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L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 46rectángulos la llamamos x la altura lógicamente debe ser 20-x.La expresión de la función área es:20 - xA(x) = (20-x) x Y A(x) = -x 2 + 20 xEl dominio de esta función área, A(x), es el intervalo abierto (0, 20).xCalculemos el máximo absoluto de esta función, que al ser polinómica es continua yderivable en todo su dominio.A´(x) = -2x + 20 Y -2x + 20 = 0 Y x = 10.A´´(x) = -2 Y A´´ (10) = -2 < 0 Y hay un máximo relativo en x= 10.Estudiemos la monotonía de A(x) en su dominio, es decir, en el intervalo (0, 20). Como lafunción derivada se anula en x=10, tendremos dos intervalos de monotonía, (0, 10) y (10, 20).Probemos valores intermedios, por ejemplo, 5 y 15, en la primera derivada:* A´(5)=-2·5+20=10 > 0 Y creciente en (0, 10)* A´(15)=-2·15+20=-10 < 0 Y decreciente en (10, 20)luego el máximo relativo es máximo absoluto, por tanto, las dimensiones del rectángulo de áreamáxima son:base = x Y base = 10 kilómetrosaltura = 20-x Y altura = 20-10 Y altura = 10 kilómetros.SOLUCIÓN EJERCICIO 2.-239 − x(a) Representemos la función y = Y2249 xY y = − , que es una parábola.14 4* Punto de corte con el eje de ordenadas:x = 0 Y y(0) = 9/4 Y A(0, 9/4).-3 -2 -11 2 3* Puntos de corte con el eje de abscisas:y = 0 Y 9 - x 2 = 0 Y x 2 = 9 Y x = 3; x = -3 Y B(-3, 0); C(3, 0).* Coordenadas del vértice V:b09 − 0 9x = − ⇒ x = − = 0 ; y = ⇒ y = ⇒ V⎛⎜0,⎞⎟2a⎛⎜− ⎞ ⎝ ⎠21444• ⎟⎝ 4 ⎠La gráfica de esta función es la representada más arriba.Para representar la recta tangente a la curva anterior en el punto de abscisa x=1, calculemosantes la ecuación de dicha recta tangente. Teniendo en cuenta que la ecuación de la rectatangente a la gráfica de la función f en un punto de abscisa x 0 es: y - y 0 = f ´(x 0 ) (x - x 0 ) Y29 − x9 − xxxf ( x ) = ⇒ f ( x ) = y =0 2 ; f ′( x ) = − ⇒ f ′( x ) = −00 0044 2 2xy − y = −00 x − x0[1]2 ( )impongamos ahora la condición a esta recta tangente genérica, que pase por el punto de abscisa29 − 1x 0 = 1, siendo la ordenada: y 0 = = 2 . Sustituyendo este punto en [1] obtendremos:4