Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 54⎛⎜⎝3 24 3⎛ 3 2⎜⎝ 0 1⎛ 3 0⎜⎝ 0 11 0 ⎞0 1⎟⎠1 0 ⎞⎟−4 3 ⎠9 −6⎞⎟−4 3 ⎠Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 3 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: 3 · [2ªf.] - 4 · [1ªf.]La matriz A admite inversa. Triangulemos superiormente.Tomemos como pivote el elemento a 22 = 1 … 0.Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] - 2 · [2ªf.]Simplificamos la 1ª fila por 3.⎛ 1 0 3 −2⎞ Hemos obtenido, a la izquierda, la matriz unidad y a la derecha, la matriz⎜⎟⎝ 0 1 −4 3 ⎠ inversa de A., es decir:A − 1 ⎛ 3 −2⎞= ⎜ ⎟⎝ −4 3 ⎠Resolvamos la ecuación matricial que nos dice el problema:A X = U Y A -1 A X = A -1 U Y I X = A -1 U Y X = A -1 U Yluego x =3 e y = -1.X =⎛⎜⎝3 −2⎞ ⎛⎟ • ⎜−4 3 ⎠ ⎝79⎞⎟ =⎠⎛⎜⎝21−18 ⎞⎟ =− 28 + 27 ⎠⎛⎜⎝3⎞⎟ − 1⎠(b) La matriz inversa de A, A -1 , la hemos calculado en el apartado anterior.Igualmente, en el apartado anterior, también hemos calculado A -1 U, que coincidía con elvalor de la matriz X.⎛ 1 ⎞(c) Calculemos, en primer lugar, el vector A • ⎜ ⎟ .⎝ m ⎠A •⎛ 1 ⎞ 3 2 1 3 2m⎜ ⎟ = ⎛ •⎝ m ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ =⎛ + ⎞⎜ ⎟4 3⎠⎝ m ⎠ ⎝ 4 + 3m⎠⎛ 3+2m⎞ ⎛ 1 ⎞Los vectores ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ serán linealmente dependientes si una combinación lineal⎝ 4 + 3m⎠ ⎝ m ⎠⎛ 3+2m⎞ ⎛ 1 ⎞de ellos nula, α ⎜ ⎟ + β ⎜ ⎟ = 0 , implica que al menos uno de los coeficientes, α o β,⎝ 4 + 3m⎠ ⎝ m ⎠es distinto de cero. Esto implica a su vez que cualquiera de los vectores es igual a λ veces elotro. Veámoslo.⎛3+2m⎞1 3 23 23 2⎜ ⎟ = ⎛ ⎝4 + 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ + m⎞⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎛ ⎠ ⎝4 + 3 ⎠ ⎝ ⎜λ ⎞⎟ ⇒ + m = λ ⎫⎬⎠ 4 + 3 = ⎭ ⇒ λ = + m⎫λ⎬m mm λ mm λ m λ m = 4 + 3m⎭Expresemos el sistema anterior, de dos ecuaciones y una incógnita, λ, en forma matricial.⎛ 1 3+2m⎞⎜⎟⎝ m 4 + 3m⎠Resolvámoslo mediante el método de reducción de Gauss - Jordan.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = 1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - m · [1ªf.]