Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 56SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-02Es una integral racional definida.Calculamos las raíces del denominador:24 16 12x + 4x + 3 = 0 ⇒ x = − ± − =2Descompongamos la fracción del integrando en fracciones elementales:11 x 3 x 124 3 1 3 2x + x + = A x + + B ⇒x + x + 4x+ 3= A( + ) + B( + )( x + 1)( x + 3)1 = A( x + 3) + B( x + 1)⇒∫ ∫ ∫−1−3⎧1⎪x = −1 ⇒ 1 = A( − 1+ 3) + 0 ⇒ A =2⎨1⎪ x = −3 ⇒ 1 = 0 + B( − 3+ 1) ⇒ B = −⎩2dx 1 2 1 2 11dxdx x 1x+ 32x + 4x + 3= / − /+=⎡Ln +⎤−x + 1 x + 3 ⎣⎢ 2 ⎦⎥⎡ ⎣ ⎢ Ln⎤2 ⎦⎥020211= + − − ⎡ 11Ln 2 1 Ln 0+ 1 Ln 2 + 3 − Ln 0+3 ⎤22⎣⎢ 22 ⎦⎥1 1= − − ⎡ 1 13 1 5 − 3 ⎤2 2 ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ = 3 − 1Ln( ) Ln ( ) Ln( ) Ln ( ) Ln ( ) Ln( 5)2Geométricamente representa el área de la región limitada por la curva, el eje de abscisasy las ordenadas en los puntos de abscisa 0 y 2. En este caso es así, porque para los valores quevan desde 0 a 2, la función se conserva positiva, es decir, su gráfica queda por encima del ejede abscisas, debido a que el denominador sólo toma valores positivos para dichos valores.2020==SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-Si observamos los dos planos, vemos que ambos son paralelos, ya que se verifica lacondición de paralelismo en sentido estricto:A B C DA′ = B′ = C′ ≠ 2⇒ = − 2D′− = 1≠ − 12 2 1 −5Luego la distancia entre los dos planos nos dará el valor de la arista del cubo.La distancia entre los dos planos coincidirá con la distancia de un punto cualquiera de unode los dos planos al otro. Elegimos un punto cualquiera del plano 2x - 2y + z - 1 = 0, porejemplo, el P(0, 0 1) y calculamos la distancia de este punto al plano 2x - 2y + z - 5 =0.Expresemos la ecuación de este último plano en forma paramétrica, para ello basta despejaruna incógnita, por ejemplo, la z, en función de las demás:⎧⎪x = αz = 5 -2x + 2y Y ⎨ y = β⎩⎪ z = 5− 2α+ 2βUn punto genérico, H, de este plano, tendrá de coordenadas, H = (α, β, 5-2α+2β).Se ha de verificar que el vector PH →es perpendicular a los dos vectores de dirección del