Vol. 2

Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 29 Pág. 57plano, es decir, el producto escalar con cada uno de ellos será cero.PH → = ( α, β, 5 − 2α + 2β ) − (0, 0, 1) = ( α, β,4 − 2α + 2β)→ r → r⎫PH ⊥ u ⇒ PH • u = 0 ⇒ ( α, β,4 − 2α + 2β) •(1, 0, − 2) = 0 ⎪→→⎬ ⇒rrPH ⊥ v ⇒ PH • v = 0 ⇒ ( α, β,4 − 2α + 2β) •(0, 1, 2) = 0 ⎭⎪α − 8 + 4α − 4β = 0 ⇒ 5 α − 4β= 8 ⎫β + 8 − 4α + 4β = 0 ⇒ − 4α + 5β= −8⎬⎭⎛⎜5 −4⎝ −4 5⎛⎜5 −4⎝ 0 98 ⎞−8⎟ ⎠8 ⎞−8⎟ ⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 5 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: 5 · [2ªf.] + 4 · [1ªf.]Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 9 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: 9 · [1ªf.] + 4 · [2ªf.]2 2 2→a = PH = ⎛ ⎝ ⎜ 8⎞ ⎟ + ⎛ ⎜8− ⎞⎟ + ⎠ ⎝⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 4⎞ ⎟ =9 9 9 ⎠Finalmente, el volumen del cubo es:Volumen = a 3 = ⎛⎜4⎞ ⎟⎝ 3 ⎠Expresemos el sistema en forma matricial yresolvámoslo mediante el método de reducciónde Gauss - Jordan⎛⎜45 0⎝ 0 9 −40 ⎞8⎟La solución es:⎠ α = 40/45 ; β = -8/9 Y α = 8/9 ; β = -8/9El vector PH →tendrá de coordenadas:→PH ( ) = 8 = α, β, − α + β⎛ 84 2 2 ⎜ , − , 4 16 16 − −⎞⎟ =⎛ 8 8 4⎜ , − ,⎞⎟⎝ 9 9 9 9 ⎠ ⎝ 9 9 9⎠La arista coincidirá con la distancia del punto P al plano, es decir, con el módulo del vectoranterior:64 + 64 + 16 144 12 4= = =2 29 9 9 33SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Discutamos el sistema siguiente mediante el método de reducción de Gauss. Para elloexpresemos dicho sistema en forma matricial.x + λy + ( λ − 1)z = 1 ⎫⎪y + z = 1 ⎬ ⇒2x + y − z = −3⎭⎪⎛ 2 1 −1⎜ 0 1 1⎜⎝ 1 λ λ − 1−3⎞1 ⎟⎟1 ⎠⎛ 1 λ λ − 1⎜ 0 1 1⎜⎝ 2 1 −11 ⎞1 ⎟⎟−3⎠Intercambiemos entre sí las filas 1ª y 3ªTriangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 2 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: 2 · [3ªf.] - [1ªf.]⎛ 2 1 −1⎜ 0 1 1⎜⎝ 0 2λ− 1 2λ− 1−3⎞1 ⎟⎟5 ⎠Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1 … 0.Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - (2λ-1) · [2ªf.]