Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 42El segundo trozo es el situado a la derecha y cuya área es:222A 2 = dx = [ 2 Ln ] = 2 (2) − 2 (1) = 2 (2)∫ x ( x ) Ln Ln Ln1El tercero y último trozo es elsituado a la izquierda, y cuya área secorresponde con la de un triángulo,es decir:base × altura 1 1 1A3== × =2 2 2Finalmente el área del recinto pedido es:4Área = A1 + A2 − A 3 = + (2) − = + (2)3 2 Ln 1 52 6 2 LnSOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Si la función f(x) es derivable en todo ú tiene que ser continua también en ú.Calculemos el valor de a y de b para que la función sea continua.Para que la función f sea continua en un punto, los límites laterales en dicho punto debencoincidir y además coincidir también con el valor de la función en ese punto. Y para que lo seaen un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo.- El trozo de función para valores de x menores que 2, x2, ya que la sumade funciones continuas es continua en el dominio común de las funciones suma.- El problema de la continuidad está en el punto 2, donde hay un cambio en elcomportamiento de la función.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.lim⎛x→ 2 + x→ 2+x > 2f ( x ) = lim a + bx = a⎜+ b⎝ x⎟⎠ 2 2lim⎛⎜x→2 −x→2− ⎝x < 2f ( x ) = lim ax + 5x 2 = 2a+ 20f ( 2)= 2a+ 20⎞⎞⎟⎠⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 2)⎧⎪ x→ 2 +x→2−⎨⎪⎩a + 2b = 2a + 20 ⇒ 3a − 4b+ 40 = 02Luego f(x) será continua en el punto 2, si se verifica que: 3a - 4b + 40 = 0. [1]En definitiva, la función f(x) es continua en ú, siempre y cuando se satisfaga [1]Estudiemos ahora la derivabilidad para los diversos valores de a y de b.