Vol. 2

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Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 28 Pág. 47xy − y = −010 ( x − x0) ⇒ y − 2 = − ( x − 1)⇒221 5y = − x +2 2que es la ecuación de la recta tangente a la curva en elpunto de abscisa 1. La representación gráfica de estarecta junto a la curva anterior es la situada al lado.Finalmente, el recinto limitado por la curva, latangente y el eje de abscisas es el rayado en el dibujo.321-3 -2 -11 2 34 5(b) Para calcular el área del recinto anterior,calcularemos antes el siguiente:( )A1 = 5−1 • 2= 42321Calculemos ahora este otro:-3 -2 -11 2 34 5321-3 -2 -11 2 34 53 3⎛ 239 x ⎞ ⎡ 9 x ⎤A 2 = − dx x∫1⎜ ⎟ =⎝ 4 4 ⎢ −⎠ ⎣4 12 ⎥ =⎦27 27= − −⎛ 9 1⎜ −⎞ 81−27 27 − 1⎟ = − =4 12 ⎝ 4 12⎠12 1254 26 28= − = =12 12 12Por último, el área del recinto pedido será:7 5Área = A1 − A2= 4 − =3 3 u .2731SOLUCIÓN EJERCICIO 3.-rExpresemos la ecuación de la recta r en forma paramétrica: P⎧ x = 1+t⎪vr ≡ ⎨ y = −3+ t⎩⎪ z = 4 + 2 tHEl vector de dirección de la recta r es → v = ( 1, 1,2)Sea H la proyección del punto P = (1, -3, 7) sobre la recta r, seP´cumple la condición de que el vector PH →es perpendicular al vector v de dirección de la recta,luego el producto escalar de ambos vectores será cero.El punto H por pertenecer a la recta tendrá de coordenadas ( 1+ t, − 3+ t,4 + 2t).El vector PH →tendrá de coordenadas:

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 48PH → = ( 1 + t, − 3 + t, 4 + 2t ) − ( 1, − 3, 7 ) = ( t, t,− 3 + 2t)El producto escalar de los vectores PH →y → v es cero:PH → • → v = 0 ⇒ ( t, t, − 3 + 2t )•( 1, 1,2 ) = 0 ⇒ t + t − 6 + 4 t = 0 ⇒ t = 1sustituyamos t en el punto H y en el vector PH →:H = ( 1+ t, − 3+ t, 4 + 2t)= ( 1+ 1, − 3+ 1, 4 + 2) = ( 2, − 2,6)PH → = ( t, t, − 3 + 2t ) = (1, 1, − 3+ 2) = ( 1, 1,− 1 )El punto P´=(a, b, c), simétrico del P respecto de la recta r, verifica que PH = HP ′ , es decir:→→PH = HP ′ ⇒ ( 1, 1, − 1) = ( a, b, c ) − ( 2, − 2, 6) ⇒ ( 1, 1,− 1) = ( a − 2,b + 2, c − 6)⇒⎧ 1 = a − 2⎪⎨ 1 = b + 2⎩⎪ − 1 = c − 6⇒⎧⎪⎨⎩⎪abc= 3= −1= 5→⇒ P ′ = ( 3, − 1, 5)→SOLUCIÓN EJERCICIO 4.-(a) Discutamos el siguiente sistema.⎧ λ x + 2y= 3⎪⎨ − x + 2 λ z = −1Expresemos el sistema en forma matricial, y discutámoslomediante el método de reducción de Gauss.⎩⎪ 3x − y − 7z= λ + 1⎛ λ 2 0⎜ −1 0 2λ⎜⎝ 3 −1 −7⎛ −1 0 2λ⎜ 3 −1 −7⎜⎝ λ 2 0⎛ −1 0 2λ⎜ 0 −1 6λ− 7⎜2⎝ 0 2 2λ3 ⎞−1⎟⎟λ + 1 ⎠−1⎞λ + 1 ⎟⎟3 ⎠⎛ −1 0 2λ⎜0 −1 6λ− 7⎜2⎝ 0 0 2λ+ 12λ− 14−1⎞λ − 2 ⎟⎟3−λ ⎠−1⎞λ − 2⎟− 1+λ ⎟⎠Intercambiemos entre sí las filas 1ª y 2ª;y después la 2ª con la 3ª.Triangulemos inferiormente.Tomemos como pivote el elemento a 11 = -1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] + 3 · [1ªf.]Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] + λ · [1ªf.]Tomemos como pivote el elemento a 22 = -1 … 0.Sustituyamos la 2ª fila por: [3ªf.] + 2 · [2ªf.]El sistema está triangulado inferiormente, todos loselementos de la diagonal principal son distintos de cerosalvo el a 33 que puede serlo o no. Discutamos losdiferentes casos que pueden presentarse.* Si a 33 = 0 Y 2λ 2 + 12λ -14 = 0 Y λ 2 + 6λ -7 = 0 Yλ = − 6 ± 36 + 28 1=2−7** Si λ = 1 Y la última ecuación será 0 = -1+1, es decir, 0 = 0, se trata de unaecuación trivial, la eliminamos, nos quedará un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, osea, un sistema compatible indeterminado uniparamétrico por lo que el sistema tiene infinitassoluciones.

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punto

fila

matriz

sistema

recta

valores

derivable

pivote

elemento

puntos

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