Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 62Calculemos ahora n:⎛2xx x xn = lim ( f x − mx)= lim x lim limx x x + − ⎞2 2− − 2( )⎜ ⎟ ==⎝ 2 ⎠ x x + 2 x→∞ →∞ →∞ →∞−2x= −2x + 2La asíntota oblicua, es: y = x - 2.Estudiemos la posición de la gráfica de f respecto de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy grandes, por ejemplo, x = 1000 Y21000f (1000) = = 998. 00399201000 + 2⎫⎪f (1000) > y1000 − 2 = 998⎬ ⇒y asíntotaasíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 +4, va por encima de la asíntota oblicua.* Para valores de x muy pequeños, por ejemplo, x = -1000 Y2( −1000)f (-1000) = = −1002. 004008− 1000 + 2⎫⎪f (-1000) < y−1000 − 2 = −1002⎬ ⇒y asíntotaasíntota =⎭⎪luego la gráfica de f, para x 6 -4, va por debajo de la asíntota oblicua.(b) Determinemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Hallemos losvalores que anulen a la función primera derivada de f(x).22x( x + 2)− xx + 4xf ′( x ) =⇒ f ′( x ) =22( x + 2)( x + 2)22⇒ x + 4x= 0 ⇒xx= 0= −4Con estos dos puntos, 0 y -4, y con el punto donde la función no existe, -2, los ordenamosy construimos los posibles intervalos de monotonía: (-4, -4), (-4, -2), (-2, 0) y (0, +4).Probemos un valor intermedio de cada uno de los intervalos, por ejemplo, -5, -3, -1 y 1respectivamente en la función primera derivada y según nos salga mayor o menor que cero, enel intervalo correspondiente la función será creciente o decreciente:2⎧ (f ′ − = − 5) + 4( − 5)5⎪ ( 5)= > 0 ⇒ creciente en ( −∞,− 4)2⎪ ( − 5+2)9⎪f ′ − = − 2( 3) + 4( − 3)⎪= − 3( 3)< 0 ⇒ decreciente en ( −4− 2)2⎪ ( − 3+2)1⎨(f ′ ( − ) = − 2⎪ 1) + 4( − 1)= − 31< 0 ⇒ decreciente en ( −2,0)⎪2( − 1+2)1⎪⎪21 + 4•1 5⎪ f ′ (1) = = > 0 ⇒ creciente en ( 0,+ ∞)2⎩ (1 + 2)9Estudiemos los extremos locales. Éstos sólo se podrán localizar en los puntos de derivadacero, ya que la función es continua y derivable en todo su dominio que es ú-{-2}.Teniendo en cuenta lo analizado hasta ahora podemos asegurar que hay un máximo localen x = -4, y un mínimo local en x = 0.