Vol. 2
Vol. 2 Vol. 2
Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 28 Pág. 412y = x + 1⎫⎪ 2 2 3 32 ⎬ ⇒ x + 1 = ⇒ x + x = 2 ⇒ x + x − 2 = 0y =xx ⎭⎪1 0 1 -221 1 1 2 ⇒ + + = ⇒ = − 1 ± 1 − 8x x 2 0 x⇒21 1 2 0no hay soluciónPor tanto, sólo se cortan en el punto de abscisa 1; si sustituimosésta en cualquiera de las dos funciones obtendremos la ordenada,que es: y = 1 2 + 1 Y y = 2, luego el punto es el (1, 2).Otros puntos de la gráfica de la hipérbola pueden ser, porejemplo, (2, 1), (-2, -1) y (-1, -2).La gráfica de ésta nueva función dibujada sobre la que yateníamos es la situada al ladoRepresentemos la última de las funciones, la y = x - 1, funciónafín cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen, sino quecorta a los ejes de coordenadas en los puntos (0, -1) y (1, 0).Ésta última función corta a la hipérbola en los puntos:y = x − 1 ⎫⎪xx xy =⎬xx ⎭⎪ ⇒ − = 2⇒ 22 1− − 2 = 0 ⇒1 ± 1+8x ==2⇒ (2, 1) y (-1, -2)2− 1La función afín no corta a la función cuadrática:y = x − 1 ⎫⎬ x x x xy = x + ⎭ ⇒ − = 2 + ⇒ 221 11− + 2 = 0 ⇒1x = ± 1 − 8⇒ no tiene solución.2La representación gráfica de las tres funciones es la que seencuentra situada al lado, donde además se ha sombreado elrecinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y lastres curvas.(b) Para calcular el área del recinto sombreado anterior, lodesdoblamos en trozos, el primero es el situado a la izquierda,cuya área es:12A 10( 1)⎡3⎤ 13 3 1 0 4= + = ⎢ + ⎥ = ⎛⎜ + ⎞⎟ − =∫ x dx xx⎣ ⎦⎝ ⎠ 310
L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 42El segundo trozo es el situado a la derecha y cuya área es:222A 2 = dx = [ 2 Ln ] = 2 (2) − 2 (1) = 2 (2)∫ x ( x ) Ln Ln Ln1El tercero y último trozo es elsituado a la izquierda, y cuya área secorresponde con la de un triángulo,es decir:base × altura 1 1 1A3== × =2 2 2Finalmente el área del recinto pedido es:4Área = A1 + A2 − A 3 = + (2) − = + (2)3 2 Ln 1 52 6 2 LnSOLUCIÓN EJERCICIO 2.-Si la función f(x) es derivable en todo ú tiene que ser continua también en ú.Calculemos el valor de a y de b para que la función sea continua.Para que la función f sea continua en un punto, los límites laterales en dicho punto debencoincidir y además coincidir también con el valor de la función en ese punto. Y para que lo seaen un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo.- El trozo de función para valores de x menores que 2, x2, ya que la sumade funciones continuas es continua en el dominio común de las funciones suma.- El problema de la continuidad está en el punto 2, donde hay un cambio en elcomportamiento de la función.Calculemos los límites laterales y el valor de la función en dicho punto, para ver si existeny coinciden.lim⎛x→ 2 + x→ 2+x > 2f ( x ) = lim a + bx = a⎜+ b⎝ x⎟⎠ 2 2lim⎛⎜x→2 −x→2− ⎝x < 2f ( x ) = lim ax + 5x 2 = 2a+ 20f ( 2)= 2a+ 20⎞⎞⎟⎠⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 2)⎧⎪ x→ 2 +x→2−⎨⎪⎩a + 2b = 2a + 20 ⇒ 3a − 4b+ 40 = 02Luego f(x) será continua en el punto 2, si se verifica que: 3a - 4b + 40 = 0. [1]En definitiva, la función f(x) es continua en ú, siempre y cuando se satisfaga [1]Estudiemos ahora la derivabilidad para los diversos valores de a y de b.
- Page 6 and 7: Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 27
- Page 8: Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 27
- Page 11 and 12: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 38
- Page 13: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 40
- Page 17 and 18: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 44
- Page 19 and 20: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 46
- Page 21 and 22: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 48
- Page 23 and 24: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 50
- Page 25 and 26: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 52
- Page 27 and 28: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 54
- Page 29 and 30: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 56
- Page 31 and 32: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 58
- Page 33 and 34: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 60
- Page 35 and 36: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 62
- Page 37 and 38: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 64
- Page 39 and 40: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 66
- Page 41 and 42: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 68
- Page 43 and 44: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 70
- Page 45 and 46: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 72
- Page 47 and 48: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 74
- Page 49 and 50: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 76
- Page 51 and 52: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 78
- Page 53 and 54: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 10
- Page 55 and 56: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 10
- Page 57 and 58: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 10
- Page 59 and 60: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 10
- Page 61 and 62: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 10
- Page 63 and 64: L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 11
Fco. Fdez. Morales EXAMEN MODELO 28 Pág. 412y = x + 1⎫⎪ 2 2 3 32 ⎬ ⇒ x + 1 = ⇒ x + x = 2 ⇒ x + x − 2 = 0y =xx ⎭⎪1 0 1 -221 1 1 2 ⇒ + + = ⇒ = − 1 ± 1 − 8x x 2 0 x⇒21 1 2 0no hay soluciónPor tanto, sólo se cortan en el punto de abscisa 1; si sustituimosésta en cualquiera de las dos funciones obtendremos la ordenada,que es: y = 1 2 + 1 Y y = 2, luego el punto es el (1, 2).Otros puntos de la gráfica de la hipérbola pueden ser, porejemplo, (2, 1), (-2, -1) y (-1, -2).La gráfica de ésta nueva función dibujada sobre la que yateníamos es la situada al ladoRepresentemos la última de las funciones, la y = x - 1, funciónafín cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen, sino quecorta a los ejes de coordenadas en los puntos (0, -1) y (1, 0).Ésta última función corta a la hipérbola en los puntos:y = x − 1 ⎫⎪xx xy =⎬xx ⎭⎪ ⇒ − = 2⇒ 22 1− − 2 = 0 ⇒1 ± 1+8x ==2⇒ (2, 1) y (-1, -2)2− 1La función afín no corta a la función cuadrática:y = x − 1 ⎫⎬ x x x xy = x + ⎭ ⇒ − = 2 + ⇒ 221 11− + 2 = 0 ⇒1x = ± 1 − 8⇒ no tiene solución.2La representación gráfica de las tres funciones es la que seencuentra situada al lado, donde además se ha sombreado elrecinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y lastres curvas.(b) Para calcular el área del recinto sombreado anterior, lodesdoblamos en trozos, el primero es el situado a la izquierda,cuya área es:12A 10( 1)⎡3⎤ 13 3 1 0 4= + = ⎢ + ⎥ = ⎛⎜ + ⎞⎟ − =∫ x dx xx⎣ ⎦⎝ ⎠ 310
Change language