es un vector normal al plano.OP → = ( − 1, 2, 1 ) − (0 , 0, 0 ) = ( − 1, 2,1 )Como los coeficientes A, B y C de la ecuación general del plano se corresponden con lascomponentes de un vector normal al plano, tendremos:Ax + By + Cz + D = 0 Y -x + 2y + z + D = 0Como el punto P es un punto del plano, sus coordenadas verificarán la ecuación del plano:-x + 2y + z + D = 0 Y -(-1) + 2·2 + 1 + D = 0 Y D = -6 Y -x + 2y + z - 6 = 0que es la ecuación del plano pedido.